矩阵的秩及其求法

一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法第五节矩阵的秩及其求法

第二章三、满秩矩阵第四节我们发现，矩阵经过有限次初等行变换化成的阶梯型矩阵不唯一，但是与其等价的阶梯型矩阵非零行行数一样，台阶的形状相同。这反映了矩阵什么性质呢？1精选ppt1.

k

阶子式定义1

设在A中任取k行k列交叉称为A的一个k阶子式。阶行列式，处元素按原相对位置组成的一、矩阵的秩的概念设，例如矩阵A的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为2精选ppt设，共有个二阶子式，有个三阶子式。例如而为A的一个三阶子式。显然，矩阵A共有个k

阶子式。3精选ppt2.

矩阵的秩设，有r

阶子式不为0，任何r+1阶记作R(A)或秩(A)。

子式(如果存在的话)全为0,定义2称r为矩阵A的秩，二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。

例1为阶梯形矩阵，求R(B)。解，由于二阶子式不为0，所以R(B)=2.4精选ppt例2求R(A)。5解：存在一个三阶子式不为0，所以R(A)=3.A没有4阶子式，5精选ppt例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数〞——非零行的行数。6精选ppt如果求a.解或例3

设分析：R〔A)<3,A所有的3阶子式为零，即A的行列式为零。7精选ppt那么例3A有非零的1阶子式，但A所有的2阶子式都为0，所以R〔A〕=1舍去K=1。得K=-3。分析：R〔A)=3<4,A所有的4阶子式为零，即A的行列式为零。8精选ppt2、用初等变换法求矩阵的秩定理1

矩阵初等变换不改变矩阵的秩。

即那么注：只改变子行列式的符号。是A中对应子式的k倍。是行列式运算的性质。第二种求矩阵A的秩方法：1〕2〕R〔B〕等于非零行行数，9精选ppt例4解R(A)=2

，

求10精选ppt求矩阵的秩。解所以R〔A〕=2。例511精选ppt例612精选pptEx1.求矩阵A

的秩，并求A

的一个最高阶非零子式。解先求A

的秩，对A

作初等行变换化为行阶梯形：故R〔A〕=3。13精选ppt再求A

的一个最高阶非零子式。因R〔A〕=3，知A的最高阶非零子式为3阶，返回易计算A

的前三行构成的子式因此这个子式便是A

的一个最高阶子式。14精选ppt三、满秩矩阵称A是满秩阵，〔非奇异矩阵〕称A是降秩阵，〔奇异矩阵〕可见：A为n阶方阵时，定义3对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理.定理2设A是满秩方阵，那么存在一系列初等方阵使得15精选ppt例7A为满秩方阵。此过程相当于16精选ppt17关于秩的一些结论〔熟记〕：规定：零矩阵的秩为0.(1)

根据行列式的性质，(2)A为m×n矩阵,0≤R(A)≤min{m,n}.定理3

R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A)，R(B)}。设A是矩阵，B是矩阵，定理4推论1如果AB=0那么推论2如果R(A)=n,AB=0那么B=0。推论3

若A,B均为

矩阵，则17精选ppt设A为n阶矩阵，证明R〔A+E〕+R〔A-E〕≥n证：R〔A+E〕+R〔E-A〕≥R[(A+E)-(A-E)]=R〔2E〕=n∴R〔A+E〕+R〔A-E〕≥n例8推论3

若A,B均为

矩阵，则18精选ppt作业P10912319精选ppt性质1证明：因为所以20精选ppt定理5

21精选ppt22定理A是一个s×n矩阵,如果P是s×s可逆矩阵,Q是n×n可逆矩阵,那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)证明:由定理2有