2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第二十二讲基本不等式（原卷版）

第二十二讲：基本不等式【教学目标】1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．【基础知识】基本不等式（1）基本不等式：如果a>0，b>0，，当且仅当a＝b时，等号成立．其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．（2）变形：，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．【题型目录】考点一：基本不等式的理解考点二：基本不等式性质考点三：基本不等式证明不等式（一）考点四：基本不等式证明不等式（二）【考点剖析】考点一：基本不等式的理解例1．设，则下列不等式成立的是（） A． B． C． D．变式训练1．下列不等式恒成立的是（） A．； B．； C．； D．．变式训练2．设，则下列不等式中成立的是（） A． B． C． D．变式训练3．若且，则，，，中的最大值的是（） A． B． C． D．考点二：基本不等式性质例2．若且，则下列不等式中恒成立的是（）． A． B． C． D．变式训练1．已知，且，则下列结论恒成立的是（）． A． B． C． D．变式训练2．已知、，若，则下列不等式： =1\*GB3①； ②； ③； ④．其中恒成立的不等式序号是（） A．①、③ B．①、② C．②、③ D．②、④变式训练3．已知，则下列不等式中不成立的是（）． A． B． C． D．考点三：基本不等式证明不等式（一）例3．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（） A． B． C． D．变式训练1．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立变式训练2．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（）． A． B． C． D．变式训练3．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（） A．（a＞0，b＞0） B． C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）考点四：基本不等式证明不等式（二）例4．已知，，，求证：.变式训练1．已知实数均大于0，证明：.变式训练2．（1）已知，，，求证：；（2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：.变式训练3．已知，，，且．求证：．【课堂小结】1．知识清单：(1)基本不等式．(2)利用基本不等式比较大小．(3)利用基本不等式证明不等式．2．方法归纳：配凑法．3．常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件导致错误．【课后作业】1、．若，则下列不等式成立的是（） A． B． C． D．2、如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（） A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P3、小明骑自行车从甲地前往乙地，前一半路程以速度骑行，后一半路程以速度骑行，且，其全程的平均速度为，则下列关系中不正确的是（） A． B． C． D．4、若，，且，则下列代数式中最大的是（） A． B． C． D．5、若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6、（多选）下列命题中正确的是（） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，7、．若a，，则“”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8、若为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④.其中恒成立的个数是（） A．4 B．3 C．2 D．19、已知a＞0，b＞0，给出下列三个不等式：①；②；.其中正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．310、三国时期的数学家赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理进行证明时绘制了弦图，其大致图像如图所示．以下选项中，可利用该图作为几何解释的是（） A．如果，，那么； B．如果，那么； C．对任意实数a和b，有，当且仅当时等号成立； D．如果，那么．11、若，则下列关系正确的是（） A． B． C． D．12、《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（） A． B． C． D．13、已知，，均为正实数，求证：若，则．14、已知正数满足，证明；15、证明下列式子（1）已知,证明：；（2）已知,证明：．16、已知，，，且.证明：（1）若，，，证明：；（2）设，，，且，证明：.17、我