正规方程推导过程

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正规方程推导过程推导正规方程的过程如下：

假设有一个已知的线性方程组，可以表示为AX=B，其中A是一个m×n的矩阵，X是一个n维向量，B是一个m维向量。我们的目标是找到一个最小二乘解X'，使得AX'最接近B。

步骤1：定义残差向量r

我们首先定义残差向量r为AX-B，即r=AX-B。残差向量表示了方程组中每个方程的误差。

步骤2：最小化残差向量的范数

为了获得最小二乘解，我们希望使残差向量的范数最小。因此，我们需要最小化||r||^2。其中||r||表示向量r的欧几里得范数。

步骤3：寻找残差向量的最小值

我们用最小化||r||^2来确定残差向量的最小值。为了达到这个目标，我们需要求解如下优化问题：

Minimize||r||^2=(AX-B)^T(AX-B)

步骤4：展开表达式

为了方便求解，我们需要展开这个表达式。通过矩阵的性质和运算法则，我们可以将上述表达式展开为：

||r||^2=(X^TA^T-B^T)(AX-B)

=X^TA^TAX-X^TA^TB-B^TAX+B^TB

步骤5：求导数

为了找到最小值，我们需要对上述表达式进行求导。首先，我们对X进行求导，然后令导数等于零。这将产生一个解析解。

对X求导，我们有：

(∂/∂X)(X^TA^TAX-X^TA^TB-B^TAX+B^TB)=2A^TAX-2A^TB

令导数等于零，我们得到：

2A^TAX-2A^TB=0

步骤6：整理方程

将上述方程整理为：

A^TAX=A^TB

步骤7：求解正规方程

上述方程被称为正规方程，表示为A^TAX=A^TB。由于A^TA是一个正定矩阵，因此可以通过求解该方程来找到最小二乘解X'。

将正规方程的左右两边同时乘以(A^TA)^-1，即A^TA的逆矩阵，我们可以得到：

X'=(A^TA)^-1A^TB

这就是最小二乘解X'的表达式。

通过这个推导过程，我们可以得到最小二乘解X'的解析表达式。解析解的存在使得我们

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