高中数学培优讲义练习（必修一）：专题2.6 二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型检测（教师版）

专题2.6二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022春•珠海期末）不等式（x+1）（x+3）＜0的解集是（）A．R B．∅ C．{x|﹣3＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣3，或x＞﹣1}【解题思路】直接求解一元二次不等式即可．【解答过程】解：（x+1）（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜﹣1，∴原不等式的解集为{x|﹣3＜x＜﹣1}．故选：C．2．（3分）（2022春•小店区校级月考）若p：1x＞1；q：（x﹣1）（3﹣x）≤0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】解不等式1x＞1和（x﹣1）（3﹣x）≤0，根据两不等式的解集判断p与【解答过程】解：不等式1x＞1可化为1x−1＞0，即1−xx＞0，即x−1x＜0，解得0＜不等式（x﹣1）（3﹣x）≤0可化为（x﹣1）（x﹣3）≥0，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）；因为（0，1）是（﹣∞，1]∪[3，+∞）的真子集，所以p是q的充分不必要条件．故选：A．3．（3分）（2022春•池州期末）已知2x2﹣kx+m＜0的解集为（﹣1，t）（t＞﹣1），则k+m的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解题思路】依题意可得x＝﹣1为方程2x2﹣kx+m＝0的根，代入计算可得．【解答过程】解：∵2x2﹣kx+m＜0的解集为（﹣1，t）（t＞﹣1），∴x＝﹣1为2x2﹣kx+m＝0的根，所以k+m＝﹣2．故选：B．4．（3分）（2022•慈溪市校级开学）若关于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是R，则m的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．[1，+∞）【解题思路】当m＝0时，关于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是x＞0，不成立；当m≠0时，m＞0Δ=4−4【解答过程】解：关于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是R，当m＝0时，关于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是x＞0，不成立；当m≠0时，∵关于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是R，∴m＞0Δ=4−4m2＜0，解得m∴m的取值范围是（1，+∞）．故选：A．5．（3分）（2022春•双鸭山期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，4），则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是（）A．{x|x＜−12或x＞14} B．{x|C．{x|x＜−14或x＞12} D．{x【解题思路】由已知结合二次方程与二次不等式的关系可得a，b，c的关系及范围，然后结合二次不等式的求法即可求解．【解答过程】解：由题意得a＜所以b＝﹣2a＞0，c＝﹣8a＞0，所以不等式cx2﹣bx+a＝﹣8ax2+2ax+a＜0，即8x2﹣2x﹣1＜0，解得−14＜故选：B．6．（3分）（2022•兴县校级开学）若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是（）A．(53，74] B．[53【解题思路】关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2，转化为（4﹣a）x2﹣4x+1＜0，因为解集中的整数恰有3个，得到0＜a＜4，令（4﹣a）x2﹣4x+1＝0的两根为x=2±a4−a，即可得出不等式（4﹣a）x2﹣4x+1＜0的解集为2−a4−a＜x＜2+a4−a，即12+a【解答过程】解：由题意得（4﹣a）x2﹣4x+1＜0，因为解集中的整数恰有3个，则4﹣a＞0，Δ＝4a＞0，即0＜a＜4．令（4﹣a）x2﹣4x+1＝0，则两根为x=2±不等式的解满足2−a4−a＜x＜2+a4−a，即12+为使解集中的整数恰有3个，则必须且只需满足3＜12−a≤4所以实数a的取值范围是(25故选：D．7．（3分）（2022春•辽宁期末）关于x的方程x2+（m+4）x+2m+20＝0有两个正根x1，x2（x1＜x2），下列结论错误的是（）A．0＜x1＜2 B．2＜x2＜6 C．x1x2x1+x2的取值范围是D．x12+x22的取值范围是{【解题思路】利用根的判别式求出m的取值范围，进而求出0＜x1＜2，2＜x2＜6，判断AB；由x1x2x1【解答过程】解：∵x2+（m+4）x+2m+20＝0有两不相等实数根，∴Δ＝（m+4）2﹣4（2m+20）＝m2﹣64＞0，解得m＜﹣8，或m＞8．∵x1＞0，x2＞0，∴x1+x2＝﹣（m+4）＞0，x1x2＝2m+20＞0，m的取值范围为（﹣10，﹣8）．∴4＜x1+x2＜6，0＜x1x2＜4．∵x2＞x1，∴0＜x1＜2，2＜x2＜6，故AB都正确．∵x1∴x1x2x1+x2的取值范围是{x|0＜故选：D．8．（3分）（2021秋•丰城市校级月考）已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，若对于任意x∈{x|﹣1≤x≤0}，不等式﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立，则t的取值范围是（）A．{t|t≤2} B．{t|t≤﹣2} C．{t|t≤﹣4} D．{t|t≤4}【解题思路】根据不等式的解集求出b、c的值，代入不等式﹣2x2+bx+c+t≤4，化为关于t，x不等式恒成立问题，可得出t的取值范围．【解答过程】解：不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，所以3和﹣1是方程﹣2x2+bx+c＝0的解，所以3﹣1=b﹣1×3=−解得：b＝4，c＝6，故任意x∈{x|﹣1≤x≤0}时，﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立，化为任意x∈{x|﹣1≤x≤0}，﹣2x2+4x+6+t≤4恒成立，即任意x∈{x|﹣1≤x≤0}，t≤（2x2﹣4x﹣2）min，因为2x2﹣4x﹣2＝2（x﹣1）2﹣4，在x∈[﹣1，0]内，当x＝0时取得最小值﹣2，所以t的取值范围是{t|t≤﹣2}，故选：B．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022•天元区校级开学）与不等式x2﹣x+2＞0的解集相同的不等式有（）A．﹣x2+x﹣2＜0 B．2x2﹣3x+2＞0 C．x2﹣x+3≥0 D．x2+x﹣2＞0【解题思路】先求出已知不等式的解集，然后根据一元二次不等式的解法对各个选项逐个求解判断即可．【解答过程】解：不等式x2﹣x+2＞0的解集为R，A：不等式可以化为x2﹣x+2＞0，与已知不等式相同，所以解集也相同，故A正确，B：因为Δ＝9﹣2×4×2＝﹣7＜0，所以不等式的解集为R，故B正确，C：因为Δ＝1﹣1×4×3＝﹣11＜0，所以不等式的解集为R，故C正确，D：不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＞1或x＜﹣2}，故D错误，故选：ABC．10．（4分）（2022春•安徽期中）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），则下列说法正确的是（）A．a＜0 B．a+b+c＞0 C．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣3，1） D．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【解题思路】将不等式转化为方程，再利用图象即可求解．【解答过程】解：A：ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），则a＜0，正确．B：由题意知令f（x）＝ax2+bx+c，由f（x）＝ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），可得f（1）＝a+b+c＞0，正确．C：由题意知ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣1，2，则由韦达定理得ba=−1，ca=−2，即bx2+cx+3a＞0变为﹣ax2﹣2ax+3a＞0，即x2+2x﹣3＞0，即x＜﹣3或关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），C错误，D正确．故选：ABD．11．（4分）（2021秋•上饶期末）下列关于不等式x2﹣（a+1）x+a＞0的解集讨论正确的是（）A．当a＝1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为∅ B．当a＞1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为（a，+∞） C．当a＜1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为{x|x＜a或x＞1} D．无论a取何值时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集均不为空集【解题思路】根据题意，分别求解各选项的解集即可．【解答过程】解：a＝1时，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化为（x﹣1）2＞0，解得x≠1，所以不等式的解集为{x|x≠1}，选项A错误；a＞1时，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化为（x﹣a）（x﹣1）＞0，解得x＜1或x＞a，所以不等式的解集为（﹣∞，1）∪（a，+∞），选项B错误；a＜1时，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化为（x﹣a）（x﹣1）＞0，解得x＜a或x＞1，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}，选项C正确；由选项A、B、C知，无论a取何值，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0的解集均不为空集，选项D正确．故选：CD．12．（4分）（2021秋•龙凤区校级期末）下列说法正确的是（）A．不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0的解集为{x|x＜12或xB．若实数a，b，c满足ac2＞bc2，则a＞b C．若x∈R，则函数y=x2+4D．当x∈R时，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是（0，4）【解题思路】A中，求出不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0的解集即可；B中，根据不等式的基本性质判断即可；C中，根据对勾函数的性质与基本不等式，即可判断正误；D中，分类讨论求出不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立时k的取值范围．【解答过程】解：对于A，不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0可化为（2x﹣1）（x﹣1）＞0，解得x＜12或x＞1，所以该不等式的解集为{x|x＜12或x对于B，当ac2＞bc2时，c2＞0，所以a＞b，选项B正确；对于C，因为x2≥0，所以x2+4≥4，所以x2+4所以y=x2+4+1x对于D，k＝0时，不等式kx2﹣kx+1＞0为1＞0，恒成立，k≠0时，应满足k＞0△=k2−4k＜所以k的取值范围是[0，4），选项D错误．故选：AB．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022春•商洛期末）不等式x2+2x﹣8≤0的解集是[﹣4，2]．【解题思路】根据一元二次不等式的解法直接求解．【解答过程】解：由x2+2x﹣8≤0得，（x﹣2）（x+4）≤0，∴﹣4≤x≤2，∴故答案为：[﹣4，2]．14．（4分）（2021秋•山西月考）已知p：2x2﹣3x﹣2≥0，q：x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[32【解题思路】解不等式2x2﹣3x﹣2≥0得x≥2或x≤−12，解不等式x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0x≥a或x≤a﹣2，由题意得−12≤a﹣【解答过程】解：∵2x2﹣3x﹣2≥0，∴x≥2或x≤−∵x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0，∴（x﹣a）（x﹣（a﹣2））≥0，∴x≥a或x≤a﹣2，∵p是q的充分不必要条件，∴−12≤a﹣2且a解得32≤a≤故答案为：[32，2]15．（4分）（2022春•京口区校级期末）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|1＜x＜3}，则cx2﹣bx+a＞0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（−13，+【解题思路】根据关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集得到a、b、c的关系，即可解之．【解答过程】解：∵x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|1＜x＜3}，∴a＞0ca=3−ba=4，不等式cx2﹣bx+a＞0化为3x2+4x+1＞故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（−13，16．（4分）（2021秋•临沂期中）对任意x∈R，一元二次不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x−38＜0都成立，则实数k的取值范围为（−1【解题思路】由二次不等式恒成立结合图象求解即可．【解答过程】解：因为对任意x∈R，一元二次不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x−38所以k−解得−12＜k即实数k的取值范围为（−12，故答案为：（−12，四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022•南京模拟）解以下一元二次不等式（1）2x2﹣3x+1≤0（2）﹣x2﹣5x+6＜0（3）4x2﹣4x+1＞0（4）x2﹣6x+9≤0【解题思路】（1）（3）（4）对不等式的左边分解因式求解，（2）由﹣x2﹣5x+6＜0，得x2+5x﹣6＞0，然后对不等式的左边分解因式求解．【解答过程】解：（1）由2x2﹣3x+1≤0，得（x﹣1）（2x﹣1）≤0，解得12所以不等式的解集为{x|12≤x≤1（2）由﹣x2﹣5x+6＜0，得x2+5x﹣6＞0，则（x﹣1）（x+6）＞0，解得x＜﹣6或x＞1，所以不等式的解集为{x|x＜﹣6或x＞1}；（3）由4x2﹣4x+1＞0，得（2x﹣1）2＞0，解得x≠所以不等式的解集为{x|x≠1（4）由x2﹣6x+9≤0，得（x﹣3）2≤0，得x＝3，所以不等式的解集为{x|x＝3}．18．（6分）（2022•天元区校级开学）解下列关于x的不等式：（a为实数）（1）x2+2x+a＜0；（2）ax−1x−2＞【解题思路】（1）分类讨论判别式Δ的符号，数形结合即可求解；（2）先将分式不等式转化为整式不等式，再分类讨论a的符号及1a与2【解答过程】解：（1）①当Δ＝4﹣4a≤0，即a≥1时，原不等式的解集为∅；②当Δ＝4﹣4a＞0，即a＜1时，原不等式的解集为（−1−1−a综合可得：当a≥1时，原不等式的解集为∅；当a＜1时，原不等式的解集为（−1−1−a（2）∵原不等式可化为（ax﹣1）（x﹣2）＞0，①当a＝0时，原不等式可化为x﹣2＜0，∴x＜2，∴原不等式的解集为（﹣∞，2）；②当a＜0时，1a∴原不等式的解集为（1a，2③当a＞0时，若1a＜2，即a＞12时，原不等式的解集为（﹣∞，1若1a=2，即a=12时，原不等式的解集为{x|若1a＞2，即0＜a＜12时，原不等式的解集为（﹣∞，2综合可得：当a＜0时，原不等式的解集为（1a，2当a＝0时，原不等式的解集为（﹣∞，2）；当0＜a＜12时，原不等式的解集为（﹣∞，2）∪（1a当a=12时，原不等式的解集为{x|x≠当a＞12时，原不等式的解集为（﹣∞，1a）∪（219．（8分）（2022•天元区校级开学）已知不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|−12＜x＜13【解题思路】利用一元二次不等式的解法建立方程求出a，b的值，然后代入所求不等式，再利用分式不等式的解法即可求解．【解答过程】解：因为不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|−12＜x则−12，13是方程ax2+bx+1＝0的两根，则−12+1所以不等式ax+3x−b≤0可以化为：−6x+3即2x−1x+1≥0，则解不等式可得：x＜﹣1或x所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或x≥1220．（8分）（2021秋•汉中月考）已知函数f（x）＝ax2﹣x﹣a﹣1．（1）若∀x∈（2，+∞），f（x）+3＞0，求a的取值范围；（2）求关于x的不等式f（x）＞0的解集．【解题思路】（1）当a＝0时不成立，当a≠0时，不等式化为a＞x−2x2−1在x＞2时恒成立，只需a＞（x−2x2−1）max，然后利用基本不等式即可求解；（2）对a＝0【解答过程】解：（1）当a＝0时，f（x）+3＝﹣x﹣1+3＝﹣x+2＞0，解得x＜2与已知矛盾，故a≠0，则当x＞2时，f（x）+3＝ax2﹣x﹣a﹣1+3＝a（x2﹣1）﹣x+2＞0恒成立，即a＞x−2x2−1在x＞2时恒成立，只需a＞（又因为x−2x当且仅当x﹣2=3x−2，即x＝2+3时取等号，此时（x−2所以a＞1−32，即实数a（2）原不等式可化为（x+1）[ax﹣（a+1）]＞0，当a＝0时，不等式为﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1，当a＞0时，解不等式可得x＞a+1a或x＜﹣当a＜0时，令﹣1=a+1a，解得a所以当−12＜a=−12时，不等式化为（x+1）2＜0当a＜−12时，解不等式可得﹣综上：a＝0时，不等式解集为（﹣∞，﹣1），a＞0时，不等式解集为（﹣∞，﹣1）∪(−12＜a=−12a＜−12时，不等式解集为（﹣121．（8分）（2022春•沧州期末）已知函数f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+6，a∈R．（1）解关于a的不等式f（﹣3）＜0；（2）若m∈R，a＞0，关于x的不等式f（x）+a3+21＞0的解集为（m﹣4，m+5），求a的值．【解题思路】（1）f（﹣3）＝﹣27﹣3a（6﹣a）+6＜0，由此能求出所求不等式的解集．（2）法一：不等式f（x）+a3+21＞0可化为3x2﹣a（6﹣a）x﹣a3﹣27＜0，利用根的判别式、韦达定理能求出a．法二：不等式f（x）+a3+21＞0可化为3x2﹣a（6﹣a）x﹣a3﹣27＜0，利用根的判别式、韦达定理能求出a．【解答过程】解：（1）函数f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+6，a∈R，关于a的不等式f（﹣3）＜0，∴由题意知f（﹣3）＝﹣27﹣3a（6﹣a）+6＜0，化简得a2﹣6a﹣7＜0，解得﹣1＜a＜7．所以所求不等式的解集为{a|﹣1＜a＜7}．（2）解法一：不等式f（x）+a3+21＞0可化为3x2﹣a（6﹣a）x﹣a3﹣27＜0．关于x的方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣a3﹣27＝0的判别式：Δ＝[a（6﹣a）]2+12（