高中数学培优讲义练习（必修一）：专题1.5 集合的基本运算-重难点题型精讲（教师版）

专题1.5集合的基本运算-重难点题型精讲1．并集的概念及表示2.交集的概念及表示温馨提示：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．3．并集、交集的运算性质4．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.5．补集温馨提示：∁UA的三层含义：(1)∁UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．【题型1并集的运算】【方法点拨】①定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．②数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．【例1】（2022•河南模拟）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，集合B＝{x|1﹣x＞﹣1}，则集合A∪B＝（）A．（2，3） B．（﹣2，2） C．（﹣2，+∞） D．（﹣∞，3）【解题思路】求出集合B，由此能求出A∪B．【解答过程】解：集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，集合B＝{x|1﹣x＞﹣1}＝{x|x＜2}，则A∪B＝{x|x＜3}．故选：D．【变式1-1】（2022•东城区校级三模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|0＜x＜1}【解题思路】利用集合并集定义、不等式性质直接求解．【解答过程】解：∵集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}．故选：B．【变式1-2】（2022春•乐清市校级期中）设集合A＝{2，3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{3} B．{2，3} C．（2，3） D．[2，4）【解题思路】利用并集定义直接求解．【解答过程】解：∵集合A＝{2，3}，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∪B＝{x|2≤x＜4}．故选：D．【变式1-3】（2022春•平罗县校级期中）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，则M∪N等于（）A．(0，1) B．(−1，2) C【解题思路】利用并集运算可求得答案．【解答过程】解：由集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，则M∪N＝{x|﹣1＜x＜1}∪{x|0＜x＜2}＝（﹣1，2），故选：B．【题型2交集的运算】【方法点拨】①求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．②在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．【例2】（2022•金东区校级模拟）设集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|x≥2} B．{x|x＜2} C．{x|2≤x＜3} D．{x|﹣1≤x＜2}【解题思路】直接利用交集运算得答案．【解答过程】解：∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|x≥2}∩{x|﹣1＜x＜3}＝{x|2≤x＜3}．故选：C．【变式2-1】（2022•金凤区校级三模）已知集合A＝{x|1＜x﹣1≤3}，B＝{2，3，4}，则A∩B＝（）A．{2，3，4} B．{3，4} C．{2，4} D．{2，3}【解题思路】求出集合A，利用交集定义能求出A∩B．【解答过程】解：∵集合A＝{x|1＜x﹣1≤3}＝{x|2＜x≤4}，B＝{2，3，4}，∴A∩B＝{3，4}．故选：B．【变式2-2】（2022•浙江学业考试）已知集合P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3}，则P∩Q＝（）A．{0} B．{0，3} C．{1，2} D．{0，1，2，3}【解题思路】由已知结合集合交集的运算即可求解．【解答过程】解：集合P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3}，则P∩Q＝{1，2}．故选：C．【变式2-3】（2022•巴宜区校级二模）集合A＝{x∈Z|x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．{1}【解题思路】进行交集的运算即可．【解答过程】解：∵A＝{x∈Z|x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：B．【题型3由集合的并集、交集求参数】【方法点拨】①策略：当题目中含有条件A∩B＝A或A∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A∩B＝A转化为A⊆B，A∪B＝B转化为A⊆B.②方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．③注意点：当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况．【例3】（2021秋•宜宾期末）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a+1，a∈R}．（1）若a＝1，求A∪B；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）求出集合B，并集定义能求出A∪B；（2）由A∩B＝A，得A⊆B，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．【解答过程】解：（1）∵集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a+1，a∈R}．当a＝1时，B＝{x|0≤x≤3}，∴A∪B＝{x|0≤x＜4}；（2）∵A∩B＝A，∴A⊆B，∴a−1＜∴实数a的取值范围为[3【变式3-1】（2021秋•资阳期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|2a+1＜x＜2a+6}，B＝{x|﹣4≤x≤2}．（1）若a＝﹣1，求A∪B；（2）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）把a＝﹣1代入求得A，再由并集运算得答案；（2）由A∩B≠∅，可得关于a的不等式组，求解得答案．【解答过程】解：（1）a＝﹣1时，A＝{x|﹣1＜x＜4}，又B＝{x|﹣4≤x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣4≤x＜4}；（2）若A∩B≠∅，则2a+1＜解得﹣5＜a＜12，故a的取值范围是（﹣5，【变式3-2】（2021秋•伊州区校级期末）若集合A＝{x|2x﹣1⩾3}，B＝{x|3x﹣2＜m}，C＝{x|x＜5，x∈N}．（1）求A∩C；（2）若A∪B＝R，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）先求出A与C，再根据集合的基本运算求解．（2）先求出集合B，再根据A∪B＝R，得到不等式求解．【解答过程】解：（1）∵A＝{x|2x﹣1⩾3}＝{x|x⩾2}，C＝{x|x＜5，x∈N}＝{0，1，2，3，4}，∴A∩C＝{2，3，4}．（2）∵B＝{x|3x﹣2＜m}＝{x|x＜m+23∴A∪B＝{x|x＜m+23或x≥∵A∪B＝R，∴m+23≥2，∴m≥∴实数m的取值范围为[4，+∞）．【变式3-3】（2021秋•黑龙江期末）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）当用m＝5时，求A∩B，A∪B；（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）求出集合B，由此能求出A∩B，A∪B．（2）由A∪B＝A，得B⊆A，当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，当B≠∅时，m+1≤2m−【解答过程】解：（1）∵集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．m＝5时，B＝{x|6≤x≤9}，∴A∩B＝{x|6≤x≤7}，A∪B＝{x|﹣2≤x≤9}．（2）∵集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，A∪B＝A，∴B⊆A，∴当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2，当B≠∅时，m+1≤2m−1m+1≥−22m−1≤7，解得综上，实数m的取值范围是（﹣∞，4]．【题型4补集的运算】【方法点拨】①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．【例4】（2022•沈阳模拟）已知全集U＝{x∈N|﹣1＜x≤3}，A＝{1，2}，∁UA＝（）A．{3} B．{0，3} C．{﹣1，3} D．{﹣1，0，3}【解题思路】利用列举法表示U，再由补集运算得答案．【解答过程】解：∵U＝{x∈N|﹣1＜x≤3}＝{0，1，2，3}，A＝{1，2}，∴∁UA＝{0，3}．故选：B．【变式4-1】（2022•林州市校级开学）已知全集A＝{x|1≤x≤6}，集合B＝{x|1＜x＜5}，则∁AB＝（）A．{x|x≥5} B．{x|5＜x≤6或x＝1} C．{x|x≤1或x≥5} D．{x|5≤x≤6}∪{1}【解题思路】利用补集的定义，求解即可．【解答过程】解：∵全集A＝{x|1≤x≤6}，集合B＝{x|1＜x＜5}，∴∁AB＝{x|5≤x≤6}∪{1}，故选：D．【变式4-2】（2022•乙卷）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M【解题思路】根据补集的定义写出集合M，再判断选项中的命题是否正确．【解答过程】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，∁UM＝{1，3}，所以M＝{2，4，5}，所以2∈M，3∉M，4∈M，5∈M．故选：A．【变式4-3】（2022•北京）已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，则∁UA＝（）A．（﹣2，1] B．（﹣3，﹣2）∪[1，3） C．[﹣2，1） D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）【解题思路】由补集的定义直接求解即可．【解答过程】解：因为全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，所以∁UA＝{x|﹣3＜x≤﹣2或1＜x＜3}＝（﹣3，﹣2]∪（1，3）．故选：D．【题型5交集、并集、补集的综合运算】【方法点拨】①如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．②如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．【例5】（2022•临沂三模）已知集合A＝N，B＝{x|x≥3}，A∩（∁RB）＝（）A．{﹣1，0} B．{1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}【解题思路】根据题意，求出∁RB，由交集的定义计算可得答案．【解答过程】解：根据题意，B＝{x|x≥3}，则∁RB＝{x|x＜3}，则A∩（∁RB）＝{0，1，2}；故选：D．【变式5-1】（2022•柯桥区模拟）已知集合A＝{x∈R|x≤0}，B＝{x∈R|﹣1≤x≤1}，则∁R（A∪B）＝（）A．（﹣∞，0） B．[﹣1，0] C．[0，1] D．（1，+∞）【解题思路】先求A和B的并集，再求并集的补集．【解答过程】解：∵集合A＝{x∈R|x≤0}，B＝{x∈R|﹣1≤x≤1}．∴A∪B＝{x∈R|x≤1}．则∁R（A∪B）＝{x∈R|x＞1}．故选：D．【变式5-2】（2022•大通县三模）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{x|x≤2，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∪（∁UB）＝（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2，3，4}【解题思路】先根据条件求得A和B的补集，再结合并集的定义求解即可．【解答过程】解：由题得A＝{x|x≤2，x∈N}＝{0，1，2}，又B＝{﹣1，0，1，2}，所以∁UB＝{3，4}，所以A∪（∁UB）＝{0，1，2，3，4}．故选：D．【变式5-3】（2022•义乌市模拟）已知全集U＝R，集合P＝{x|﹣2＜x＜1}，Q＝{x|x⩾0}，则P∩（∁UQ）＝（）A．（﹣2，0） B．（0，1） C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣∞，1）【解题思路】根据集合的基本运算即可求解．【解答过程】解：∵U＝R，Q＝{x|x⩾0}，∴∁UQ＝{x|x＜0}，∵P＝{x|﹣2＜x＜1}，∴P∩（∁UQ）＝{x|﹣2＜x＜0}＝（﹣2，0），故选：A．【题型6利用集合间的关系求参数】【方法点拨】①与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．②不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．【例6】（2021秋•沈阳期末）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，U＝R．（1）若A∪∁UB＝U，求实数m的取值范围；（2）若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）由题意得B⊆A，然后对B是否为空集进行分类讨论可求；（2）当A∩B＝∅时，结合B是否为空集进行分类讨论可求m的范围，然后结合补集思想可求满足条件的m的范围．【解答过程】解：（1）A∪∁UB＝U，所以B⊆A，当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，当B≠∅时，2m−解得2≤m≤3，综上，m的取值范围为{m|m≤3}；（2）当A∩B＝∅时，当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，当B≠∅时，2m−1≥解得，m＞4，综上，A∩B＝∅时，m＞4或m＜2，故当A∩B≠∅时，实数m的取值范围为[2，4]．【变式6-1】（2021秋•湖州期末）已知集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+3}．（1）当m＝0时，求∁R（A∩B）；（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）当m＝0时，求出集合B＝{x|﹣1≤x≤3}，进而求出A∩B，由此能求出∁R（A∩B）；（2）由A∪B＝A，得B⊆A，当B＝∅时，2m﹣1＞m+3，当B≠∅时，2m−1≤【解答过程】解：（1）当m＝0时，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}，∴∁R（A∩B）＝{x|x＜﹣1或x＞2}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，当B＝∅时，2m﹣1＞m+3，解得m＞4，当B≠∅时，2m−解得m＝1，综上，实数m的取值范围是{m|m＞4或m＝﹣1}．【变式6-2】（2021秋•海东市期末）已知集合A＝{x|a＜x＜2a}，B＝{x|x≤﹣4或x≥