高中数学培优讲义练习（选择性必修一）：直线的交点坐标与距离公式-重难点题型精讲（学生版）

专题2.7直线的交点坐标与距离公式-重难点题型精讲1．两条直线的交点坐标(1)两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系设两直线,直线.2．两点间的距离公式平面内两点间的距离公式为.特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.3．点到直线的距离公式(1)定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.(2)公式：已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.4．两条平行直线间的距离公式(1)定义两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.(2)公式设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.5．中点坐标公式公式：设平面上两点，线段的中点为，则.【题型1求两直线的交点坐标】【方法点拨】(1)求两直线的交点坐标，通常情况下解由两直线方程组成的方程组即可.(2)若已知交点坐标求直线方程中的变量，直接代入交点坐标即可.【例1】（2022·全国·高二专题练习）直线y=x与直线x+y−2=0的交点坐标是（

）A．1,1 B．12,12 C．【变式1-1】（2022·贵州·高二学业考试）直线x=2与直线y=x+1的交点坐标为（

）A．2,3 B．−2,−3 C．0,1 D．0,0【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知A0,0，B3,0，C1,2，则△ABCA．43,23 B．32,0【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）若直线l1:y=kx+k+2与直线l2:y=−2x+4的交点在第一象限内，则实数A．k>−23 C．−23<k<2 D．【题型2经过两直线交点的直线方程】【方法点拨】①经过两直线，的交点的直线方程为(除直线)，其中是待定系数；结合已知条件求出，即可得解.②联立两直线方程，求出交点坐标，结合已知条件设出所求直线方程，代入点即可得解.【例2】（2022·全国·高二专题练习）过原点和直线l1:x−3y+4=0与l2A．19x−9y=0 B．9x+19y=0C．3x+19y=0 D．19x+3y=0【变式2-1】（2022·北京高二期中）过两直线x+y−3=0,2x−y=0的交点，且与直线y=13xA．x+3y+5=0 B．x+3y−5=0C．x−3y+5=0 D．x−3y−5=0【变式2-2】（2022·江苏·高二课时练习）过两条直线l1:x−y+3=0与l2:2x+y=0的交点，倾斜角为A．3x−y+3+2=0C．3x−y−3−4=0【变式2-3】（2022·江苏省高二阶段练习）已知直线l1:x−y+1=0，l2:x−2=0，则过l1和lA．3x−4y−1=0 B．3x−4y+1=0C．4x−3y−1=0 D．4x−3y+1=0【题型3两点间的距离公式的应用】【方法点拨】平面上两点间距离公式的应用主要有以下两种：(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解.(2)利用两点间距离公式可以判断三角形的形状.从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.【例3】（2022·江苏·高二课时练习）已知点A2,4，B5,4，那么A，B两点之间的距离等于（A．8 B．6 C．3 D．0【变式3-1】（2021·广西·高二期中）已知A2,−3，B5,−7，则AB=A．3 B．4 C．5 D．6【变式3-2】（2021·福建三明·高二期中）已知直线l1：2x−y−2=0与直线l2：3x+y−8=0的交点为A，则点A与点B2A．13 B．22 C．2 D．【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l1:x−my+1=0过定点A，直线l2:mx+y−m+3=0过定点B，l1与l2相交于点A．10 B．13 C．16 D．20【题型4点到直线的距离公式的应用】【方法点拨】(1)求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可.(2)若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.(3)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离，某些距离的最值问题可以转化为点到直线的距离问题来求解.(4)因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题.【例4】（2022·河南·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，点M的坐标为(2,2)，则点M､原点A．y=x+2 B．y=−x−2 C．y=−x+2【变式4-1】（2022·江苏·高二阶段练习）点a,6到直线3x−4y−2=0的距离大于5，则实数a的取值范围为（

）A．13,17 C．−∞,1【变式4-2】（2022·全国·高二课时练习）直线l经过点2,−5，且与点3,−2和点−1,6的距离之比为1：2，则直线l的方程为（

）A．x+y+3=0 B．17x+y−29=0C．x+y+3=0或17x+y−29=0 D．3x+y+3=0【变式4-3】（2022·河南·高二阶段练习）已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（

）A．y=x+1 B．y=6C．y=43x【题型5两条平行直线间的距离公式的应用】【方法点拨】第一步：将两条直线的方程转化为一般式方程；第二步：转化两条直线的方程中的一个方程，使得它们x，y的系数对应相同；第三步：使用公式直接求解两条平行直线间的距离.【例5】（2022·河北·高二阶段练习）已知a<0，若直线l1:ax+2y−1=0与直线l2A．724 B．522 C．5 【变式5-1】（2022·河南·高二阶段练习）已知直线3x+my−3=0与6x+4y+1=0互相平行，则它们之间的距离是（

）A．4 B．21313 C．513【变式5-2】（2022·辽宁·高二开学考试）与两平行线l1：3x+2y−6=0，l2：6x+4y−3=0等距离的直线的方程为（A．12x+8y−15=0 B．9x+6y−5=0C．12x+8y−15=0或9x+6y−5=0 D．6x+4y−15=0【变式5-3】（2022·江苏·高二课时练习）若直线2x+y−3=0与直线4x+2y+a=0之间的距离不大于5，则实数a的取值范围为（

）A．a≤4 B．−16≤a≤4C．−4≤a≤16 D．a≤16或a≥4【题型6与距离有关的最值问题】【方法点拨】点到直线的距离是点与直线上的点的距离的最小值，两条平行直线间的距离是在两条平行直线上各任意取一点所得两点间距离的最小值，它们的应用非常广泛，在某些证明问题或最值问题的解答中尤其常见.最值问题的常用求法有两种：(1)利用解析几何知识，先设一个函数，然后用函数求最值的方法进行求解.(2)几何法：根据几何图形直观判断哪种情况下取得最值.常用结论有：两点之间线段最短；直角三角形的斜边大于直角边；三角形的两边之和(差)大(小)于第三边.【例6】（2022·全国·高三专题练习）原点到直线l:3+2λx+4+λA．225 B．25 C．2【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤1A．1，33 B．33，13 C．22，【变式6-2】（2022·江苏·