高中数学培优讲义练习（选择性必修一）：椭圆的简单几何性质-重难点题型精讲（教师版）

专题3.3椭圆的简单几何性质-重难点题型精讲1．椭圆的范围设椭圆的标准方程为(a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围.(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里.

(2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.2．椭圆的对称性(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.

(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程(a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.3．椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆的标准方程(a>b>0)为例.

(1)顶点

令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.

这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.

(2)长轴、短轴

线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.

长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.4．椭圆的离心率(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.

(2)离心率的范围：0<e<1.

(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.5．椭圆的几何性质的挖掘(1)椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，通径长为=.

说明：无论焦点在x轴上还是在y轴上，椭圆的通径长均为.

(2)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆的焦半径

a.焦半径定义：椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径.

b.焦半径公式：

已知点P在椭圆上，且，分别是左(下)、右(上)焦点，

当焦点在x轴上时，=a+，=a-；当焦点在y轴上时，=a+，=a-.【题型1利用椭圆的几何性质求标准方程】【方法点拨】(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：a.确定焦点的位置；b.设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；c.根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数.列方程(组)时常用的关系式有，e=等.(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个.【例1】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知椭圆C:x2a2+y2A．x22+y2=1 B．x【解题思路】由已知条件可得c与a的值，进而得b的值，然后得标准方程.【解答过程】由于2c=2,所以c=1,又因为e=ca=b2=a故选：C.【变式1-1】（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，A1,A．x218+y216=1 B．【解题思路】根据离心率及BA1⋅【解答过程】解：因为离心率e=ca=1−bA1,A2分别为B为上顶点，所以B(0,b).所以BA1所以−a2+b2故椭圆的方程为x2故选：B.【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）焦点在y轴上，长轴长为10，离心率为35的椭圆的标准方程为（

A．x2100+C．x225+【解题思路】根据长轴长算出a后，由离心率可得c的值，从而可得椭圆的标准方程.【解答过程】因为长轴长为10，故长半轴长a=5，因为e=ca=故b2又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为y2故选：D.【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点2,0的椭圆方程是（

A．x24+y2C．x24+y2【解题思路】讨论焦点在x轴和y轴两种情况，根据已知计算即可得出结果.【解答过程】当椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为x2a2∴b∵椭圆过点（2，0），∴22a2+02b∴椭圆标准方程为x当椭圆的焦点在y轴上，同理易得：x故选：D.【题型2椭圆的焦距与长轴、短轴】【方法点拨】根据已知条件，结合椭圆的焦距与长轴、短轴等知识，进行求解即可.【例2】（2022·全国·高二课时练习）椭圆C:x216A．8，4，(±23,0) B．8，4，(0,±23) C．4，2，(±23,0) 【解题思路】根据椭圆中长轴长、短轴长和焦点坐标的定义可答案.【解答过程】在椭圆C:x216所以椭圆C:x216+y24故选：A.【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆x2+2y2=2A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距C．有相同的焦点 D．有相同的离心率【解题思路】根据椭圆的标准方程，可得a,b,c以及离心率的值，即可求解.【解答过程】将椭圆方程x2+2y其焦点在x轴上，a1=2，b1=1将椭圆方程2x2+y2=1整理得x2则c2=a故选:D．【变式2-2】（2021·重庆市高二阶段练习）椭圆x237+A．23 B．5 C．43 【解题思路】根据椭圆的方程求得a,b,c的值，即可求得焦距2c的值，得到答案.【解答过程】由椭圆x237+y2所以椭圆的焦距为2c=10.故选：D.【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）若椭圆x225+y2A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等【解题思路】分别求出椭圆x225+【解答过程】解：椭圆x225+y29=1∴长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是(±4,0)；离心率是：45椭圆x2∵a1=25−k，∴长轴长是225−k，短轴长是29−k；焦距是8；焦点坐标是(±4,0)；离心率是∴椭圆x225+故选：B．【题型3求椭圆的离心率或其取值范围】【方法点拨】求椭圆的离心率通常有如下两种方法：①若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，求出a，c的值，利用公式e=直接求解；②若椭圆方程未知，则根据条件及几何图形建立a，b，c，e满足的关系式，化为a，c的齐次方程，得出a，c的关系或化为e的方程求解，此时要注意e∈(0,1).【例3】（2022·江苏·高二阶段练习）已知椭圆C:x2m+yA．55 B．12或55 C．12或32【解题思路】对焦点所在位置进行分类讨论，利用a2=b【解答过程】因为椭圆C:x2m当椭圆焦点在x轴上，m=4+1=5，所以e=c当椭圆焦点在y轴上，4=m+1，所以e=c故选：B.【变式3-1】（2022·安徽蚌埠·一模）若椭圆C:x2a2+y2A．0,55 B．55,1 C．【解题思路】利用点差法可得直线AB的斜率，从而可得AB垂直平分线直线方程，由点P在AB垂直平分线上，结合AB的中点在椭圆内可解.【解答过程】记AB中点为Qm,n，则x由题意点Pa5,0将Ax1两式相减可得x1所以−4a2所以AB的中垂线的方程为y−n=a2n4mx−m由题意，m<a,a>2，故a2所以e=故选：B.【变式3-2】（2022·江西省高二阶段练习）设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在C上（M位于第一象限），且点MA．24 B．12 C．62【解题思路】设MF2=x，则MF1【解答过程】解：依题意作下图，由于MN=F1F2∴四边形MF1NF2设MF2=x根据勾股定理，MF12整理得x2由于点M在第一象限，x=a−a由22MF2=整理得7c2+6ac−9a2故选：C．【变式3-3】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上存在点A．0,14 B．14,1 C．【解题思路】先由椭圆的定义结合已知求得PF1,PF【解答过程】由椭圆的定义得PF1+PF2=2a，又∵而PF1−即32a−12a≤2c，即a≤2c故选：D．【题型4根据椭圆的离心率求参数】【方法点拨】根据椭圆的离心率和已知条件及几何图形建立a，b，c，e满足的关系式，得出含有参数的有关a，c的关系式或化为e的方程，即可求解，此时要注意e∈(0,1).【例4】（2022·全国·高三专题练习）若椭圆x2a2+y2=1(a>0)A．2 B．12 C．2或22 D．2【解题思路】分a2>1和【解答过程】解：当a2>1，即a>1时，则a2当a2<1，即0<a<1时，则1−a综上：a的值为2或22故选：C.【变式4-1】（2022·甘肃定西·高二开学考试（理））如果椭圆x2k+8+y29=1(k>−8)A．4 B．4或−54 C．−45 【解题思路】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a,b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可．【解答过程】解：因为椭圆x2k+8+当k+8>9时，椭圆焦点在x轴上，可得：a=k+8,b=3,∴c=a当0<k+8<9时，椭圆焦点在y轴上，可得：a=3,b=k+8,∴c=a∴k=4或k=−5故选：B．【变式4-2】（2021·甘肃·高二阶段练习（理））“m=8”是“椭圆x2m+y2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】椭圆x2m+y24=1离心率为22，可得：m>4时，【解答过程】椭圆x2m+m>4时，1−4m=0<m<4时，1−m4总之m=8或2．∴“m=8”是“椭圆x2m+故选：A．【变式4-3】（2022·全国·高二课时练习）设e是椭圆x2k+y2A．0,3 B．3,C．0,2 D．0,3【解题思路】利用椭圆的离心率公式进行求解即可.【解答过程】当焦点在x轴时e=k−4∴k−4当焦点在y轴时e=4−k所以实数k的取值范围是0,3∪故选：D.【题型5椭圆中的最值问题】【方法点拨】求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【例5】（2020·广西·高二阶段练习（文））若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1A．5 B．6 C．7 D．8【解题思路】设点Px0,y0，可得出y【解答过程】由椭圆方程得F−1,0，设P(x0∵P为椭圆x24+y23=1∴OP因为−2≤x0≤2，当x0=2故选：B.【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：x29+y2b2=1b>0A．1 B．2 C．3 D．6【解题思路】根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最小值为a−c，即可求出c，再根据c2【解答过程】解：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为a−c，即a−c=3−22，又a=3，所以c=2由c2=a故选：A.【变式5-2】（2022·重庆八中模拟预测）已知F1，F2分别为椭圆C:x24+yA．2 B．23 C．4 D．【解题思路】椭圆上的点P满足PF1−【解答过程】椭圆上的点P满足PF当点P为F2F1PF1−故选：B.【变式5-3】（2022·河南洛阳·三模（理））已知点M是椭圆C：x24+y23=1上异于顶点的动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，E为MF1A．1 B．2 C．3 D．2【解题思路】由题，结合角平分线性质与椭圆的性质，SMF1PF2=12MF1+MF2ℎ=2ℎ，【解答过程】由图，a2=4,  b2=3，c=a2−b2=1，故F1F2=2，设MF2=t，则MF1=4−t，cos∠MF2F1=22+t2故选：B.【题型6椭圆的实际应用问题】对于椭圆的实际应用问题，结合具体条件建立坐标系，得出椭圆的基本量或基本量之间的关系，利用椭圆的性质进行求解，注意要满足实际情况.【例6】（2021春•浙江期中）如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为12厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）A．154 B．32 C．26【解题思路】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a【解答过程】解：不妨设椭圆方程为x2a2+y由题意得2a=12−解得a＝4，b＝2，c=16−4=2∴该椭圆的离心率为e=c故选：B．【变式6-1】（2021春•山东期末）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于−5A．34 B．58 C．74【解题思路】过P（x0，y0）且与椭圆x2a2+y2b分别代入A，B坐标，求出C，D的坐标，进而表示出直线AC和直线BD的斜率，再代入kAC⋅kBD=−【解答过程】解：设内圈椭圆的方程为x2a2+y则A（﹣ma，0），B（0，mb），设C（xC，yC），D（xD，yD）．过C点且与内圈椭圆相切的直线方程为xCxa2+代入x2a2+y2b2过D点且与内圈椭圆相切的直线方程为xDxa2+代入x2a2+y2b2所以kAC⋅k故选：D．【变式6-2】（2021·江苏南通·高二期中）某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.（1）若最大拱高ℎ