高中数学培优讲义练习（必修二）：专题6.5 向量的数量积（重难点题型精讲）（教师版）

专题6.5向量的数量积（重难点题型精讲）1．向量的数量积(1)向量数量积的物理背景在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角.

我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.(2)向量的夹角已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB=(0≤≤π)叫做向量与的夹角，也常用表示.(3)两个向量数量积的定义已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||.

规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0.(4)向量的投影如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.2．向量数量积的性质和运算律(1)向量数量积的性质设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则

①==.

②=0.

③当与同向时，=；当与反向时，=-.

特别地，==或=.

④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.

⑤=.(2)向量数量积的运算律由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：

对于向量，，和实数，有

①交换律：=；

②数乘结合律：()=()=()；

③分配律：(+)=+.3．向量数量积的常用结论(1)=；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立.

以上结论可作为公式使用.【题型1向量的投影】【方法点拨】根据向量的投影的定义，结合具体条件，进行求解即可.【例1】（2022·安徽·校联考二模）已知单位向量a,b满足a+b=3，则A．a B．12a C．12【解题思路】利用向量数量积的运算律可求得a⋅b，首先求得a在【解答过程】由题意知：a=∵a+b∴acos<a,b>=故选：C.【变式1-1】（2022春·湖北·高二阶段练习）已知|a|=3,|b|=5，设a,b的夹角为120°，则A．56a B．536a 【解题思路】列出投影向量公式，即可计算求解.【解答过程】b在a上的投影向量a故选：C.【变式1-2】（2022春·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知平面向量a,b满足|a|=2,a⋅bA．12a B．12b C．【解题思路】根据投影向量的定义结合向量的夹角公式运算求解.【解答过程】b在a方向上的投影向量为(|故选：C.【变式1-3】（2022·高一课时练习）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=120∘，AB=CD，则向量CD在向量AB上的投影向量为（A．−32AB B．−12AB【解题思路】根据图形求出向量AB与CD的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.【解答过程】延长AB，DC交于点E，如图所示，∵∠ABC=∠BCD=120∴∠CBE=∠BCE=60°，∴∠CEF=120°，又∵CD∴向量CD在向量AB上的投影向量为CD⋅故选：B.【题型2向量数量积的计算】【方法点拨】解决向量数量积的计算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.【例2】（2022·四川·高三统考对口高考）已知向量a与向量b的夹角为60°，a=4，b=5，则a⋅A．20 B．10 C．53 D．【解题思路】根据给定条件，利用向量数量积的定义直接计算作答.【解答过程】因为向量a与向量b的夹角为60°，a=4，b所以a⋅故选：B.【变式2-1】（2022春·吉林四平·高三期末）已知向量a，b满足|a=2，b|=3，且a与b的夹角为A．6 B．8 C．10 D．14【解题思路】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.【解答过程】`由|a=2，b|=3，且所以a=2=2×2故选：B.【变式2-2】（2022·四川自贡·统考一模）在△ABC中，∠C=90°，CB=3，点M在边AB上，且满足BM=2MA，则CM⋅A．43 B．3 C．6 【解题思路】结合向量的数量积运算以及线性运算求得正确答案.【解答过程】依题意CA⊥CB，CB=3，BM=2所以CM==1故选：B.【变式2-3】（2022春·江苏徐州·高三学业考试）如图，在边长为3的正△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AEEB=CDDA=A．93−12 B．92−12【解题思路】结合平面向量的线性运算得到DE⋅【解答过程】因为AEEB=DE==AC又因为正△ABC边长为3，所以AC=AB=3故DE=3×3×=−9故选：C.【题型3求向量的夹角（夹角的余弦值）】【方法点拨】求两非零向量的夹角或其余弦值一般利用夹角公式=求解.【例3】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知向量m，n满足m=n=2，且m⋅n=−22A．π6 B．π4 C．3π【解题思路】根据向量的点乘关系，求出cosθ，即可求出m，n【解答过程】解：由题意，在向量m，n中，m=m⋅解得：cos∴θ=故选：C.【变式3-1】（2022春·云南曲靖·高三阶段练习）已知|a|=1,|b|=2,aA．0 B．21111 C．213【解题思路】根据数量积的性质求解a−2b，再根据向量夹角余弦值公式可得【解答过程】解：|a|=1,|所以cosa故选：D.【变式3-2】（2022·全国·模拟预测）已知向量a，b满足a=1，a+2b=7，aA．π2 B．3π4 C．π3【解题思路】根据a+2b=7，a−b=192【解答过程】解：由题可得a+2ba−b①②两式联立得a⋅b=−∴cosa,b∴a,故选：D.【变式3-3】（2022秋·山东聊城·高一期中）已知|a|=2,|b|=2,e是与向量b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影向量为−A．45° B．60° C．120° D．135°【解题思路】根据投影向量的定义结合题意可得a⋅b|【解答过程】由题意可知向量a在向量b上的投影向量为a⋅则a⋅b|而⟨a→,故选：D.【题型4已知向量的夹角求参数】【方法点拨】根据题目条件，借助向量的夹角公式=，进行转化求解即可.【例4】（2022秋·甘肃兰州·高一期中）已知i,j为互相垂直的单位向量，a=−i+2j,b=3A．0,+∞ B．C．−∞,0 【解题思路】根据a与a−b的夹角为锐角，由a⋅a−【解答过程】解：因为a=−所以a−因为a与a−所以4+2λ−2>0，且a与解得λ>0，当a//a−即−1=−4k2=kλ−2，解得当λ=10时，a与a−所以λ的取值范围为0,10∪故选：B.【变式4-1】（2022·高一单元测试）已知△ABC是正三角形,若a=AC−λAB与向量AC的夹角大于A．λ<12 B．λ<2 C．λ>1【解题思路】由平面向量数量积的定义与运算律求解，【解答过程】由题意得a⋅AC<0，设△ABC则(AC−λAB故选：D.【变式4-2】（2022春·北京顺义·高三期中）已知a和b是两个互相垂直的单位向量，c=a+λbλ∈R，则λ=1是c和aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据向量公式cosa,c=a⋅ca⋅【解答过程】a⋅c=acosa,c=a⋅ca⋅c=故λ=1是c和a夹角为π4故选：A.【变式4-3】（2022秋·陕西渭南·高一期末）已知i,j分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，a=i−2j，b=A．−2,23∪C．−∞,1【解题思路】由向量夹角为锐角可知a⋅b>0【解答过程】∵a,b的夹角为锐角，∴∴a⋅b=i∴实数λ的取值范围为−∞故选：B.【题型5向量的模】【方法点拨】或是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.【例5】（2023·广西梧州·统考一模）已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|aA．3 B．10 C．14 D．4【解题思路】根据平面向量模的运算性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【解答过程】∵向量a,b满足|a|=1，∴|a+2b∴|2a∴2故选：D.【变式5-1】（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量a，b，c两两之间的夹角均相等，且a⋅b=−1，b⋅c=−2，A．133 B．393 C．76【解题思路】根据题意确定向量两两间夹角为2π3，利用条件求出|a【解答过程】因为平面向量a，b，c两两之间的夹角均相等，且两两之间的数量积为负数，所以两两之间的夹角均为2π|a且a→则解得|a所以|a→+故选：B.【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量a，b满足a=2b=22，a，b的夹角为π3，若cA．89 B．83 C．22【解题思路】根据向量的数量积运算即可.【解答过程】a=2b=22，a，b的夹角为c2=1故选：D.【变式5-3】（2022春·宁夏石嘴山·高三阶段练习）在边长为4的等边△ABC中，已知AD=23AB，点P在线段CD上，且AP=mA．1 B．5 C．7 D．2【解题思路】将AP用AC和AD表示，再根据C,D,P三点共线，求出m的值，再根据AP=【解答过程】解：AP=m因为C,D,P三点共线，所以m+34=1所以AP=则AP=故选：C.【题型6向量数量积的最值问题】【方法点拨】先进行数量积的有关运算，将数量积的最值问题转化为函数的最值问题或几何量的最值问题，利用求函数最值的基本方法求出相关的最大值或最小值，或利用图形直观求出相关的最值.【例6】（2022·全国·高三专题练习）在四边形ABCD中，G为△BCD的重心，AG=2，点O在线段AG上，则OA⋅OB+A．−3 B．−2 C．−1 D．0【解题思路】首先根据平面向量的加法几何意义，三角形重心的性质和平面数量积的概念得到OA⋅(【解答过程】如图所示：因为OG=所以OB+于是有OA⋅(又OA⋅OG≤所以OA⋅(故选：A.【变式6-1】（2022春·辽宁抚顺·高三阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则PA⋅PB的最大值为（A．8+62 B．8+82 C．12+62【解题思路】根据已知条件作出图形，利用向量的加法法则及相反向量的定义，结合向量的数量积的运算律及勾股定理即可求解.【解答过程】由题意可知，取AB的中点O，如图所示所以PA⋅=PO当点P与点E或点F重合时，|PO|取的最大值，PO2取得最大值，且最大值为12+故选：D.【变式6-2】（2022·全国·高一假期作业）已知向量a、b，|a|=1，|b|=2，若对任意单位向量e，均有|aA．12 B．22 C．1 【解题思路】由(a+b)⋅e=a【解答过程】因为|a所以(a所以(a所以(a所以a+所以a+所