2022年新高考北京数学高考真题试题（含答案）

2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)

数学

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1.已知全集。={目-3<%<3},集合A={x|-2<xWl},则R,A=()

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[l,3)C.[-2,1)D.(-3,-2]U(1,3)

2.若复数z满足i-z=3-4i,则忖=()

A.1B.5C.7D.25

3.若直线2x+y-l=0是圆(x-a)2+y2=i的一条对称轴，则。=()

11,

A.-B.——C.1D.-1

22

4.己知函数/(%)=二，，则对任意实数x,有()

A./(-%)+/(%)=()B./(-x)-/(x)=O

C./(T)+/(X)=1D.〃—x)；

5.己知函数/(x)=cos2_r-sin2x,则()

A.f(x)在1-5，-q)上单调递减B.f(x)在(―a，正)上单调递增

C./(X)在上单调递减D./(X)在行上单调递增

6.设{«„)是公差不为0的无穷等差数列，则“{q}为递增数列”是“存在正整数No,当n>N。时,an>0”

的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬

奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和馆户的关系，其中7表示温度，单位是

K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是（）

A.当7=220,P=1026时，二氧化碳处于液态

B.当T=270,。=128时，二氧化碳处于气态

C.当T=3（）0,P=9987时，二氧化碳处于超临界状态

D.当7=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态

8.若（2x-1）4=%/++“2*2+，则。（）+。2+。4=（）

A.40B.41C.-40D.-41

9.已知正三棱锥P-ABC"的六条棱长均为6,S是△ABC及其内部的点构成的集合.设集合

T={QeS|PQK5},则7表示的区域的面积为（）

3兀

A.—B.7iC.27tD.37t

4

10.在ZiABC中，AC=3,8C=4,NC=90°.尸为△ABC所在平面内的动点，且PC=1,则丽・丽

的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.函数/（》）=工+>/心的定义域是.

X

2/o

12.已知双曲线V+工=1的渐近线方程为y=±X二尤，则m=________.

m3

13.若函数/(x)=Asinx-Jicosx的一个零点为则4=；f\^j=.

—ax+1,x<a^

14.设函数/(x)=；若/(幻存在最小值，则a的一个取值为_________；a的最大值为

(九一2)~,x>a.

15.已知数列｛4｝的各项均为正数，其前〃项和S“满足/£=9(〃=1,2,…).给出下列四个结论：

①｛《,｝的第2项小于3；②｛为｝为等比数列；

③｛4｝为递减数列；④｛4｝中存在小于荒的项.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.(本小题小分)

在ZvlBC中，sin2C=A/3sinC.

(I)求NC；

(ID若b=6,且△ABC的面积为6g,求ZkABC的周长.

17.(本小题14分)

如图，在三棱柱ABC—A4G中，侧面BCG4为正方形，平面BCG与，平面A84A,AB=5C=2,

M,N分别为44，4C的中点.

(I)求证：〃平面BCC|B|；

(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线48与平面8MN所成角的正弦值.

条件①：AB1MN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

18.(本小题13分)

在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将

获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下

数据(单位：m)：

甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

(I)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

(II)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望所

(III)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)

19.(本小题15分)

22

己知椭圆E:j+[=1(。＞力＞0)的一个顶点为A(O,1),焦距为2百.

ab

(I)求椭圆E的方程；

(H)过点P(-2,l)作斜率为％的直线与椭圆E交于不同的两点8,C,直线N8,4c分别与x轴交于点用，

N,当|MN|=2时，求％的值.

20.(本小题15分)

己知函数/(x)=e'ln(l+x).

(I)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(II)设g(x)=/'(x),讨论函数g(x)在[0,+。。)上的单调性;

(III)证明：对任意的s,re(0,+8),wf(s+t)＞/(5)+/(O.

21.(本小题15分)

己知…,%为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的〃e{l,2,,在Q中存在

ai»ai+l»ai+2，"',ai+j(J—°)，使得aj+aM+4+23---1生+J=〃,则称。为"—连续可表数列.

(I)判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由;

（II）若Q:q,4,…，怎为8—连续可表数列，求证：4的最小值为4；

（HI）若Q:q,%…，4为20-连续可表数列，且4+4+…+%<20,求证：k>7.

2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学参考答案

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.D2.B3.A4.C5.C6.C7.D8.B9.B10.D

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.（f0）D（0,l]

12.-3

13.①.1②.-V2

14.□.（）（答案不唯一）口.1

15.①③④

三、解答题共6小愿，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.（1）-

6

⑵6+673

17.（1）取AB的中点为K，连接MK,NK,

由三棱柱43C—可得四边形ABB,\为平行四边形，

而瓦M=AM,，BK=必，则MK//BB、,

而MKU平面C88C，8gu平面C88C，故MK〃平面CBBC1,

而CN=N4,BK=K4,则NK//BC,同理可得NK//平面CBB£,

而NKAMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKNH平面CBB©,而MNu平面MKN,故MNH平面CBB©,

（2）因为侧面CBB©为正方形，故CB，BB,,

而CBu平面CB4G，平面C8g£，平面ABgA,

平面。?片Gc平面A=8与，故CB±平面ABB14,

因为NK//BC,故NK，平面A8瓦4,

因为平面A8g4，故NKLAB,

若选①，则ABLMN,而NK工AB,NK^MN=N,

故AB_L平面MNK,而MKu平面MNK,故

所以ABL8耳，而CB_L3与，CBcAB=B,故8旦_1.平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,

故丽=（0,2,0）,丽=（1』,0）,加=（0,1,2）,

设平面BNM的法向量为n=（x,y,z）,

n-BN=0x+y=0-/.

则《_____.，从而，°八，取z=—l，则〃=(-2,2,_1),

n-BM=0y+2z=0''

设直线AB与平面BNM所成的角为8,则

sin3=|cos^n,A2?^|=g,

若选②，因NKUBC,故NKJ_平面,而KMu平面"KN,

故NK1KM,而B、M=BK=1,NK=1,故B、M=NK,

而48=MK=2,MB=MN,故ABB、M三AMKN,

所以NBB]M=NMKN=90°,故Ag±BB},

而C8L84，CBcAB=B,故平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3(0,0,0),A(0,2,0),N(l,l,0),"(0,l,2),

故丽=(0,2,0),丽=(1/,0),丽;=((),1,2),

设平面BNM的法向量为n=(x,y,z),

n-BN-0y=0一/、

则〈一___，从而＜取zi则”(々I)，

n-BM=0

设直线A6与平面BMW所成的角为。，则

/------A42

sin，=cos(n,AB)=-----=—.

\!2x33

、7

18.(1)0.4(2)-

5

(3)丙

x2,

19.(1)—+y2=1

4-

(2)k=-4

20.(1)y=x

(2)g(x)在[(),+＜功上单调递增.

(3)解：原不等式等价于/(s+f)-/")>/«)-/(0),

4-m(x)=f(x+t)-f(x),(x,r>0),

即证机(x)>加(0),

Vm{x}=f(x+t)-f(x)=e'+,ln(l+x+/)-erln(l+x),

e"+，ex

mr(x)=e*'ln(l+x+f)+------------eAln(l+x)--------=g(x+/)—g(x),

1+x+Z1+x

由(2)知8(/=八刈=^(111(1+幻+!?在［0,伏)上单调递增，

g(x+t)>g(x),

m(x)>0

.•.”(x)在(0,+8)上单调递增，又因为x,f>0,

Am(x)>m(0),所以命题得证.

21.(1)是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列.

(2)若ZW3,设为Q：a,6,c,则至多a+Z?,b+c,a+b+c,〃,反c,6个数字，没有8个，矛盾；

当％=4时，数列Q：l,4,l,2,满足q=1,%=2,%+。4=3，%=4,at+a2=5,at+a2+a3=6,

%+%+%=7，q+/+/+%=8，kmin=4.

(3)。：q,g,…,4，若》=./最多有％种，若i±j,最多有C；种，所以最多有二+C'="(；+”种,

若左<5,则4,生，…，4至多可表空士"=