福建省武夷山市第一中学2023-2024学年高一（实验班）上学期期中考试数学试题

武夷山第一中学20232024学年第一学期期中考试数学（实验班）（考试时间：120分钟满分：150分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式以及指数不等式化简集合，即可由交运算求解.【详解】由得，所以,由得，所以，故，故选：B2.若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】首先设出半径，然后利用扇形弧长公式求解即可.【详解】设该扇形半径为，又∵圆心角，弧长，∴扇形弧长公式可得，，解得，.故选：B.3.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】确定函数单调递增，计算，，得到答案.【详解】在上单调递增，，，故零点所在的区间为.故选：D4.设，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通过指数运算与对数函数单调性比较大小即可.【详解】因为，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：A.5.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】确定函数为奇函数排除A，当时，排除C，计算函数零点排除B，得到答案.【详解】，函数定义域为，，函数为奇函数，排除A；当时，排除C；当时，取，，即函数上只有一个零点，排除B；故选：D.6.已知函数是上的减函数，则实数的取值不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，求解即可得出答案．【详解】因为是上的减函数，所以，解得，即，所以实数的取值不可能是，故选：D．7.已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根据的定义域为，且是奇函数，得到的图象关于对称，且，再根据的图象也关于对称，画出两个函数的图象，利用数形结合法求解.【详解】解：因为的定义域为，且是奇函数，所以，则的图象关于对称，且，当时，，又因为函数，所以的图象关于对称，所以方程的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和，和的图象，如图所示：由图象知：和的图象有5个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外四个，两两分别关于对称，所以5个交点的横坐标之和为，故选：C8.据国家航天局表明，神舟十六号载人飞船将在今年11月左右返回地球．在返程过程中飞船与大气摩擦产生摩擦力f，经研究发现摩擦力f与飞船速度v有关，且满足，其中G为飞船重力，为飞船初速度．已知当时，飞船将达到平衡状态，开始匀速运动，则飞船达到平衡状态时，（）（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指对运算即可解出答案.【详解】由题意得，即，即，两边同取自然对数得，，所以，故选：B.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求､全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各组函数表示同一个函数的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】BD【解析】【分析】根据函数的定义域和对应关系是否相同来判断函数是否为同一函数，从而求解.【详解】对于A：，，两函数对应关系相同，但定义域不同，所以不是同一函数，故不符合题意；对于B：，，两函数定义域和对应关系都相同，故为同一函数，故符合题意；对于C：，，两函数对应关系相同，但定义域不同，所以不是同一函数，故不符合题意；对于D：，，两函数定义域和对应关系都相同，故为同一函数，故符合题意；故选：BD.10.有下列几个命题，其中正确的是（）A.给定幂函数，则对任意，都有B.若函数的定义域为，则函数的定义域为C.函数与互为反函数，则的单调递减区间为D.已知函数奇函数，则【答案】ABD【解析】【分析】根据幂函数的表达式，结合基本不等式即可求解A，根据抽象函数的定义域即可求解B，根据反函数的定义，由对数型函数的定义域即可判断C，根据奇函数的性质即可求解D.【详解】对于A，，由于所以，进而可得，从而可得，即,故A正确，对于B，若函数的定义域为，则函数的定义域满足，所以，故其定义域为，故B正确，对于C，由于函数与互为反函数，所以，则，定义域为，由于不在定义域范围内，故C错误，对于D，当时，，则，由于为奇函数，所以，故，D正确，故选：ABD11.已知正数a，b满足，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用乘“1”法即可判断AB，利用基本不等式即可判断C，构造二次函数结合C选项范围即可判断D.【详解】对A，由题意得，当且仅当，即时等号成立，故A错误，对B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；对C，，解得，当且仅当，即，时等号成立，故C正确；对D，，所以，所以，因为，所以当时，取得最小值，最小值为，当且仅当，时等号成立，故D正确.故选：BCD12.已知定义域为的函数满足，且，则（）A. B.C.是奇函数 D.【答案】ABD【解析】【分析】根据赋值法，即可结合选项逐一求解.【详解】令，则，故A正确，令可得，由于故，令可得，令可得，故，B正确，由于，且，，所以，所以为偶函数，C错误，令可得，故，由于不恒为0，所以，又，故，由于，所以，故D正确，故选：ABD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为__________.【答案】【解析】【分析】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为，计算得到答案.【详解】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为.故答案为：.14.已知函数，若，则________.【答案】5【解析】【分析】先利用换元法求解出原函数的解析式，然后利用得出的值.【详解】令，则，.因为，所以，解得.故答案为：【点睛】求解复合函数的解析式时，只需用换元法，令，用含的式子表示出然后代入原函数解析式便可得出的解析式.15.化简式子的值为__________.【答案】【解析】【分析】根据指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可.【详解】.故答案为：.16.设函数，若存在最大值，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】当时，由二次函数性质可知无最大值；当时，，无最大值；当时，分别在两段区间内求得的取值范围，根据有最大值可构造不等式求得结果.【详解】当时，开口方向向上，此时无最大值，不合题意；当时，，此时，无最大值，不合题意；当时，若，；若，在上单调递增，在上单调递减，则；若存在最大值，则，解得：；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）确定，计算，得到，解得答案.（2）变换，计算函数的最大值即可.【小问1详解】，故，，故，解得，即；【小问2详解】，即，设，，，故，即.18已知，（1）判断零点的数量；（2）若，且在区间有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）只有1个零点；（2）.【解析】【分析】（1）解法1：画出函数的图象即可判断；解法2：当时，没有零点，当时，根据函数的单调性及零点存在定理即可求解；（2）在区间单调递增，故可得，求解即可.【小问1详解】解法1：令得，在同一坐标系中作函数的图象：两个函数图象有1个公共点，则方程有1个实数解，有1个零点.解法2：当时，没有零点，当时，，则在区间内有零点.又因为函数在单调递增，则在单调递增，所以在在有1个零点,综上：只有1个零点.【小问2详解】又因为函数在单调递增，则在单调递增，则在区间单调递增.因为在区间有且仅有一个零点，因此：，即，解得：.19.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．（1）求利润函数及利润函数的最大值；（2）为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值．【答案】（1）利润函数，最大值为（元）（2）当台时，每台产品的利润取到最大值1900元【解析】【分析】（1）根据题意得到的解析式，再利用二次函数的性质即可求得的最大值；（2）根据题意得到的解析式，再利用基本不等式即可得解.小问1详解】由题意知，，易得的对称轴为，所以当或时，取得最大值为（元）．所以利润函数，最大值为（元）；【小问2详解】依题意，得（元）.当且仅当时等号成立，即时，等号成立．所以当台时，每台产品的利润取得最大值元．20.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；（2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令圆弧的半径为，由定义知求，进而由弧田面积，即可求其面积；（2）由题意得，扇形面积，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时的值即可.【详解】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，，∴，即，得，∴弧田面积，而，∴.（2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积，∴当且仅当时等号成立.∴当时，该扇形面积最大.【点睛】关键点点睛：（1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可；（2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积关于圆心角的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件.21.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求的值；（2）用单调性定义证明：函数在区间上单调递增；（3）若，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再由求得、b的值；（2）利用单调性的定义，结合作差法即可证明；（3）利用奇函数的性质得到，再利用（2）中结论去掉即可求【小问1详解】由题意可知，即，，又，即【小问2详解】，且，有，由于，即，所以函数在区间上单调递增.【小问3详解】因为为奇函数，所以由，得，又因为函数在区间上单调递增，所以解得，故，所以实数的取值范围是22.对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.（1）当时，求函数的不动点；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）在的条件下，若的两个