2024届中考数学压轴题攻略（湘教版）专题12 难点探究专题：全等三角形中的动态问题（解析版）

专题12难点探究专题：全等三角形中的动态问题考点一利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）考点二利用全等三角形中的动点求线段长问题考点三利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题考点四利用全等三角形中的动点综合问题典型例题典型例题考点一利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）例题：（2021·山东临沂·八年级期中）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当________个秒时，与全等．【答案】2或6或8【解析】【分析】分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC=BE，AB=BE进行计算即可．【详解】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，

AC=6，BE=6，AE=12-6=6，点E的运动时间为(秒)．②当E在BN上，AC=BE时，AC=6，BE=6，AE=12+6=18．点E的运动时间为(秒)．③当E在BN上，AB=BE时，AE=12+12=24.点E的运动时间为(秒)④当E在线段AB上，AB=BE时，这时E在A点未动，因此时间为秒不符合题意．故答案为：2或6或8．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．（2021·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形中，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为_______时，和全等．【答案】2或11【解析】【分析】分两种情况讨论，根据题意得出BF=2t=4和AF=26-2t=4即可求得答案．【详解】解：∵为直角三角形，且AB=DC，∴当≌时，有BF=2t=CE=4，解得：t=2；当≌时，有AF=CE=4，此时=4，解得：，故答案为：2或11．【点睛】本题考查全等三角形的判定，注意到为直角三角形，且AB=DC，故只有BF=2t=4和AF=26-2t=4两种情况．2．（2022·江苏·镇江实验学校八年级阶段练习）已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=8cm，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．动点P以每秒2cm的速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒8cm的速度从B点出发沿正方形的边BA-AD-DC-CB方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．连接PA，当t的值为___________________秒时，PAB和QAD全等．【答案】0.8秒或．【解析】【分析】分点Q在AB，AD，DC，BC边上这几种情况进行讨论，根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而列出方程求得t的值．【详解】解：①当点Q在边AB上时，如图1，∵AB＝AD，∠ABP＝∠DAQ＝90°，要使PAB和QAD全等，只能是PAB≌QDA，∴BP＝AQ，∵AQ＝8－8t，BP＝2t，∴8－8t＝2t，∴t＝0.8，②当点Q在边AD时，不能构成QAD，③当点Q在边CD上时，如图2，同①的方法得，要使PAB和QAD全等，只能是PAB≌QAD，∴BP＝DQ，∴2t＝8t－16，∴t＝，④当点Q在边BC时，QAD不是直角三角形，而PAB是直角三角形，所以，不能全等；即：当PAB和QAD全等时，t的值为0.8或，故答案为：0.8或．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题．考点二利用全等三角形中的动点求线段长问题例题：（2021·江苏·宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，∠B=90°AB∥DF，AB=3cm，BD=8cm，点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE，若AC=CE,则DE的长为______.【答案】5【解析】【分析】根据全等得出对应边相等，即可得出答案.【详解】解：∵∠B=90°，AB∥DF，∴∠D=∠B=90°，∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，∴∠ECD+∠CED=90°，∠ACB+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠CED；∴在△ABC和△CDE中∴△ABC≌△CDE（AAS），∴AB=CD=3cm，∴DE=BC=8cm-3cm=5cm故答案为5.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．【变式训练】1．（2021·江苏盐城·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQ∥CA交PO的延长线于点Q，OM⊥PQ交BC边于点M．当CP＝1时，BM的长为_____．【答案】2.5或1【分析】如图，设BM=x，首先证明BQ=AP，分两种情形，利用勾股定理，构建方程求解即可．【详解】解：如图，设BM＝x，在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵QB∥AP，∴∠A＝∠OBQ，∵O是AB的中点，∴OA＝OB，在△OAP和△OBQ中，，∴△OAP≌△OBQ（ASA），∴PA＝BQ＝6﹣1＝5，OQ＝OP，∵OM⊥PQ，∴MQ＝MP，∴52+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝2.5．当点P在AC的延长线上时，同法可得72+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝1，综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1．故答案为：2.5或1．【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．2．（2020·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图，△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且满足DE=DH，F为AE的中点，G为直线AC上一动点，满足DG＝DF，若AE=4cm，则AG=_____cm．【答案】2或6.【解析】【详解】∵DE⊥AB，DH⊥AC，∴∠AED=∠AHE=90°.在△ADE和△ADH中，∵AD=AD,DE=DH,∴△ADE≌△ADH(HL),∴AH=AE=4cm.∵F为AE的中点，∴AF=EF=2cm.在△FDE和△GDH中，∵DF=DG,DE=DH,∴△FDE≌△GDH(HL),∴GH=EF=2cm.当点G在线段AH上时，AG=AH-GH=4-2=2cm;当点G在线段HC上时，AG=AH+GH=4+2=6cm;故AG的长为2或6.考点三利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题例题：（2021·重庆八中八年级开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为________．【答案】【解析】【分析】在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE=EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．【详解】解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，又AE=AE，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴FE=EF′，∵S△ABC=AB•CH=AC•BC，∴CH=，∵EF+CE=EF′+EC，∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，明确当C、E、F′共线，且点F′与点H重合时，CE+EF的值最小．【变式训练】1．（2021·湖北·武汉大学附属外语学校八年级阶段练习）△ABC是边长为2的等边三角形，点P为直线BC上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为____．【答案】．【解析】【分析】根据题意连接EC，作CH⊥AB于H，首先证明CE∥AB，再求出平行线之间的距离即可解决问题．【详解】解：如图，连接EC，作CH⊥AB于H．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，∵∠PAE=∠BAC=60°，∴∠PAB=∠EAC，∵PA=EQ，BA=CA，∴△PAB≌△EAC(SAS)，∴∠ABP=∠ACE，∵∠ABP=180°﹣60°=120°，∴∠ACE=120°，∴∠BCE=120°﹣60°=60°，∴∠ABC=∠BCE，∴CE∥AB，∴点E的运动轨迹是直线CE(CE∥AB)，∵CB=CA=AB=2，CH⊥AB，∴BH=AH=1，∴CH，根据垂线段最短，可知OE的最小值=CH．故答案为：．【点睛】本题考查旋转变换和等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质和垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．2．（2022·江苏南通·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于点D，点E、F分别是线段AB、AD上的动点，且BE＝AF，则BF+CE的最小值为_____．【答案】【分析】过点作，使，连接，，可证明，则当、、三点共线时，的值最小，最小值为，求出即可求解．【详解】解：过点作，使，连接，，，，，，，，，当、、三点共线时，的值最小，，，，在中，，故答案为：．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，通过构造三角形全等，将所求的问题转化为将军饮马求最短距离是解题的关键．考点四利用全等三角形中的动点综合问题例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在中，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，连接．(1)如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的数量关系；(2)如图2，当点D在边的延长线上时，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；(3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，若，直接写出的长度．【答案】(1)CE+CD=BC，证明见解析(2)CE=BC+CD，证明见解析(3)CE=4【解析】【分析】（1）根据条件AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE+CD=BC；（2）根据已知条件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根据BD=BC+CD，即可得到CE=BC+CD；（3）根据条件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，即可解决问题．(1)解：如图1，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BC=BD+CD=CE+CD，(2)线段BC，CD与CE之间存在的数量关系为BC=CE-CD．理由：如图2中，由（1）同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∴在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BD=BC+CD，即CE=BC+CD．(3)如图3，由（1）同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠BAD=∠EAC，同理，△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∵CD=10，BC=6，∴DB=DC-BC=4，∴CE=4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．【变式训练】1．（2021·河南商丘·八年级期中）如图1，中，，，点、别在边、上，且//．(1)求证：；(2)围绕点旋转，使其一边落在线段上（如图2所示），连接、并延长相交于点．试求的度数．【答案】(1)证明见解析部分．(2)50°．【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及等腰三角形的性质证明∠ADE＝∠AED，推出AD＝AE即可解决问题．（2）证明△BAD≌△CAE（SAS），推出∠ABD＝∠ACE，可得∠BAD＝∠CMD＝50°．(1)证明：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝EC．(2)解：如图2中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ADB＝∠CDM，∴∠BMC＝∠BAD＝50°．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．(1)观察猜想：1.AE与BD的数量关系为______；2.∠APD的度数为______；(2)数学思考：如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．【答案】(1)①AE＝BD；②60°(2)上述结论成立．∠APD＝60°，证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件只要证明△DCB≌△ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∠APD的角度；（2）根据△ACD，△BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，进而可知∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，从而可证△DCB≌△ACE（SAS），则DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，根据∠DCA＝∠DPA＝60°可证∠APD＝60°．(1)解：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，∴∠DCB=∠ACE，∴△DCB≌△ACE，∴AE=BD，∠BDC=∠CAE，又∵∠DOP=∠COA，∴∠APD=∠ACD=60°，故答案是：AE=BD，60°；(2)上述结论成立，∵△ACD，△BCE均为等边三角形，∴DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，∴∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS），∴DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，如图，设BD与AC交于点O，易知∠DOC＝∠AOP（对顶角相等），∴∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DPA，∴∠DCA＝∠DPA＝60°，即∠APD＝60°．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．课后训练课后训练一、选择题1．（2022·四川德阳·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝8cm，延长BC到点E，使CE＝2cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为(

)A．3 B．5 C．9 D．3或9【答案】D【分析】根据运动过程，根据点P运动的位置和全等情况分类讨论，根据全等三角形的性质即可分别求解．【详解】解：如图甲所示，当时，，即，解得，如图甲所示，当时，即，解得，故选：D．图甲

图乙【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应情况分类讨论是解题关键．2．（2022·四川宜宾·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点(不与点B、点C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当∠BAD＝30°时，BD＝CE；④当△ADE为等腰三角形时，∠EDC＝30°．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD=∠CDE；故①正确；②根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC，故②正确；③根据全等三角形的性质得到BD=CE；故③正确；④根据三角形外角的性质得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD=60°，故④错误．【详解】解：①∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∴∠BAD=180°-40°-∠ADB，∠CDE=180°-40°-∠ADB，∴∠BAD=∠CDE，故①正确；②∵D为BC中点，AB=AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=50°，∵∠C=40°，∴∠DEC=90°，∴DE⊥AC，故②正确；③∵∠BAD=30°，∴∠CDE=30°，∴∠ADC=70°，∴∠CAD=180°-70°-40°=70°，∴∠DAC=∠ADC，∴CD=AC，∵AB=AC，∴CD=AB，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD=CE；故③正确；④∵∠C=40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE为等腰三角形，∴AE=DE，∴∠DAE=∠ADE=40°，∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，∴∠BAD=60°，故④错误；综上分析可知，正确的有3个，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．3．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（）A．2 B． C． D．4【答案】D【分析】连接BE，延长AC到N，使得，连接FN，证明，得到，即点N在与AN成的直线上运动，证明当时，有最小值为：，求出，即可得．【详解】解：连接BE，延长AC到N，使得，连接FN，∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点∴，，，∴，，∵∴，即，在和中，∴，∴，∴点N在与AN成的直线上运动，∴当时，有最小值为：，即：，∴，∴，故选：D【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是证明当时，有最小值为：，即．二、填空题4．（2022·陕西·西安工业大学附中七年级阶段练习）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E在BC边上，且BE=1，点P是AB边上的动点，连接PE以PE为直角边，以∠PEQ为直角作如图所示的等腰Rt△PEQ，则当DQ+CQ最小时AP的长为_______．【答案】1【分析】过点作于点，则，证明，继而可得当P点在AB上运动时，Q点在平行于BC，且距离BC长度为1的直线上运动，当Q在DC上时，QD+QC取得最小值，求得EC的长，即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是正方形，∴∵等腰Rt△PEQ，，∴∴（AAS）,∴即当P点在AB上运动时，Q点在平行于BC，且距离BC长度为1的直线上运动，当Q在DC上时，QD+QC取得最小值，此时F点与C点重合，PB=EC=BC-BE=4-1=3，∴AP=AB-PB=4-3=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，两点之间线段最短，证明是解题的关键．5．（2022·全国·八年级期末）如图，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．设运动时间为t(0＜t＜4)s，当t＝______时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形．【答案】或3【分析】连结PB，过点Q作QE⊥CD，分PQ＝PB或PQ＝QB两种情况进行讨论；当PQ＝PB时，先证明Rt△PEQ≌Rt△PCB，得出PE＝PC，用t表示出PC，根据PD＋PC＝8，列出关于t的方程，解方程即可；当PQ＝QB时，在Rt△PQE中，根据勾股定理，列出关于t的方程，解方程即可．【详解】连结PB，过点Q作QE⊥CD，如图所示：若△PQB是以PQ为腰的等腰三角形，则有两种情况：①当PQ＝PB时，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝EQ，∴Rt△PEQ≌Rt△PCB(HL)，∴PE＝PC，由题意得PD＝2t，AQ＝t，四边形ADEQ是矩形，∴PE＝2t－t＝t，∴PC＝t，∵PD＋PC＝8，∴2t＋t＝8，解得t＝（s）；②当PQ＝QB时，PQ＝QB＝8－t，在Rt△PQE中，PQ＝8－t，PE＝t，EQ＝4，∴(8－t)2＝t2＋42，解得t＝3（s）；综上可知，当t＝s或3s时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．6．（2022·江苏·八年级单元测试）如图,在中,．点在直线上,动点从点出发沿的路径向终点运动;动点从点出发沿路径向终点运动．点和点分别以每秒和2cm的运动速度同时开始运动,其中一点到达终点时另一点也停止运动,分别过点和作直线于直线于．当点运动时间为___________秒时,与全等．【答案】2或6##6或2【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】解：如图1所示：与全等，，，解得∶；如图2所示：点与点重合，与全等，，解得∶；故答案为∶或．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．三、解答题7．（2022·湖南·新田县云梯学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，D为AB的中点，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，沿BC方向以每秒3cm的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3cm的速度向点A运动，运动时间是t秒．(1)在运动过程中，当点C位于线段PQ的垂直平分线上时，求出t的值；(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPD和△CQP全等，若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)当时，△BPD≌△CQP【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到CP=CQ，据此列出方程求解即可；（2）分情况讨论当BD=CP时，△BPD≌△CQP，PB=PC，BD=CQ时，△BPD≌△CPQ．（1）解：由题意得，∵点C位于线段PQ的垂直平分线上，∴CP=CQ，∴，解得；（2）解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵，∴当BD=CP时，△BPD≌△CQP，∵AB=10cm，D为AB的中点，∴BD=5cm，∴，解得；当PB=PC，BD=CQ时，△BPD≌△CPQ，∴，此方程组无解，∴不存在△BPD≌△CPQ这种情况，综上所述，当时，△BPD≌△CQP．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键．8．（2022·吉林·长春外国语学校七年级期末）在△ABC中，AB=10，BC=6，点M为AB的中点，动点P以2个单位长度每秒的速度从点B出发在射线BC上运动，点N在边AC上，设点P的运动时间为t秒．(1)用含t的代数式表示线段CP的长度；(2)当点P在线段BC上，AB=AC时，若△BPM与△CNP全等时，求t的值；(3)当∠ACP=70°，△CPN为等腰三角形时，请直接写出∠CPN的度数．【答案】(1)当点P在线段BC上时，CP＝6−2t；当点P在点C的上方时，CP＝2t−6；(2)或；(3)55°或70°或40°或35°．【分析】（1）由题意得BP＝2t，分两种情况讨论可求CP的长；（2）根据△BPM与△CNP全等，可得BM＝CP或BP＝CP，分别列式求出BP即可；（3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．（1）解：∵动点P以2个单位长度每秒的速度从点B出发在射线BC上运动，∴BP＝2t，当点P在线段BC上时，CP＝6−2t，当点P在点C的上方时，CP＝2t−6；（2）∵点M是AB的中点，∴AM＝BM＝5，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵△BPM与△CNP全等，∴BM＝CP或BP＝CP，当BM＝CP＝5时，则BP＝1，∴t＝，当BP＝CP时，∵BC＝6，∴BP＝CP＝3，∴t＝，综上所述：t＝或；（3）若点P线段BC上时，当CP＝CN时，则∠CPN＝∠CNP＝＝55°，当CN＝NP时，则∠NCP＝∠CPN＝70°，当CP＝PN时，则∠NCP＝∠CNP＝70°，∴∠CPN＝40°，若点P在线段BC的延长线时，∵∠NCP＝180°−70°＝110°，∴只存在CN＝CP时，△CNP是等腰三角形，∵CN＝CP，∴∠CPN＝＝35°，综上所述：∠CPN的度数为55°或70°或40°或35°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．9．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）等腰△ABC，CA＝CB，D为直线AB上一动点，以CD为腰作等腰三角形△CDE，顶点C、D、E按逆时针方向排列，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，连接BE．(1)若∠ACB＝60°，当点D在线段AB上时，如图（1）所示，此时AD与BE的数量关系为______；(2)若∠ACB＝90°，当点D在线段BA延长线上时，如图（2）所示，AD与BE有什么关系，说明理由；(3)当时，若△CAD中最小角为15°，试探究∠CDA的度数（直接写出结果）．【答案】(1)；AD=BE；(2)；AD=BE，理由见解析；(3)105°或45°或15°．【分析】（1）根据全等三角形的判定可以得出△ACD≌△BCE，从而得出结论；（2）根据全等三角形的判定可以得出△ACD≌△BCE，从而得出结论；（3）分D在线段AB上、当点D在BA的延长线上、点D在AB的延长线上三种情形根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．（1）∵∠ACB＝60°，∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．故答案为：AD=BE；（2）AD=BE，理由如下：∵∠ACB＝90°，∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，即∠DCA=∠ECB．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．（3）解：当D在线段AB上时，∵BECA，∴∠CBE=∠ACB，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∴∠CAD=∠ACB，又∠CAB=∠CBA，∴△CAB为等边三角形，∴∠CAB=60°，当△CAD中的最小角是∠ACD=15°时，∴∠CDA=180°-60°-15°=105°，当点D在BA的延长线上时，∵BECA，∴∠ACE=∠CEB，∠ABE=∠CAB，∵△DCA≌△ECB，∴∠CDA=∠CEB，∠CAD=∠CBE，∴∠ACB=∠ACE+ECB=∠CEB+∠ECB=180°-∠CBE=180°-∠CAD=∠CAB=∠CBA，∴△CAB是等边三角形，当△CAD中的最小角是∠ACD=15°时，∠CDA=∠CAB-∠ACD=45