第23讲平行垂直（原卷版）

第23讲平行垂直一、平行1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.要点：（1）同一平面内的两条直线的位置:平行与相交.（2）互相平行的两条直线永远没有公共点，两条相交直线有且只有一个公共点.（3）互相重合的直线通常看做一条直线.（4）两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.2.平行线的做法：小学用直尺和三角尺画平行线步骤：一放、二靠、三移、四画.如下图.3.平行线的一个基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.要点：由基本事实可以推出下面的结论成立：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.二、垂线1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O.要点：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CD⊥AB．2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．要点：点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．题型1：平面内两条直线的位置关系1．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行C．平行或相交 D．相交或垂直或平行2．下列说法正确的是（

）A．在同一平面内，两条线段不相交就平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．两条射线或线段平行是指它们所在直线平行 D．两条不相交的直线是平行线题型2：立体图形中平行的棱3．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（）A． B． C． D．4．已知长方体ABCDEFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（）A．棱EA； B．棱AB； C．棱GH； D．棱GF．题型3：画平行线5．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（

）A． B． C． D．6．如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条7．如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了．8．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤：①沿三角尺的边作出直线CD；②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是：．题型4：垂线的定义、画法、垂线段最短9．如图，在同一平面内，，，垂足为O，则与重合的理由是（

）A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．垂直于同一直线的两条直线平行10．在同一平面内，经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的垂线数为（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条11．如图，P是直线l外一点，从点P向直线l引，，，几条线段，其中只有与l垂直，这几条线段中长度最短的是（

）A． B． C． D．12．下列选项中，过点画直线的垂线，三角尺的摆放方式正确的是（

）A． B．

C．

D．

13．如图，点在直线外，点在直线上，连接．选择适当的工具作图．(1)在直线上作点，使，连接；(2)在的延长线上任取一点，连接；(3)在，，中，最短的线段是______________，依据是______________．题型5：与垂直有关的计算14．如图，直线相交于点于点，且，则（

）A． B． C． D．15．如图，于点O，直线经过点O，，则的度数是（

）A． B． C． D．16．如图，直线相交于点O，平分，则为（

）．A． B． C． D．一、单选题1．下列说法中，正确的是（

）．A．两直线不相交则平行 B．两直线不平行则相交C．若两线段平行，那么它们不相交 D．两条线段不相交，那么它们平行2．已知直线，在同一平面内，给定一点，过点作直线的平行线，可作平行线的条数有（）A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条3．已知直线，，互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是，那么直线与的距离是（

）A．或 B． C． D．4．如图，在平面内作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条5．体育课上老师按照如图所示的方式测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是（

）A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两点确定一条直线6．如图，，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有（

）A．五条 B．二条 C．三条 D．四条7．下列语句中：①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，于点，点是线段上任意一点，若，则的长不可能是（

） B．6 C．7 D．89．下列说法正确的是（）①平面内，不相交的两条直线是平行线；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④相等的角是对顶角；⑤P是直线a外一点，A、B、C分别是a上的三点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则点P到直线a的距离一定是1．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠CON=55°，则∠AOM的度数为（

）A．35° B．45° C．55° D．25°二、填空题11．在平面内，两条不的直线互相平行．12．没有公共点的两条直线可能是直线，也有可能是直线．13．小明列举生活中几个例子，你认为是平行线的是（填序号）．①马路上斑马线；②火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框上下边．14．在同一平面内L1与L2没有公共点，则L1L2．15．如图所示，线段的长度是点到直线的距离；点到直线的距离是．16．与的两边互相垂直，且，则的度数为.17．已知和的两边分别互相垂直，且比的2倍少，求的度数．18．如图，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，若DE＝9cm，AB＝12cm，不考虑点与点重合的情况，则线段BD的取值范围是．三、解答题19．如图，按要求画图．(1)经过上一点画的平行线，交于；(2)过画MNAB．20．如图，分别过点P作的两边的垂线．21．如图，要从水渠引水到村庄A，在水渠的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．22．在如图所示的正方形网格中，网格中纵向和横向线段的交点叫做格点在格点上．按下述要求画图：(1)画射线AC；(2)过点B画AC的平行线BD，点D在格点上；(3)在射线AC上取一点E，画线段BE，使其长度表示点B到AC的距离．23．作图并回答下列问题：如图：点P是内一点，(1)过点P作边的垂线段；(2)过点P作边的平行线，交于点D，比较线段、的大小：________（填“”、“”或“”），得此结论的依据为：______________．24．如图，，垂足为，经