新高考数学复习知识点讲解与练习65-平面向量中极化恒等式、等和(高)线定理及最值(范围)问题

1/26新高考数学复习知识点讲解与练习平面向量中极化恒等式、等和(高)线定理及最值(范围)问题1．极化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]．(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq\f(1,4).(2)平行四边形PMQN，O是对角线交点．则：①eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[|PQ|2－|NM|2](平行四边形模式)；②eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝|PO|2－eq\f(1,4)|NM|2(三角形模式)．2．等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))，则eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OP′,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立．(2)平面内一组基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和(高)线．①当等和线恰为直线AB时，k＝1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；④当等和线过O点时，k＝0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．3．平面向量中的最值(范围)问题(1)向量投影、数量积、向量的模、夹角的最值(或范围)．(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围)．题型一极化恒等式的应用【例1】(1)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值为()A．－eq\f(1,4)B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2)D．－1(2)(2020·天津卷)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，则实数λ的值为__________；若M，N是线段BC上的动点，且|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))的最小值为__________．答案(1)C(2)eq\f(1,6)eq\f(13,2)解析(1)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))，取OC中点D，由极化恒等式得，eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝|PD|2－eq\f(1,4)|OC|2＝|PD|2－eq\f(1,4)，又|PD|eq\o\al(2,min)＝0，∴(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值为－eq\f(1,2).(2)法一依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos∠BAD＝－eq\f(3,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝－eq\f(3,2)，得|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，因此λ＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,6).取MN的中点E，连接DE，则eq\o(DM,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→))＝2eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[(eq\o(DM,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→)))2－(eq\o(DM,\s\up6(→))－eq\o(DN,\s\up6(→)))2]＝eq\o(DE,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(NM,\s\up6(→))2＝eq\o(DE,\s\up6(→))2－eq\f(1,4).注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sinB＝eq\f(3\r(3),2)，因此eq\o(DE,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)的最小值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)＝eq\f(13,2)，即eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))的最小值为eq\f(13,2).法二因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos120°＝－eq\f(3,2)，解得|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1.因为eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))同向，且BC＝6，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，即λ＝eq\f(1,6).在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，则BO＝AB·cos60°＝eq\f(3,2)，AO＝AB·sin60°＝eq\f(3\r(3),2).以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系．如图，设M(a，0)，不妨设点N在点M右侧，则N(a＋1，0)，且－eq\f(3,2)≤a≤eq\f(7,2).又Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(3),2)))，所以eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1，－\f(3\r(3),2)))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，－\f(3\r(3),2)))，所以eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))＝a2－a＋eq\f(27,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(13,2).所以当a＝eq\f(1,2)时，eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))取得最小值eq\f(13,2).感悟升华(1)极化恒等式多用于向量的数量积；(2)注意在三角形、平行四边形中的应用．【训练1】(1)(2021·杭州二中模拟)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________．(2)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是________．答案(1)－16(2)[－2，6]解析(1)因为M是BC的中点，由极化恒等式得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AM|2－eq\f(1,4)|BC|2＝9－eq\f(1,4)×100＝－16.(2)取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2eq\r(3).又由极化恒等式得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝PD2－eq\f(1,4)AB2＝PD2－3，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，PDmax＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，PDmin＝1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈[－2，6]．题型二等和线定理的应用【例2】(1)如图，平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝120°，〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，则m＋n＝________．(2)在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为eq\o(AB,\s\up8(︵))上的一个动点，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，则3x＋y的取值范围是________．答案(1)6(2)[1，3]解析(1)法一连接AB，交OC于点D，则∠DOA＝∠OAD＝30°，∠BOD＝90°，|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|tan30°＝eq\f(\r(3),3)，|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),3)，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\f(2\r(3),3)，由平面向量基本定理得eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)＝6|eq\o(OD,\s\up6(→))|，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(OB,\s\up6(→))))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))，m＋n＝6.法二根据等高线定理可得eq\f(|OC|,|OD|)＝k＝m＋n，k＝eq\f(|\o(OC,\s\up6(→))|,|\o(OD,\s\up6(→))|)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),3))＝6，∴m＋n＝6.(2)取D使得eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＝3xeq\o(OD,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，作一系列与BD平行的直线与圆弧相交，当点C与点B重合时，3x＋y取得最小值1，当点C与点A重合时，3x＋y取得最大值3，故3x＋y的取值范围是[1，3]．感悟升华(1)“等和线”的解题步骤①确定值为1的等和线；②过动点作该线平行线，结合动点的可行域，分析在何点处取得最值；③利用长度比或该点的位置，求得最值或范围．(2)“等和线”多用于向量线性表示式中有关系数的最值、范围问题．(3)此类问题也可建系，用坐标法解决．【训练2】如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且AD＝1，点P是△BCD(含边界)的动点，设eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OC,\s\up6(→))＋μeq\o(OD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为________．答案eq\f(3,2)解析当点P位于B点时，过点B作GH∥DC，交OC，OD的延长线于G，H，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OG,\s\up6(→))＋yeq\o(OH,\s\up6(→))，且x＋y＝1，∵△GCB∽△COD，∴eq\f(GC,CO)＝eq\f(CB,OD)＝eq\f(1,2)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝xeq\o(OG,\s\up6(→))＋yeq\o(OH,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)xeq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)yeq\o(OD,\s\up6(→))＝λeq\o(OC,\s\up6(→))＋μeq\o(OD,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(3,2)x，μ＝eq\f(3,2)y⇒λ＋μ＝eq\f(3,2)x＋eq\f(3,2)y＝eq\f(3,2).故答案为eq\f(3,2).题型三平面向量中的最值(范围)问题角度1函数型【例3－1】(1)(一题多解)(2020·浙江卷)已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤eq\r(2).设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值是__________．(2)(2021·宁波十校联考)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，记a*b＝x1x2－y1y2，若圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0上的任意三个点A1，A2，A3，且A1A2⊥A2A3，则|eq\o(OA1,\s\up6(→))*eq\o(OA2,\s\up6(→))＋eq\o(OA2,\s\up6(→))*eq\o(OA3,\s\up6(→))|(O为坐标原点)的最大值是________．答案(1)eq\f(28,29)(2)16解析(1)法一设e1＝(1，0)，e2＝(x，y)，则a＝(x＋1，y)，b＝(x＋3，y)．由2e1－e2＝(2－x，－y)，故|2e1－e2|＝eq\r(（2－x）2＋y2)≤eq\r(2)，得(x－2)2＋y2≤2.又有x2＋y2＝1，得(x－2)2＋1－x2≤2，化简，得4x≥3，即x≥eq\f(3,4)，因此eq\f(3,4)≤x≤1.cos2θ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|a|·|b|)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(（x＋1）（x＋3）＋y2,\r(（x＋1）2＋y2)\r(（x＋3）2＋y2))))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4x＋4,\r(2x＋2)\r(6x＋10))))eq\s\up12(2)＝eq\f(4（x＋1）2,（x＋1）（3x＋5）)＝eq\f(4（x＋1）,3x＋5)＝eq\f(\f(4,3)（3x＋5）－\f(8,3),3x＋5)＝eq\f(4,3)－eq\f(\f(8,3),3x＋5)，当x＝eq\f(3,4)时，cos2θ有最小值，为eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＋1)),3×\f(3,4)＋5)＝eq\f(28,29).法二单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤eq\r(2)，所以|2e1－e2|2＝5－4e1·e2≤2，即e1·e2≥eq\f(3,4).因为a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，a，b的夹角为θ，所以cos2θ＝eq\f(（a·b）2,|a|2|b|2)＝eq\f([（e1＋e2）·（3e1＋e2）]2,|e1＋e2|2·|3e1＋e2|2)＝eq\f(（4＋4e1·e2）2,（2＋2e·e2）（10＋6e1·e2）)＝eq\f(4＋4e1·e2,5＋3e1·e2).不妨设t＝e1·e2，则t≥eq\f(3,4)，cos2θ＝eq\f(4＋4t,5＋3t)，又y＝eq\f(4＋4t,5＋3t)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))上单调递增．所以cos2θ≥eq\f(4＋3,5＋\f(9,4))＝eq\f(28,29).所以cos2θ的最小值为eq\f(28,29).法三由题意，不妨设e1＝(1，0)，e2＝(cosx，sinx)．因为|2e1－e2|≤eq\r(2)，所以eq\r(（2－cosx）2＋sin2x)≤eq\r(2)，得5－4cosx≤2，即cosx≥eq\f(3,4).易知a＝(1＋cosx，sinx)，b＝(3＋cosx，sinx)，所以a·b＝(1＋cosx)(3＋cosx)＋sin2x＝4＋4cosx，|a|2＝(1＋cosx)2＋sin2x＝2＋2cosx，|b|2＝(3＋cosx)2＋sin2x＝10＋6cosx，所以cos2θ＝eq\f(（a·b）2,|a|2|b|2)＝eq\f(（4＋4cosx）2,（2＋2cosx）（10＋6cosx）)＝eq\f(4＋4cosx,5＋3cosx).不妨设m＝cosx，则m≥eq\f(3,4)，cos2θ＝eq\f(4＋4m,5＋3m)，又y＝eq\f(4＋4m,5＋3m)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))上单调递增，所以cos2θ≥eq\f(4＋3,5＋\f(9,4))＝eq\f(28,29)，所以cos2θ的最小值为eq\f(28,29).(2)由O，A1，A2，A3四点共圆，且A1A2⊥A2A3，可知A1A3为圆C的直径，故eq\o(OA1,\s\up6(→))＋eq\o(OA3,\s\up6(→))＝2eq\o(OC,\s\up6(→)).由圆C的标准方程设eq\o(OA2,\s\up6(→))＝(1＋eq\r(5)cosθ，－2＋eq\r(5)sinθ)，又点C(1，－2)，则|eq\o(OA1,\s\up6(→))*eq\o(OA2,\s\up6(→))＋eq\o(OA2,\s\up6(→))*eq\o(OA3,\s\up6(→))|＝|(eq\o(OA1,\s\up6(→))＋eq\o(OA3,\s\up6(→)))*eq\o(OA2,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OC,\s\up6(→))*eq\o(OA2,\s\up6(→))|＝2|(1＋eq\r(5)cosθ)＋2(－2＋eq\r(5)sinθ)|＝2|5sin(θ＋φ)－3|≤16，其中tanφ＝eq\f(1,2)，当且仅当θ＝2kπ－eq\f(π,2)－φ，k∈Z时等号成立，所以所求最大值为16.感悟升华此类问题可归结为函数、三角函数求最值、值域问题．【训练3－1】(1)如图，在扇形OAB中，OA＝2，∠AOB＝90°，M是OA的中点，点P在eq\o(AB,\s\up8(︵))上，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值为________．(2)(2017·浙江卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．答案(1)4－2eq\r(5)(2)42eq\r(5)解析(1)如图，以O为坐标原点，eq\o(OA,\s\up6(→))为x轴的正半轴，eq\o(OB,\s\up6(→))为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，则M(1，0)，B(0，2)，设P(2cosθ，2sinθ)，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1－2cosθ，－2sinθ)·(－2cosθ，2－2sinθ)＝4－2cosθ－4sinθ＝4－2(cosθ＋2sinθ)＝4－2eq\r(5)sin(θ＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中sinφ＝\f(\r(5),5)，cosφ＝\f(2\r(5),5)))，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值为4－2eq\r(5).(2)由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cosθ，sinθ)(θ∈[0，2π))，则a＋b＝(2＋cosθ，sinθ)，a－b＝(cosθ－2，sinθ)．令y＝|a＋b|＋|a－b|＝eq\r(（2＋cosθ）2＋sin2θ)＋eq\r(（cosθ－2）2＋sin2θ)＝eq\r(5＋4cosθ)＋eq\r(5－4cosθ)，则y2＝10＋2eq\r(25－16cos2θ)∈[16，20]．由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝eq\r(20)＝2eq\r(5)，(|a＋b|＋|a－b|)min＝eq\r(16)＝4，即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2eq\r(5).角度2解不等式型【例3－2】(1)(2021·金丽衢十二校二联)设t∈R，已知平面向量a，b满足|a|＝2|b|＝2，且a·b＝1，向量c＝xa＋(t－x)b，若存在两个不同的实数x∈[0，t]，使得c2－2a·c＋3＝0，则实数t()A．有最大值为2，最小值为eq\f(3,2)B．无最大值，最小值为eq\f(3,2)C．有最大值为2，无最小值D．无最大值，最小值为0(2)已知不共线向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))夹角为α，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝teq\o(OB,\s\up6(→))(0≤t≤1)，|eq\o(PQ,\s\up6(→))|在t＝t0处取最小值，当0<t0<eq\f(1,5)时，则α的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))答案(1)B(2)C解析(1)设向量a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cosθ＝2cosθ＝1，∴cosθ＝eq\f(1,2).∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,3).由题意得c·a＝[xa＋(t－x)b]·a＝xa2＋(t－x)b·a＝4x＋t－x＝3x＋t，c2＝[xa＋(t－x)b]2＝x2a2＋2x(t－x)a·b＋(t－x)2·b2＝4x2＋2xt－2x2＋t2－2xt＋x2＝3x2＋t2.存在两个不同的实数x∈[0，t]，使得c2－2a·c＋3＝0，即存在两个不同的实数x∈[0，t]，使得3x2－6x＋t2－2t＋3＝0，即f(x)＝3x2－6x＋t2－2t＋3在[0，t]内有两个不同的零点，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）≥0，,f（t）≥0，,Δ>0，,0<－\f(－6,6)<t，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2－2t＋3≥0，,4t2－8t＋3≥0，,0<t<2，,t>1，))解得t∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))，则实数t的最小值为eq\f(3,2)，无最大值，故选B.(2)由题意，不共线向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))夹角为α，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝teq\o(OB,\s\up6(→))(0≤t≤1)，得eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝teq\o(OB,\s\up6(→))－(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))，所以|eq\o(PQ,\s\up6(→))|2＝[teq\o(OB,\s\up6(→))－(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))]2＝(5＋4cosα)t2－2(1＋2cosα)t＋1，由二次函数的图象和性质知，当t＝t0＝eq\f(1＋2cosα,5＋4cosα)时，|eq\o(PQ,\s\up6(→))|取最小值，即0<eq\f(1＋2cosα,5＋4cosα)<eq\f(1,5)，解得－eq\f(1,2)<cosα<0，因为α∈[0，π]，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))，故选C.感悟升华此类问题最后化为解不等式(组)问题解决．【训练3－2】(1)(2021·丽水测试)已知|c|＝2，向量b满足2|b－c|＝b·c.当b，c的夹角最大时，|b|＝________．(2)(2021·金华十校调研)已知平面向量a，b，c满足|a|≤1，|b|≤1，|2c－(a＋b)|≤|a－b|，则|c|的最大值为________．答案(1)2eq\r(2)(2)eq\r(2)解析(1)设〈b，c〉＝θ，则由2|b－c|＝b·c得4(b－c)2＝(b·c)2，即4|b|2sin2θ－16|b|cosθ＋16＝0，则4cosθ＝|b|sin2θ＋eq\f(4,|b|)≥2eq\r(|b|sin2θ·\f(4,|b|))＝4sinθ，当且仅当|b|sin2θ＝eq\f(4,|b|)，即|b|＝eq\f(2,sinθ)时，等号成立，∵4cosθ≥4sinθ，则tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)≤1，所以θ≤eq\f(π,4)，当θ＝eq\f(π,4)时，|b|＝2eq\r(2).(2)因为|2c－(a＋b)|≤|a－b|，所以|2c|－|a＋b|≤|a－b|，即|2c|≤|a＋b|＋|a－b|，将a，b的起点移到同一点，以a，b为邻边构造平行四边形，则a＋b，a－b为平行四边形的两条对角线．在平行四边形ABCD中，|AC|2＝|AB|2＋|AD|2＋2|AB|·|AD|cos∠BAD，|BD|2＝|AB|2＋|AD|2－2|AB|·|AD|cos∠BAD，则|AC|2＋|BD|2＝2|AB|2＋2|AD|2，易得当|AB|，|AD|最大且|AC|＝|BD|时，|AC|＋|BD|取得最大值，所以当|a|＝1，|b|＝1且|a＋b|＝|a－b|时，|a＋b|＋|a－b|取得最大值2eq\r(2)，则|2c|≤|a＋b|＋|a－b|≤2eq\r(2)，即|c|≤eq\r(2)，所以|c|的最大值为eq\r(2).角度3重要不等式型【例3－3】(1)(一题多解)(2021·义乌市联考)已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a，b的夹角为α，|a|＝1，|b|＋|c|＝2，则cosα的取值范围是________．(2)(2016·浙江卷)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤eq\r(6)，则a·b的最大值是________．答案(1)[－1，1](2)eq\f(1,2)解析(1)法一由题意可知－c＝a＋b，则|b|－|a|≤|c|≤|b|＋|a|，所以|b|－1≤2－|b|≤|b|＋1，则eq\f(1,2)≤|b|≤eq\f(3,2).不妨设|b|＝t，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，则|c|＝2－t.又由－c＝a＋b两边平方得1＋t2＋2tcosα＝(2－t)2＝4－4t＋t2，则cosα＝eq\f(3－4t,2t)∈[－1，1]．法二如图所示，椭圆方程为x2＋eq\f(4y2,3)＝1.当向量a，b，c共线时，α取最大值或最小值，即cosα＝1或－1，所以cosα∈[－1，1]．(2)由已知可得eq\r(6)≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，由于上式对任意单位向量e都成立．∴eq\r(6)≥|a＋b|成立．∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.即6≥5＋2a·b，∴a·b≤eq\f(1,2).感悟升华常用不等式(1)基本不等式：a＋b≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)；(2)三角不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；(3)数量积不等式：|a·b|≤|a||b|.【训练3－3】(1)(2021·浙江新高考仿真三)设平面向量a，b满足1≤|a|≤2，2≤|b|≤3，则|a＋b|＋|a－b|的取值范围是________．(2)(一题多解)(2021·浙江五校联考)已知a|＝3，|b|＝|c|＝4，若c⊥a，则|a－b－c|的最大值为________．答案(1)[6，2eq\r(13)](2)9解析(1)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)①，由基本不等式，得|a＋b|2＋|a－b|2≥eq\f(（|a＋b|＋|a－b|）2,2)②.又|a|∈[1，2]，|b|∈[2，3]，由①②得(|a＋b|＋|a－b|)2≤4(|a|2＋|b|2)≤52，即|a＋b|＋|a－b|≤2eq\r(13).又由三角不等式有|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)±(a－b)|，即|a＋b|＋|a－b|≥2|a|，|a＋b|＋|a－b|≥2|b|，故|a＋b|＋|a－b|≥6，综上，有6≤|a＋b|＋|a－b|≤2eq\r(13).(2)法一|a－b－c|＝eq\r(a2＋b2＋c2－2a·b＋2b·c)＝eq\r(41＋2b·（c－a）).∵c⊥a，∴|c－a|＝5，则b·(c－a)≤|b||c－a|＝20，所以|a－b－c|≤eq\r(41＋40)＝9.法二由|a|＝3，|b|＝|c|＝4知，a在以O为圆心，3为半径的圆上运动，b，c均在以O为圆心，4为半径的圆上运动，如图，又a⊥c，则|a－b－c|＝|(a－c)－b|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|≤|eq\o(CA,\s\up6(→))|＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝5＋4＝9.角度4轨迹型【例3－4】(2021·名校仿真训练四)直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于两点M，N.若c2＝a2＋b2，P为圆O上任意一点，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围是________．答案[－2，6]解析如图，取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，∵c2＝a2＋b2，∴O点到直线MN的距离OA＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝1，圆O的半径r＝2，∴Rt△AON中，设∠AON＝θ，得cosθ＝eq\f(OA,ON)＝eq\f(1,2)，得θ＝eq\f(π,3)，cos∠MON＝cos2θ＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，由此可得eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝|eq\o(OM,\s\up6(→))|·|eq\o(ON,\s\up6(→))|cos∠MON＝2×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))·(eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))2－eq\o(OP,\s\up6(→))·(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→)))＝－2＋4－2eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝2－2|eq\o(OP,\s\up6(→))|·|eq\o(OA,\s\up6(→))|·cos∠AOP＝2－4cos∠AOP，当eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))同向时，取得最小值2－4＝－2，当eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))反向时，取得最大值2＋4＝6，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围是[－2，6]．感悟升华利用向量及其运算的几何意义，结合轨迹图形求解，并注意分析临界状态．【训练3－4】(2021·湖州期末质检)正方形ABCD的边长为2，E，M分别为BC，AB的中点，点P是以C为圆心，CE为半径的圆上的动点，点N在正方形ABCD的边上运动，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的最小值是________．答案1－eq\r(5)解析由题意得eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→)))·(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→)))＝1＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(CM,\s\up6(→))＋(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→)))·eq\o(CN,\s\up6(→))＝1＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(CM,\s\up6(→))＋eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→)).由图易得向量eq\o(PM,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))的夹角恒为锐角，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))≥0，则当点N与点C重合，点P为CM与圆C的交点时，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(CM,\s\up6(→))取得最小值－eq\r(5)，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))取得最小值0，此时eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))取得最小值1－eq\r(5).角度5投影与函数分析型【例3－5】(1)如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置如图所示，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))的最大值为________．(2)(2019·浙江卷)已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi(i＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CD,\s\up6(→))＋λ4eq\o(DA,\s\up6(→))＋λ5eq\o(AC,\s\up6(→))＋λ6eq\o(BD,\s\up6(→))|的最小值是________，最大值是________．答案(1)24(2)02eq\r(5)解析(1)先建立平面直角坐标系如图，因为正六边形的边长均为1，所以B(0，0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(9,2)))，当eq\o(CD,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影最大时，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))最大，此时取C(0，5)，D(－eq\r(3)，0)，即(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)))max＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(9,2)))·(－eq\r(3)，－5)＝eq\f(3,2)＋eq\f(45,2)＝24.(2)如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0，1)．设a＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CD,\s\up6(→))＋λ4eq\o(DA,\s\up6(→))＋λ5eq\o(AC,\s\up6(→))＋λ6eq\o(BD,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AD,\s\up6(→))－λ3eq\o(AB,\s\up6(→))－λ4eq\o(AD,\s\up6(→))＋λ5(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋λ6(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)eq\o(AD,\s\up6(→))＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)．故|a|＝eq\r(（λ1－λ3＋λ5－λ6）2＋（λ2－λ4＋λ5＋λ6）2).∵λi(i＝1，2，3，4，5，6)取遍±1，∴当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0(λ1＝λ3＝λ4＝λ5＝λ6＝1，λ2＝－1)时，|λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CD,\s\up6(→))＋λ4eq\o(DA,\s\up6(→))＋λ5eq\o(AC,\s\up6(→))＋λ6eq\o(BD,\s\up6(→))|取得最小值0.考虑到λ5－λ6，λ5＋λ6有相关性，要确保所求模最大，只需使|λ1－λ3＋λ5－λ6|，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|尽可能取到最大值，即当λ1－λ3＋λ5－λ6＝2，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝4(λ1＝λ2＝λ5＝λ6＝1，λ3＝λ4＝－1)时可取到最大值，∴|λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CD,\s\up6(→))＋λ4eq\o(DA,\s\up6(→))＋λ5eq\o(AC,\s\up6(→))＋λ6eq\o(BD,\s\up6(→))|的最大值为eq\r(4＋16)＝2eq\r(5).感悟升华(1)关于数量积问题常用投影分析法；(2)当向量线性表达式系数较多且给出其取值范围时，常用系数分析法．【训练3－5】(1)已知正三角形ABC的边长为4，O是平面ABC内的动点，且∠AOB＝eq\f(π,3)，则eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的最大值为________．(2)(2021·浙江名师预测一)已知等边△ABC的边长为1，当每个λi(i＝1，2，3)在{－1，0，1}中取值时，则|λ1eq\o(AB,\s\up6(→))－λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CA,\s\up6(→))|的最小值是________，最大值是________．答案(1)eq\f(16\r(3),3)(2)02解析(1)如图，圆E2为△ABC的外接圆，圆E1与圆E2关于直线AB对称，由题意知O在圆E1，E2的优弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上(圆E1，E2半径相等)，设AB的中点为D，eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(DO,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|·|eq\o(DO,\s\up6(→))|·cos∠ADO，易知eq\o(DO,\s\up6(→))在eq\o(BA,\s\up6(→))方向上的射影最大时，eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))取得最大值，易知eq\o(DO,\s\up6(→))在eq\o(BA,\s\up6(→))方向上射影的最大值为△ABO外接圆的半径，故所求最大值为4×eq\f(4,2sin\f(π,3))＝eq\f(16\r(3),3).(2)当λi(i＝1，2，3)中三个均为0时，|λ1eq\o(AB,\s\up6(→))－λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CA,\s\up6(→))|＝0；当λi(i＝1，2，3)中恰有2个为0时，|λ1eq\o(AB,\s\up6(→))－λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CA,\s\up6(→))|≤1；当λi(i＝1，2，3)中恰有1个为0时，1≤|λ1eq\o(AB,\s\up6(→))－λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CA,\s\up6(→))|≤eq\r(3)；当λi(i＝1，2，3)中均不为0时，0≤|λ1eq\o(AB,\s\up6(→))－λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CA,\s\up6(→))|≤2，综上所述，|λ1eq\o(AB,\s\up6(→))－λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CA,\s\up6(→))|的最小值是0，最大值是2.一、选择题1．若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为()A．2B．3C．6D．8答案C解析如图，由已知|OF|＝1，取FO中点E，连接PE，由极化恒等式得eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝|PE|2－eq\f(1,4)|OF|2＝|PE|2－eq\f(1,4)，∵|PE|eq\o\al(2,max)＝eq\f(25,4)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为6.2.如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的最大值为()A．3B．2eq\r(3)C．6D．9答案D解析由平面向量数量积的几何意义知，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))等于|eq\o(AM,\s\up6(→))|与eq\o(AN,\s\up6(→))在eq\o(AM,\s\up6(→))方向上的投影之积，所以(eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→)))max＝eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝9.3．(一题多解)(2020·新高考山东卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范围是()A．(－2，6)B．(－6，2)C．(－2，4)D．(－4，6)答案A解析法一如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，eq\r(3))，F(－1，eq\r(3))．设P(x，y)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，0)，且－1＜x＜3.所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6)．故选A.法二eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AP,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos∠PAB＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|cos∠PAB，又|eq\o(AP,\s\up6(→))|cos∠PAB表示eq\o(AP,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大．当P与F重合时投影最小．又eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\r(3)×2×cos30°＝6，eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2×2×cos120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))∈(－2，6)．故选A.4．(2021·镇海中学检测)已知向量m，n满足(m＋n)·(m－2n)＝0，(m－n)·(m＋2n)＋1＝0，则|n|的最小值为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D．1答案C解析因为(m＋n)·(m－2n)＝0，所以m2－m·n－2n2＝0.因为(m－n)·(m＋2n)＋1＝0，所以m2＋m·n－2n2＋1＝0，所以m·n＝－eq\f(1,2)，且m2＝2n2－eq\f(1,2)>0.因为(m·n)2＝eq\f(1,4)≤|m|2·|n|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2|n|2－\f(1,2)))·|n|2，解得|n|2≥eq\f(1,2)，所以|n|≥eq\f(\r(2),2)，即|n|的最小值为eq\f(\r(2),2)，故选C.5.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABDC内的任一点(含边界)．且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ的取值范围是()A．[0，1]B．[0，2]C．[0，3]D．[0，4]答案C解析过点P作GH∥BC，交AC、AB的延长线于G，H，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AG,\s\up6(→))＋yeq\o(AH,\s\up6(→))，且x＋y＝1，当点P位于D点时，G，H分别位于C′，B′，∵△BCD与△ABC的面积之比为2，∴AC′＝3AC，AB′＝3AB，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(AG,\s\up6(→))＋yeq\o(AH,\s\up6(→))＝xeq\o(AC′,\s\up6(→))＋yeq\o(AB′,\s\up6(→))＝x·3·eq\o(AC,\s\up6(→))＋y·3·eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝3y，μ＝3x⇒λ＋μ＝3x＋3y＝3.当点P位于A点时，显然有λ＋μ＝0，选C.6．(一题多解)已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且∠AOB＝120°，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．[－2，2]B．(1，eq\r(2)]C．[1，eq\r(2)]D．[1，2]答案D解析法一(常规方法)设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，其中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))；B(1，0)；C(cosθ，sinθ)(其中∠BOC＝θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(2π,3)))，有eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，即(cosθ，sinθ)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＋μ(1，0)，整理得－eq\f(1,2)λ＋μ＝cosθ；eq\f(\r(3),2)λ＝sinθ，解得λ＝eq\f(2sinθ,\r(3))，μ＝cosθ＋eq\f(sinθ,\r(3))，则λ＋μ＝eq\f(2sinθ,\r(3))＋cosθ＋eq\f(sinθ,\r(3))＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，易得λ＋μ∈[1，2]．法二(等和线定理)设λ＋μ＝k，当C位于A或B时，A、B、C三点共线，所以k＝λ＋μ＝1，当点运动到eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点C时，k＝λ＋μ＝2，∴λ＋μ∈[1，2]．7．设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1，则()A．若θ确定，则|a|唯一确定B．若θ确定，则|b|唯一确定C．若|a|确定，则θ唯一确定D．若|b|确定，则θ唯一确定答案B解析|b＋ta|2＝b2＋2a·b·t＋t2a2＝|a|2t2＋2|a|·|b|cosθ·t＋|b|2.因为|b＋ta|min＝1，所以eq\f(4|a|2·|b|2－4|a|2·|b|2cos2θ,4|a|2)＝|b|2(1－cos2θ)＝1.所以|b|2sin2θ＝1，所以|b|sinθ＝1，即|b|＝eq\f(1,sinθ).即θ确定，|b|唯一确定．8．(2021·龙湾中学检测)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝2，(a－c)·(b－2c)＝1，则|b－c|的最小值为()A.eq\f(\r(7)－\r(5),2)B.eq\f(\r(7)－\r(3),2)C.eq\f(\r(5)－\r(3),2)D.eq\f(\r(3)－1,2)答案A解析由|a|＝|b|＝a·b＝2得〈a，b〉＝eq\f(π,3)，则不妨设a＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3))，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，0)，c＝eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，y)，则a－c＝(1－x，eq\r(3)－y)，b－2c＝(2－2x，－2y)．由(a－c)·(b－2c)＝1得(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,4)，则点C(x，y)的轨迹是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))为圆心，eq\f(\r(5),2)为半径的圆，则|b－c|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|的最小值为eq\r(（2－1）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(\r(3),2)))\s\up12(2))－eq\f(\r(5),2)＝eq\f(\r(7)－\r(5),2)，故选A.9．(2021·武汉质检)已知等边△ABC内接于圆Γ：x2＋y2＝1，且P是圆Γ上一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最大值是()A.eq\r(2)B．1C.eq\r(3)D．2答案D解析设BC的中点为E，连接AE，向量eq\o(PO,\s\up6(→))，eq\o(OE,\s\up6(→))的夹角为θ.因为等边△ABC内接于圆Γ：x2＋y2＝1，所以点O在AE上，且OA＝2OE＝1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·2eq\o(PE,\s\up6(→))＝2(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)))＝2[eq\o(PO,\s\up6(→))2＋eq\o(PO,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)))＋eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))]＝2[eq\o(PO,\s\up6(→))2＋eq\o(PO,\s\up6(→))·(－eq\o(OE,\s\up6(→)))－2eq\o(OE,\s\up6(→))2]＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1×\f(1,2)cosθ－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)))＝1－cosθ，所以当cosθ＝－1，∴〈eq\o(PO,\s\up6(→))，eq\o(OE,\s\up6(→))〉＝π，∴〈eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OE,\s\up6(→))〉＝0，即点P为AE的延长线与圆的交点时，PA·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))取最大值2，故选D.10．(2021·名校冲刺卷三)已知|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝2，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b＋c|()A．有最小值2eq\r(3)－2，最大值2eq\r(3)＋2B．有最小值2eq\r(3)－2，最大值2eq\r(7)C．有最小值2eq\r(7)，最大值2eq\r(3)＋2D．有最小值2eq\r(3)－2，最大值2答案C解析如图所示，令a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))，c＝eq\o(OC,\s\up6(→))，由a·b＝2，|a|＝|b|＝|c|＝2可得∠AOB＝eq\f(π,3).又(a－c)·(b－c)≤0，所以点C在以AB为直径的圆内，|a＋b＋c|＝|eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|，所以|a＋b＋c|的最大值是eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))同向为2eq\r(3)＋2，最小值是点C与点A或点B重合为2eq\r(7)，故选C.11．已知m，n是两个非零向量，且|m|＝1，|m＋2n|＝3，则|m＋n|＋|n|的最大值为()A.eq\r(5)B.eq\r(10)C．4D．5答案B解析因为(m＋2n)2＝4n2＋4m·n＋1＝9，所以n2＋m·n＝2，所以(m＋n)2＝m2＋2m·n＋n2＝5－n2，所以|m＋n|＋|n|＝eq\r(5－|n|2)＋|n|.令|n|＝x(0<x≤eq\r(5))，f(x)＝eq\r(5－x2)＋x，则f′(x)＝eq\f(－2x,2\r(5－x2))＋1.由f′(x)＝0，得x＝eq\f(\r(10),2)，所以当0<x<eq\f(\r(10),2)时，f′(x)>0时，当eq\f(\r(10),2)<x≤eq\r(5)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(10),2)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)，\r(5)))上单调递减，所以f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))＝eq\r(10)，故选B.12．(2021·北京海淀区检测)已知点M在圆C1：(x－1)2＋(y－1)2＝1上，点N在圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上，则下列说法错误的是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))的取值范围为[－3－2eq\r(2)，0]B．|eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))|的取值范围为[0，2eq\r(2)]C．|eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))|的取值范围为[2eq\r(2)－2，2eq\r(2)＋2]D．若eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(ON,\s\up6(→))，则实数λ的取值范围为[－3－2eq\r(2)，－3＋2eq\r(2)]答案B解析∵M在圆C1上，点N在圆C2上，∴∠MON≥90°，∴eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))≤0，又|eq\o(OM,\s\up6(→))|≤eq\r(2)＋1，|eq\o(ON,\s\up6(→))|≤eq\r(2)＋1，∴当|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝eq\r(2)＋1，|eq\o(ON,\s\up6(→))|＝eq\r(2)＋1时，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))取得最小值，(eq\r(2)＋1)2cosπ＝－3－2eq\r(2)，故A正确；设M(1＋cosα，1＋sinα)，N(－1＋cosβ，－1＋sinβ)，则eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)，∴|eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))|2＝2cosαcosβ＋2sinαsinβ＋2＝2cos(α－β)＋2，∴0≤|eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))|≤2，故B错误；∵两圆外离，半径为1，|C1C2|＝2eq\r(2)，∴2eq\r(2)－2≤|MN|≤2eq\r(2)＋2，即2eq\r(2)－2≤|eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))|≤2eq\r(2)＋2，故C正确；∵eq\r(2)－1≤|eq\o(OM,\s\up6(→))|≤eq\r(2)＋1，eq\r(2)－1≤|eq\o(ON,\s\up6(→))|≤eq\r(2)＋1，∴当eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(ON,\s\up6(→))时，eq\f(\r(2)－1,\r(2)＋1)≤－λ≤eq\f(\r(2)＋1,\r(2)－1)，解得－3－2eq\r(2)≤λ≤－3＋2eq\r(2)，故D正确．13．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))满足|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，且λ＋μ＝1，则|eq\o(OC,\s\up6(→))|的最小值为()A．1B.eq\f(\r(5),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3