2023届福建省莆田市高考冲刺数学模拟试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数的z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.i为虚数单位，则纪的虚部为()

1-i

A.-iB.iC.-1D.1

3.已知a=(cosa,sina),b=(cos(-a),sin(-a)),那么〃.6=0是tz=上乃+1(攵eZ)的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知定义在R上的奇函数满足/(x+l)=/(l-力，且当xeRl］时，/(x)=2'-m，则〃2019)=()

A.1B.-1C.2D.-2

5.已知正三棱锥A-BCD的所有顶点都在球。的球面上，其底面边长为4,E、F、G分别为侧棱AB,AC,AD

的中点.若。在三棱锥A-BCD内，且三棱锥A-BCD的体积是三棱锥。-3C£＞体积的4倍，则此外接球的体积与

三棱锥O-EFG体积的比值为()

A.6岳B.8岳C.12岳D.246

6.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都

可以表示为两个素数的和，例如：4=2+2，6=3+3,8=3+5,那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的

数，其和等于16的概率为()

1212

A.—B.—C.—D.—

21211515

7.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AUB,则集合中的元素共有()

A.3个B.4个C.5个D.6个

8.已知一9-=a+2i(aeR),i为虚数单位，则。=()

l-2i

A.百B.3C.1D.5

9-已知函数/(“)=嬴泮？则函数的图象大致为＜)

jr

10.已知函数/(x)=sin2x+sin2(x+—),则/(x)的最小值为()

A1R1nV2

2442

11.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示，则此几何体的体积是()

正视图倘视图

12.已知函数./■(力=0¥+1+|2%2+以一［(awR)的最小值为()，贝!］。=()

11

A.-B.-1C.±1D.±-

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若/(x)=g区3+优-2)》2_5%+7在(0,2)上单调递减，则A的取值范围是

14.已知f(x)=log“，+4)(。>0且a，l)有最小值，且最小值不小于1,则。的取值范围为.

15.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1，乙获胜的概率是:，则乙不输的概率是.

23

y>x

16.已知实数x,y满足2x-yN0,则2=—J的最大值为_____.

x+2

x+y<5

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=2|x-2|—加(加〉0),若/(x+2)<()的解集为(一2,2).

(1)求加的值；

1119

(2)若正实数。，b»c满足a+2/?+3c=〃?，求证：一■I---1--->—.

a2b3c4

l-t2

尤=2"

18.(12分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为<1；：Q为参数).点〃(七,%)在曲线C上，点。(机〃)

m=2%

满足厂.

〃=60

(1)以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点。的轨迹G的极坐标方程;

7rli

(2)点A,5分别是曲线G上第一象限,第二象限上两点'且满足求丽+两产的值•

x=tcosa,x—sin0

19.(12分)已知曲线G的参数方程为।,。为参数)，曲线C,的参数方程为.L-----（。为参

y=l+/sina,y=vl+cos20,

数）.

(1)求G与的普通方程；

(2)若G与相交于A,8两点，且|A用=0，求sine的值.

x=2+2cos«

20.(12分)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为<°.(a为参数)，以。为极点，X轴的非负半轴

y—2sin«

为极轴建立极坐标系.

(1)求圆C的极坐标方程;

(2)直线/的极坐标方程是。sin,+看卜6,射线。=Y与圆。的交点为。、P,与直线/的交点为Q,

6

求线段PQ的长.

21.(12分)随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁

金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽

取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：

分组频数(单位：名)

使用“余额宝”X

使用“财富通”y

使用“京东小金库”30

使用其他理财产品50

合计1200

已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.

(D求频数分布表中X,＞的值；

(2)已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为2.8%,“财富通”的平均年化收益率为4.2%.若在1200名使用理财产

品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取

2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为X,求X的分布列及数学

期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为3%”即将100元钱存入某理财产

品，一年可以获得3元利息.

22.（10分）如图，四棱锥P-ABC〃的底面是梯形.BC//AD,AB=BC=CD=1,AD=2,PB=警PA=PC=6

(I)证明；ACIBPi

(H)求直线AO与平面APC所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

所对应的点为(-1,-2)位于第三象限.

【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.

2.C

【解析】

利用复数的运算法则计算即可.

【详解】

2『—2,1—2,(1+，)/、

二=「=丁点］不=—，(1+')=1一'，故虚部为—L

1-z1-1(l-/)(l+z)

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数”+初(a,。eR)的虚部为万，不是从，本题为基础题，也是易错题.

3.B

【解析】

由a.6=0,可得cos2a=0,解出即可判断出结论.

【详解】

解：因为a=(cosa,sina),匕=(以双一a),5汕(一。))且44=0

coscr.cos(-a)+sina^in(-a)=cos2a-sin2a=cos2a=0.

TTrr

2a=2卜冗±—,解得a=k7i±—{kGZ).

7T

・•・4山=0是a=女4+：(Z£Z)的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】

本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

4.B

【解析】

根据/(x)是K上的奇函数，并且/(x+D=fCl-x),便可推出/(x+4)寸(x),即/(x)的周期为4,而由xd[O,

1]时，f(x)=2*加及/(x)是奇函数,即可得出/(O)=l-/n=O,从而求得，"=1,这样便可得出/(2019)=f(-1)=-f

(1)=-l.

【详解】

•••/(X)是定义在R上的奇函数，且/。+1)=/(1-力；

.-./(%+2)=/(-%)=-/«；

:./(x+4)=/(x)；

•••/(X)的周期为4；

时，f(x)=2x-m；

由奇函数性质可得/(())=1-777=0;

:.m—\x

：.xe[0,1]时，f(x)=T-1；

.-./(2019)=/(-1+505x4)=/(-I)=-/(I)=-1.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查

理解能力和计算能力，属于中等题.

5.D

【解析】

如图，平面EFG截球。所得截面的图形为圆面，计算AH=4OH,由勾股定理解得/?=血，此外接球的体积为

生四万，三棱锥。―ENG体积为e,得到答案.

33

【详解】

如图，平面ER5截球。所得截面的图形为圆面.

正三棱锥A-BCD中，过A作底面的垂线AH,垂足为“，与平面EFG交点记为K,连接8、HD.

依题意匕一BS=4%_8CD，所以A"=40”,设球的半径为R,

在Rt_0HD中,0D=R,HD=—BC=—，OH=-OA=—,

3333

由勾股定理：R2=（迪］,解得R=遥，此外接球的体积为处色万，

I3J3

由于平面EFGH平面BCD,所以AH，平面EFG,

球心。到平面EFG的距离为K0,

则KO=QA-KA=QA-LA”=R-2R=6=@,

2333

所以三棱锥0-EFG体积为-X\昱乂4丁显=昱,

34433

所以此外接球的体积与三棱锥。-EFG体积比值为24后.

故选：D.

【点睛】

本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

6.B

【解析】

先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事

件的概率公式可求.

【详解】

解：不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17共7个，从中随机选取两个不同的数共有露=21,

其和等于16的结果(3,13),(5,11)共2种等可能的结果，

2

故概率P=—.

21

故选：B.

【点睛】

古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础

题.

7.A

【解析】

试题分析：。=4^3={3,4,5,7,8,9},4r^6={4,7,9},所以&(4仆5)={3,5,8},即集合(Ac8)中共有3个

元素，故选A.

考点：集合的运算.

8.C

【解析】

利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.

【详解】

由一--=a+21,得l+2i=a+2i,解得a=l.

l-2i

故选:C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘法运算，是基础题.

9.A

【解析】

用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.

【详解】

设g(x)=/(x-l)=i-2由于8(5)=万斤>°，排除8选项；由于g(e)=」，g(e2)=三，所

lnx-x+1In-+-2-e'/3-e

22

以g(e)>g(e2),排除C选项；由于当x―时，g(x)>0,排除。选项.故A选项正确.

故选：A

【点睛】

本题考查了函数图像的性质，属于中档题.

10.A

【解析】

先通过降幕公式和辅助角法将函数转化为/(x)=1-gcos(2x+?),再求最值.

【详解】

已知函数/(x)=S加2%+s加2(“+]),

1—2万

1-cos2x+一

=l-cos2xI3

------+

22

11(cos2xCsin2x),1〈乃、

=1——---------------=1——cos2x+—,

2(22)2[3)

因为cos^2x4--£[—1,1],

所以/(X)的最小值为;.

故选：A

【点睛】

本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

11.B

【解析】

试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积匚=22-=：6,四棱柱的底面是梯形，体积为

^=1(2+6)-24=32,因此总的体积哂=茶；箱翁=4$

考点：三视图和几何体的体积.

12.C

【解析】

g(x)+〃(x)=or+l2g(x),g(x)训x)

设<计算可得/(*)=<再结合图像即可求出答案.

g(x)-//(x)=2/+ax-l2h(x),g(x)</i(x)

【详解】

g(x)+〃(x)=ax+\g(x)=J

设

g(犬)一人(%)=2x2+or-l=1-

2g(x),g(x)N“x)

则f(x)=g(x)+Mx)+|g(x)i(x)|=«

27z(x),g(x)<M")'

由于函数“X)的最小值为()，作出函数g(x),〃(x)的大致图像,

所以a—±\.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(-oo,l]

【解析】

由题意可得导数f(x)W0在(0,2)恒成立，解出即可.

【详解】

解：由题意，f(x)=kx2+2(k-2)x,

当％40时，显然/'(幻＜0,符合题意；

当左＞0时，/(幻＜0在(0,2)恒成立，

.•./'(0)＜0,/⑵We(0,1],

:.Ze(7,1],

故答案为：（7,1].

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

14.（1,4]

【解析】

真数x?+4有最小值，根据已知可得”的范围，求出函数/（幻的最小值，建立关于。的不等量关系，求解即可.

【详解】

X2+4>4,且/（x）=log“（f+4）（a>0且awl）有最小值，

«>1,/（x）mil,=logfl4>1,«<4,1<a<4,

的取值范围为（1,4].

故答案为：d,4],

【点睛】

本题考查对数型复合函数的性质，熟练掌握基本初等函数的性质是解题关键，属于基础题.

15.-

6

【解析】

乙不输的概率为工+1=3,填*.

2366

16.

11

【解析】

画出不等式组表示的平面区域，将目标函数理解为点（无），）与（-2,0）构成直线的斜率，数形结合即可求得.

【详解】

不等式组表示的平面区域如下所示：

数形结合可知，当且仅当目标函数过点时，斜率取得最大值,

故二的最大值为

故答案为：—,

【点睛】

本题考查目标函数为斜率型的规划问题，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)m=4；(2)证明见详解.

【解析】

(1)将不等式2)<0的解集用团表示出来，结合题中的解集，求出”的值;

(2)利用柯西不等式证明.

【详解】

解：⑴f(x+2)=2\x\-m<0,\x\<—,

2

mm

---<x<—,

2---2

因为〃x+2)<0的解集为(一2,2),所以£=2,

m=4；

(2)由(1)a+2b+3c=4

111

由柯西不等式(―+一+—)(«+2。+3c)2(1+1+1)29=9,

a2b3c

1119

,——I-------1＞—

"a2b3c,一4

当且仅当a=24,b=2I,c=42,等号成立.

339

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.

7

18.(1)3p2cos2(9+4p2sin2^=12(一万＜。＜乃)；(2)—

【解析】

(1)由已知，曲线C的参数方程消去f后，要注意x的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可;

13cos2(4+力+4城,+5),

、、八\八兀、一，、一加13cos26,+4sin20.

⑵设A(g,q),822，4+不，由⑴可得丁=--------------1

\乙)P]1，滑12-

相加即可得到证明.

【详解】

、2

(1-t22t2

(1)x2+y2=+=1，

1+刃1+r2

1—f2

V——XH—1,：.x2+y2=l(x^-l),

l+t

m

%=彳22

m=2x02mn一小

由题可知:=〈=>---1---=l(m*—2),

鹿=岛0

卜。=耳〃43

C)：3p2cos20+4p2sin26(—7t<0<71^.

12

(2)因为夕—,

3cos-9+4sirr6

设A(g，a),d.a，

22

1_3cos0x+4sin0x

则

13cos2,+小45而(4+小

22

3sin0]+4cos仇

浮12-12

i_i_।j__2_

\OA\2+\OB\2=~^+^=n-

【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.

2

19.(1)y=xtana+l,x2+^-=1(>-..0)(2)0

【解析】

(1)分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程;

(2)把直线的参数方程代入的普通方程，化为关于，的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时/的几何意义求

解.

【详解】

x=tcosa

(1)由曲线C1的参数方程为｛i.(，为参数)，消去参数「，可得y=xtana+l；

y=l+tsma

x=sin______2

由曲线G的参数方程为,---------(，为参数)，消去参数。，可得卜=亚为7,即/+=v=1(%0).

y=\/l+cos2e2

x=tcosa.v2

(2)把｛i(/为参数)代入/+匕=],

y=1+Zsin6z2

得(1+cos2a)t2+2rsina-1=0.

._-2sina_-1

121+cos2a'121+cos2a,

•••IA8Ht-t\=J(4+f2)2-4«2=/(-2sin5)2+-^=y/2.

x2V1+cosa1+cos^a

解得：cos2a=1>BPcosa=±1,满足A>0.

.,.sin(z=0.

【点睛】

本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数f的几何意义的应用，是中档题.

20.(1)/?=4cos6(2)273-2

【解析】

(1)首先将参数方程转化为普通方程再根据公式化为极坐标方程即可；

(2)设pg,4)，QM©)，由a=a=g，即可求出夕”生，贝！IIPQI=|月一阂计算可得;

【详解】

[x=2+2coscr..

解：(1)圆C的参数方程4c.(a为参数)可化为(x—2)2+y2=4,

\y-2sma

：.02_4夕cose=0,即圆C的极坐标方程为°=4cos氏

p、=4cos6]px=2y/3

⑵设pg,a),由兀解得冗

psin,+=G

222=2

设。（220），由

，解得一

a"

•••4=2,•••1咫=3-同=2舁2.

【点睛】

本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

x=640

21.(1)《；(2)680元.

y=480

【解析】

x-y=160

（1）根据题意，列方程-℃,然后求解即可

[%+>=1200-80

（2）根据题意，计算出10000元使用“余额宝”的利息为10000x2.8%=280（元）和

10000元使用“财富通”的利息为10000x4.2%=420（元），

得到X所有可能的取值为560（元），700（元），840（元），

然后根据X所有可能的取值，计算出相应的概率，并列出X的分布列表，然后求解数学期望即可

【详解】

x-y-160

（1）据题意，得<

x+y=1200-80

fx=640

所以

y=480

（2）据640:480=4:3,得这被抽取的7人中使用“余额宝”的有4人，使用“财富通”的有3人.

10000元使用“余额宝”的利息为l（XXX）x2.8%=280（元）.

10000元使用“财富通”的利息为l（XXX）x4.2%=420（元）.

X所有可能的取值为560（元），700（元），840（元）.

X的分布列为

X560700