高等数学同第七版

微分学都是描述物质运动的工具（从微观上研究函数）微积分学的创始人：英国数学家Newton德国数学家Leibniz导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出，导数描述函数变化快慢微分——描述函数变化程度—第一早第**章务獻的槪念引例导数的定义导数的几何意义函数的可导性与连续性的关系HIGHEDUCATIONPRESSeqoooe机动h:traKa返回铝采自由落体运动/a.)fit)

.BHEISjt®rfe_、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为=/⑺则~到/的平均速度为V=-卜h而在/0时刻的瞬时速度为ro__________v=lim--------n0

f_/0fIis•邊藝f—-・f••^*'■-2.曲线的切线斜率曲线C\y-在点处的切线-割线MN的极限位置MT（当识46Z0寸）切线MT的斜率k

二tana=limtan^9妒一>a割线M7V的斜率tan<??k-

lim-Ax)-/(x0)/(x)-/(x0)X二x0IwiJta瞬时速度/_>/o/_

,0切线斜率k=limAx)-/Ud)x—>x0

X—Xq两个问题的共性：邝0)增I°所求量为函数増量与自变量增量之比的极限，类似问题还有：加速度是速度增量与时间増量之比的极限角速度是转角增量与时间増量之比的极限线密度是质量増量与长度増量之比的极限电流强度是电量増量与时间増量之比的极限变化率问题并称此极限为Ay=/U)-/(x0)△JT=JT一JC()X=A0即二、导数的定义定义1.设函数y二/(X)在点乂的某邻域内有定义，若叫;rw-^X=XQ=r(x0)=Alim^rf(x)~f(xo)

i.AylimJ07=hm■V-KV()

x—Xq

A.v^OaX存在，则称函数/(X)在点x()处可导，y-

/‘⑴在点的导数.记作：=lim/(xo+Ax)-/(^o)二iim/(xo+/?)-几。Ax->0AaA->0h_/0曲线Ciy^f(x)在A/点处的切线斜率/(%)-/(^0)k

=hmJv7~?v07X—>Xq_X_Xo=/'(又0)说明:在经济学中，边际成本率，边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数+运动质点的位置函数S=/(/)w}n在t0时刻的瞬时速度1—亂sv=lim-lim/(x)-/(x0)

_Ay勿二/⑴-/Uo)x-X0

Ax^OAx-△义=义一XQ-若上述极限不存在，就说函数在点久不可导.若lim女=oo，也称/(x)在xG的导数为无穷大.Ax->0Ax若函数在开区间I内每点都可导，就称函数在I内可导.此时导数值构成的新函数称为导函数.记my；/'⑴；

drax注意：/u)-ru).=x0^dy^o)例1-求函数f(x)

=C(C为常数)的导数.解：y=lim

/(x+Ax)-/(x)=limC-C=0AxAx->0Ax即丨(c)、o例2.求函数f(x)

=x"(”eN+)在X二a处的导数.依j.rf/\1•f{x)—f{ci)v

a"解：j(a)二lim7—7-’二hm-uax-aX-a=_广^广2+622广3+八+a“)对于一般幂函数y=./(-v)=lim/(V+/°-/(V)Zf->0}飞/r->0hX=}

(当jv—>Offt，(l+x)a_:ax)对一般幂函数J=A为常数）例女曲，蛉4丄iXX=COSXh^O-limcos(jc+—)2lini2cos(x—)sin/i->o2即类似可证得(sinjc)'=cos%(cosx)'--sinx例3.求函数f(x)=smx的导数.解：hhf\X)=

lim/(X+A，)-/(X)=limSin(X+/l)-sinJh—()hZj—>0Ln2nLn2siA//rw2例4.求函数f(x)=ax的导数.h解：r(x)=Um/(x+/l)"/(x)/7—>0-limA—>0/i->oh-aAIna即(aA)'=a'InaJ>+-）x-log。Xe=lrvlnah^O=!’［（1+丁）例5_求函数/⑷=

湖导数■rf/

Xy

/（X+ft）—f（X）

j（X）-lim—-----/?一>0h-limi-loga（l+-）h^hxliml0g"（J；+/?）^l0g"X/j->0I飞即（log^戏（Inx）f

=—xim411A1IX-1-JrX方-■hh2/?例6.设/U)存在,求极限hm/(X°+h)

—/(A°_/?)不存在，s卩x在x=0不可导.iiE:9

AO±A)-AO)=A->0=~f'(xO)+-hh~r/(O+/?)—/(0),・.lim1Jh^O例6.证明函数/(x)=JT在=o不可导.1,h>Q-1,/7<0解—舰戸1……、2T人a久三、导数的JI何意义曲线y=f(J碎点(x[},y{})的切线斜率为tana=/(x0)若/Vo)>0，曲线过Uo，)上升；(若/Vo)<0，曲线过(^)，凡)下降；若/V())=0，切线与轴平行，x()称为驻点；~dtx(ruo)关o)若/'(^0)=00，切线与轴垂直./Vo)*①时,曲线在点Uo，凡)处的切线方程：y-yQ/Vo)(x-^0)If

、法线方程：^~^=-77^(%_Xo)ciz〜y00±1即沏线？哪一点处写出其切线方程.例7.问曲线jp的切线与直线=\x哪一点有垂=卜_1平行‘1-2I解：9y=5

=故在原点(0，0)有垂直切线x=o令Jpy=

，得X=±1，对应y则在点(hI)，(-1「1)处与直线J=平行的切线方程分别为:；(x-l),y+]=\(x+l)x-3y

±2=0©■-1-1'¥rTXt—»1-1函数的可导性与连续性的关系定理L/(%)在点x处可导=>/⑴在点*处连续证:设夕=f(x)在点x处可导，即lim=fr(x).__.m...L?

Ax->0Ax存在，因此必有—-=ff(x)+a，其中lima—0Ar

Ax^o故Ay=f'(x)Ax

+aAxAa

—0.0所以函数_y=/Cr)在点连续.>=|^|P'注意：函数在点x连续未必可导.\/反例：y=jc在x=0处连续，但不可导.°X五、单侧导数定义2

.设函数y=f(x)在点x()的某个右(左)邻域内有定义，若极限limAxlim0+/(x0+Ax)-/(x0)Ax(Ax->0)(AX4(T)____^0存在測称此极限值为/(X)在&处的右(左)导数，记作/:Uo)(/-(x0))即/(x0+Ax)-/^0)Ax例如，/(x)二4在x=0处有7：(0)=+1，

71(0)=-1定理2,函数y=/(x)在点可导的充分必要条件是刀CU与'(％)存在，且以x0)=f(x0).简写为/(X。)存在«■ArUo)=/-(xo)定理3.函数/⑴在点x()处右(左)导数存在=>/(X)在点X。必右(左)连续.若函数/(X)在开区间(人幻内可导，且/：(«)与f:(b)都存在，则称在闭区间［6Z，/?］上可导.显然：/(x)在闭区间\a，b］上可导二^y(x)在［a，/)］上连续1.导数的实质：增量比的极^2*/'(x0)=a・r

二f:(x(、)二a3.导数的几何意义:切线的斜率；4.可导必连续，但连续不一定可导；5.已学求导公式：(cy-o；

(，:》叫；(岣，卜士j(sinx)r:cosx;(cosx)'=—sinx;(Inx)f

=-xr不连续，一定不可导.6.判断可导性直接用导数定义；L看左右导数是否存在且相等.思考与练习L函数/(X)在某点％处的导数/'(%)与导函数/V)有什么区别与联系？区別：广00是函数，尸(X。)是数值；联系：尸⑴A:.r0

=/'“)注意：/'U0)¥l/(x0)]'2.设.厂⑹存在，则lim’(X「h)-’W

=_f(x(、).“oh3.已知/(0)=0,f(0)=心，则lim便=__x-^OX4.若3)时，恒有f(x)\<x\问/⑺是否在x

:0可导？解:由题设/(0)=00</⑴一/⑼x-Q<x由夹逼准则lim二/⑼=0X">0x—0故/(x)在x=0可导，且/'⑼=0IwiJta5.设/(x卜s’x问扇直时，作）在（-叭+①）都存在，并求出rex）.7-m®hT*sw解：显然该函数在;r=0连续.sinx-0厶⑼=hm

-=1h(tx-0K

aj-0/；(0)=hm—-=aa->o+

x-0故a=1时/'(0)=1，此时/'(x)在卜①，+oo)都存在，「cosx，

x<Q={1,aoLI作IkP836，9⑷⑹(7)，13,.备用题1.设/'⑴存在，且lim求尸⑴,x—o2x解：因为lim/(1)-/(1-义)=-lim.川之)