人教版九年级数学上册 22.1 二次函数（知识讲解）

专题22.1二次函数（知识讲解）【学习目标】1、理解二次函数的概念，识别二次函数；2、根据二次函数表达式求参数；3、能根据生活实际写出二次函数表达式。【要点梳理】【知识点1】二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零。二次函数的定义域是全体实数。【知识点2】二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2。⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。【典型例题】类型一、二次函数的判断1．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.(1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围．(2)若这个函数是一次函数，求m的值．(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？【答案】(1).m≠0且m≠1.(2).m＝0.(3).不可能解：（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；（2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案；（3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数．试题解析：(1)∵这个函数是二次函数，∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0，∴m≠0且m≠1.(2)∵这个函数是一次函数，∴∴m＝0.(3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2，∴不可能是正比例函数．举一反三：【变式1】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据二次函数的定义判断即可；解：y＝2x﹣1是一次函数；y＝﹣2x2﹣1是二次函数；y＝3x3﹣2x2不是二次函数；④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数；y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；故二次函数有1个；故答案选A．【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键．【变式2】二次函数中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___【答案】

-2x,

1【分析】函数化简为一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：∵y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项∴中，二次项系数为，一次项是-2x，常数项是1.故答案是：;-2x;1.【点拨】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．类型二、根据二次函数定义求参数2．已知函数y＝（k2﹣k）x2+kx+k+1（k为常数）．（1）若这个函数是一次函数，求k的值；（2）若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？【答案】（1）k＝1；（2）k≠0且k≠1【分析】（1）由一次函数的定义求解可得；（2）由二次函数的定义求解可得．解：（1）若这个函数是一次函数，则k2﹣k＝0且k≠0，解得k＝1；（2）若这个函数是二次函数，则k2﹣k≠0，解得k≠0且k≠1．【点拨】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键．举一反三：【变式1】当函数是二次函数时，的取值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可．解：∵函数是二次函数，∴a-1≠0，=2，∴a≠1，，∴，故选D．【点拨】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键．【变式2】定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______．【答案】【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数．解：由题意得解得∴函数的本源函数是．故答案为：．【点拨】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．类型三、列二次函数解析式3、如图，在中，，，，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，的面积为S，求：（1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当时，求线段PQ的长；（3）当t为何值时，？【答案】（1）；（2）；（3）当t为2或3时，．【分析】（1）由点P点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解即可；（2）当时，代入（1）中公式可得PC，CQ的长，再由勾股定理即可求出PQ；（3）结合（1）得到的关系式，代入条件，列出方程求解即可．解：（1）由条件可得：，，∴，∴，；（2）当时，，，∴；（3）由题意可得：，整理得：，解得：，，∴当t为2或3时，．【点拨】本题主要考查了勾股定理的运用，方程思想是解决本题的关键．举一反三：【变式1】某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解．解：每件的利润为（x-21），∴y=（x-21）（350-10x）=-10x2+560x-7350．故选B．【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润的等量关系，注意先求出每件商品的利润．【