专题21.2 公式法、因式分解法解一元二次方程和根与系数的关系(原卷版)（八大考点）

专题21.2公式法、因式分解法解一元二次方程和根与系数的关系【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一元二次方程的解法——公式法】 1【考点二根据判别式判断一元二次方程根的情况】 4【考点三根据一元二次方程根的情况求参数】 6【考点四根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】 8【考点五一元二次方程的解法——因式分解法】 12【考点六换元法解一元二次方程】 15【考点七一元二次方程根与系数的关系】 18【考点八利用一元二次方程根与系数的关系求参数】 20【过关检测】 24【典型例题】【考点一一元二次方程的解法——公式法】【例题1】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【变式1-1】（2022秋·青海西宁·九年级校考期中）解方程：（公式法）【变式1-2】（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）解方程：【变式1-3】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【变式1-4】（2023春·八年级单元测试）解方程(1)；(2)．【考点二根据判别式判断一元二次方程根的情况】【例题2】（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断【变式2-1】（2023·全国·九年级假期作业）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A． B． C． D．【变式2-2】（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）方程根的情况是（

）A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根 D．无法判断【变式2-3】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）已知关于x的方程，下列说法正确的是（）A．当时，方程无实数解 B．当时，方程有两个相等的实数解C．当时，方程有两个不相等的实数解 D．当时，方程有两个相等的实数解【考点三根据一元二次方程根的情况求参数】【例题3】（2023·安徽宿州·校考一模）若关于的方程有实数根，则的取值范围为________．【变式3-1】（2023·安徽蚌埠·校联考二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．【变式3-2】（2023·四川攀枝花·统考二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．【变式3-3】（2023·安徽蚌埠·校考一模）若关于x的一元二次方程无实数根，则整数k的最小值为___________．【考点四根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】【例题4】（2023·北京昌平·统考二模）关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于0，求的取值范围．【变式4-1】（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程．(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根．【变式4-2】（2023·全国·九年级假期作业）关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【变式4-3】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．【考点五一元二次方程的解法——因式分解法】【例题5】（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）解下列方程：(1)；(2)．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）解方程：．【变式5-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）解方程：(1)(2)【变式5-3】（2023春·河北石家庄·八年级石家庄二十三中校考阶段练习）解方程(1)；(2)【变式5-4】（2022秋·九年级单元测试）解方程：(1)．(配方法)(2)．(因式分解法)(3)．(公式法)(4)．(因式分解法)【考点六换元法解一元二次方程】【例题6】（2023·全国·九年级假期作业）实数满足方程，则的值等于（

）A． B． C．或 D．或【变式6-1】（2023秋·广西河池·九年级统考期末）若实数x，y满足，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或3【变式6-2】（2023·全国·九年级专题练习）若，则______．【变式6-3】（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）阅读材料，解答问题.解方程：.解：把视为一个整体，设，则原方程可化为．解得：，，或，，．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解决下列问题：(1)解方程；(2)已知，求的值.【考点七一元二次方程根与系数的关系】【例题7】（2023·四川泸州·统考一模）已知是一元二次方程的两根，则的值是______．【变式7-1】（2023·全国·九年级假期作业）若、为的两根，则的值为______．【变式7-2】（2023·全国·九年级假期作业）设一元二次方程的两根分别是、，计算____________．【变式7-3】（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知a，b满足，，且，则的值为___．【变式7-4】（2023春·全国·八年级专题练习）已知，是方程的两根，则的值为__________．【考点八利用一元二次方程根与系数的关系求参数】【例题8】（2023·湖北襄阳·统考二模）关于的一元二次方程有两个不相等实数根和．(1)求实数的取值范围；(2)当时，求的值．【变式8-1】（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根，且，求k的值．【变式8-2】（2023春·浙江·八年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)若为正整数，求的值；(2)若满足，求的值．【变式8-3】（2023·湖北襄阳·统考一模）已知关于x的一元二次方程．(1)若方程有实数根，求m的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为，且满足．求的值．【过关检测】一、选择题1．（2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中）一元二次方程的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根2．（2023·贵州遵义·统考三模）一元二次方程的两个根是（

）A．， B．， C．， D．，3．（2023·贵州六盘水·统考二模）已知是一元二次方程的两根，则的值为（

）A． B． C．1 D．24．（2023·山东泰安·统考一模）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（

）．A．2020 B．2021 C．2022 D．20235．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）已知关于x的方程有两个实数解，求k的取值范围（）A． B．且 C． D．且6．（2023·全国·九年级假期作业）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是()A． B． C．或 D．或或二、填空题7．（2023·广东·九年级专题练习）一元二次方程的解是______．8．（2023·吉林长春·统考二模）一元二次方程根的判别式的值为______．9．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）若方程的两根为，，则___________．10．（2023·广东阳江·统考二模）一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_________．11．（2023·湖北咸宁·统考模拟预测）设m，n为关于x的方程的两个实数根，则______.12．（2023·全国·九年级专题练习）对于一元二次方程，下列说法：①若，则它有一根为﹣1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若c是方程的一个根，则一定有成立；④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的______．三、解答题13．（2023春·浙江杭州·八年级杭州市惠兴中学校考期中）解方程．(1)；(2)．14．（2023春·山东威海·八年级校联考期中）解方程(1)(2)15．（2023春·全国·八年级专题练习）用适当的方法解方程．(1)(2)16．（2023春·全国·八年级专题练习）根据要求解下列方程．(1)用配方法解方程：．(2)用公式法解方程．．17．（2023·江苏泰州·泰州市海军中学校考二模）已知关于x的一元二次方程．(1)试说明：对于任意实数，该方程总有实数根；(2)若这个一元二次方程的一根大于，另一根小于，求的取值范围．18．（2023·黑龙江绥化·校联考一模）关于的一元二次方程有实数根．求：(1)求的范围；(2)设为方程的两个根，且，求的值？19．（2023·北