第4讲 专题一 全等三角形常见几何模型（解析版）

专题一全等三角形的模型（解析版）专题解读：全等三角形指能够完全重合的两个三角形，它们的三条边三个角都对应相等，全等三角形是几何类型中研究的全等之一，当题目中出现角平分线，重点或中线，三条线段之间的关系，垂直平分线等条件时，可以考虑作辅助线构造全等三角形。类型一角平分线模型模型描述：OF是∠AOB的平分线，如图（1）若PC⊥OA，PD⊥OB，则△PCO≌△PDO；如图（2）若OC＝OD，则△PCO≌△PDO（2）典例1如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．【思路引领】在线段BC上截取BE＝BA，连接DE，由角平分线的定义可得出∠ABD＝∠EBD，结合AB＝EB、BD＝BD即可证出△ABD≌△EBD（SAS），根据全等三角形的性质可得出AD＝ED、∠A＝∠BED，由AD＝CD可得出ED＝CD，进而可得出∠DEC＝∠C，再根据邻补角互补即可得出∠BED+∠DEC＝180°，进而可证出∠A+∠C＝180°．证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE，如图所示．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD．在△ABD和△EBD中，AB=EB∠ABD=∠EBD∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED，∠A＝∠BED．∵AD＝CD，∴ED＝CD，∴∠DEC＝∠C．∵∠BED+∠DEC＝180°，∴∠A+∠C＝180°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及邻补角，根据全等三角形、等腰三角形的性质结合邻补角互补找出∠A+∠C＝180°是解题的关键．针对训练1．（2019秋•临西县期末）已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：AP平分∠MAN．【思路引领】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM＝PD，PN＝PD，得到PM＝PN，根据角平分线的判定定理证明即可．证明：作PD⊥BC于点D，∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM＝PD，同理，PN＝PD，∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，∴PA平分∠MAN．【点睛】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．2．（2023春•禅城区校级月考）如图，已知△ABC中，∠B＝40°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．（1）求∠EDA的度数；（2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求S△ABC．【答案】（1）58°；（2）108．【思路引领】（1）先根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义，得出∠DAE的度数，最后根据直角三角形两个锐角互余，即可求解；（2）过点D作DF⊥AC于点F，根据AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB，得出DF＝DE＝6，最后个根据S△ABC＝S△ACD+S△ABD即可求解．解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝76°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣76°＝64°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE=1∵DE⊥AB，∴∠EDA＝90°﹣∠DAE＝58°．（2）过点D作DF⊥AC于点F，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB，∴DF＝DE＝6，∴S△ABC【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义和性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°，角平分线上的点到两边的距离相等．类型二三垂直模型模型描述：有下面三种情况典例2如图（1），已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．（2）若将CD沿CB方向平移得到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，此时第（1）问中AC与CE的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请任选一个说明理由．【思路引领】（1）根据题意推出△ABC≌△CDE，即可推出AC⊥CE；（2）结论成立，如图2，根据已知推出△ABC1≌△C2DE，即可推出结论．解：（1）AC⊥CE．理由：如图一，∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，又AB＝CD，BC＝DE，∴△ABC≌△CDE，∴∠A＝∠DCE，∵∠A+∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠ACB＝90°，∴AC⊥CE；（2）不变．理由：如图二，∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，又AB＝C2D，BC1＝DE，∴△ABC1≌△C2DE，∴∠A＝∠EC2D，又∠A+∠AC1B＝90°，∴∠EC2D+∠AC1B＝90°，∴∠AME＝90°，∴AC1⊥EC2．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，平移的性质，关键在于根据题意求证相关三角形全等．针对训练1．（2021秋•海丰县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）AD＝BE+DE．【思路引领】（1）根据同角的余角相等，可证∠BCE＝∠CAD，再利用AAS证明△ACD≌△CBE；（2）由△ACD≌△CBE，得CD＝BE，AD＝CE，即可得出结论．（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACE+∠CAD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，在△ACD和△CBE中，∠CAD=∠BCE∠ADC=∠BEC∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）解：AD＝BE+DE，理由如下：∵△ACD≌△CBE，∴CD＝BE，AD＝CE，∵CE＝CD+DE，∴AD＝BE+DE．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟悉基本几何图形是解题的关键．2．（2021秋•柘城县期中）已知△ABC在平面直角坐标系中，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．（1）如图①，已知点A（0，﹣4），B（1，0），求点C的坐标；（2）如图②，已知点A（0，0），B（3，1），求点C的坐标．【答案】（1）（﹣3，1）；（2）（2，4）．【思路引领】（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点D，利用AAS证明△BCD≌△ABO，得CD＝BO＝1，BD＝AO＝4，可得答案；（2）过B作x轴的垂线，交x轴于点D，过点C作DB的垂线交DB的延长线于点E，利用AAS证明△ABD≌△BCE，得CE＝BD＝1，BE＝AD＝3，可得答案．解：（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点D，∵A（0，﹣4），B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，∵∠ABC＝90°，∠AOB＝90°，∴∠CBD+∠OBA＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，∵AB＝BC，∠AOB＝∠BDC＝90°，∴△BCD≌△ABO（AAS），∴CD＝BO＝1，BD＝AO＝4，∴OD＝3，∴点C坐标为（﹣3，1）；（2）过B作x轴的垂线，交x轴于点D，过点C作DB的垂线交DB的延长线于点E，∵A（0，0），B（3，1），∴OD＝3，BD＝1，∵∠ABC＝90°，∠ADB＝90°，∴∠CBE+∠OBD＝90°，∠BAD+∠OBD＝90°，∴∠BAD＝∠CBE，∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC＝90°，∴△ABD≌△BCE（AAS），∴CE＝BD＝1，BE＝AD＝3，∴DE＝4，∴点C的横坐标为3﹣1＝2，∴点C坐标为（2，4）．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，利用一线三等角构造k型全等是解题的关键．类型三半角模型模型描述：半角模型常见的图形有正方形，正三角形等。一般解题思路为：1.通过旋转，将半角或组合成为半角的两边的两个三角形合并成新的三角形；2.证明信三角形与半角形成的三角形全等；3.通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。典例3如图，在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD上的点，∠MAN＝45°．求证：MB+ND＝MN．【思路引领】根据正方形的性质利用SAS判定△AHB≌△AND，得到AH＝AN，∠HAB＝∠NAD，再利用SAS判定△AHM≌△ANM，得到HM＝MN，因为HM＝HB+BM＝DN+BM，所以MB+ND＝MN．证明：延长MB至H，使BH＝DN，连接AH，∵ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABH＝∠BAD＝∠D＝90°．∵BH＝DN，∴△AHB≌△AND（SAS）．∴AH＝AN，∠HAB＝∠NAD．∵∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝∠BAH+∠BAM＝45°．∴∠HAM＝∠MAN．∵AH＝AN，AM＝AM，∴△AHM≌△ANM（SAS）．∴HM＝MN．∵HM＝HB+BM＝DN+BM，∴MB+ND＝MN．【点睛】此题有点复杂，主要考查了学生对正方形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用．针对训练1．（2021春•北碚区校级期末）如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED．（1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：CE平分∠BCD；（2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD=23AB＝4．求点E到【答案】（1）证明见解析部分．（2）3．【思路引领】（1）延长CD到T，使得DT＝BA，连接ET．证明△EAB≌△EDT（SAS），△ECB≌△ECT（SSS），可得结论．（2）延长CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，过点E作EH⊥BC于H．证明△AEB≌△DEQ（ASA），△ECB≌△ECQ（SAS），由题意S五边形ABCDE＝S四边形EBCQ＝2S△EBC＝30，推出S△EBC＝15，再利用三角形面积公式求出EH即可．（1）证明：延长CD到T，使得DT＝BA，连接ET．∵∠CDE＝120°，∴∠EDT＝180°﹣120°＝60°，∵∠A＝60°，∴∠A＝∠EDT，在△EAB和△EDT中，AE=DE∠A=∠EDT∴△EAB≌△EDT（SAS），∴EB＝ET，∴CB＝CD+BA＝CD+DT＝CT，在△ECB和△ECT中，EC=ECEB=ET∴△ECB≌△ECT（SSS），∴∠ECB＝∠ECD，∴CE平分∠BCD．（2）解：延长CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，过点E作EH⊥BC于H．∵∠A+∠CDE＝180°，∠CDE+∠EDQ＝180°，∴∠A＝∠EDQ，在△AEB和△DEQ中，∠AEB=∠DEQEA=ED∴△AEB≌△DEQ（ASA），∴EB＝EQ，∵∠AED＝2∠BEC，∴∠AEB+∠CED＝∠BEC，∴