2022新教材北师大版高中数学必修第一册第七章 概率 课时练习题及章末测验含答案解析

第七章概率

1、随机现象样本空间....................................................1

2、随机事件随机事件的运算..............................................5

3、古典概型............................................................10

4、古典概型的应用1.........................................................................................................15

5、古典概型的应用2.........................................................................................................21

6、频率与概率..........................................................27

7、事件的独立性........................................................33

章末检测...............................................................39

1、随机现象样本空间

一、选择题

1.下列现象中，随机现象有()

(D某射手射击一次,射中10环;

(2)同时掷两颗骰子，都出现6点；

(3)某人购买福利彩票未中奖；

(4)若x为实数，则V+12L

A.1个B.2个

C.3个D.4个

C[(4)是确定性现象，(1)(2)(3)是随机现象.]

2.下列现象中，确定性现象是()

A.凸四边形的内角和为360°

B.小明放学在十字路口遇到红灯

C.三角形中两边之和小于第三边

D.方程V+a=0有实数根

A[C是不可能现象，B、D是随机现象.]

3.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只

选报其中的2个，则试验的样本点共有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

C[该生选报的所有可能情况是：(数学和计算机)，(数学和航空模型)，(计

算机和航空模型)，所以试验的样本点共有3个.]

4.从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”

包含的样本点数为()

A.2个B.3个

C.4个D.5个

C[从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为

{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.其中“这2个数的和大于4”

包含的样本点有:(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个.]

5.“连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的样本点

共有()

A.6种B.12种

C.24种D.36种

D[试验的全部样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),

(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36

种.]

二、填空题

6.下列现象是确定性现象的有.

①某收费站在未来某天内通过的车辆数；

②一个平行四边形的对边平行且相等；

③某运动员在下届奥运会上获得冠军；

④某同学在回家的路上捡到100元钱；

⑤在没有水和阳光的条件下，小麦的种子不会发芽.

②⑤[①③④都是随机现象，②⑤是确定性现象.]

7.从1,2,3,…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为,

满足“它是偶数”样本点的个数为.

0={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}5[样本空间为。=

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),其中满足“它是偶数”的样本点有:2,4,6,8,10,共

有5个.]

8.投掷两枚骰子，点数之和为8所包含的样本点有种.

5[样本点为(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5种.]

三、解答题

9.现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况.

(1)写出该试验的样本空间;

(2)“三人出拳相同”包含的样本点有哪些？

［解］以/S,6分别表示出剪刀、石头、布.

(1)。={(/J,J),(/S,J),(5,J,J),(/J，0，(/

B,J),(B,Ji力，S,5),(S,J,S,6s,J),(/B,而，(6,J，

⑸，(B,B,J)，(S,S,S,(s,s,而，(S,B,S，(B,S,5),(B,B,S,

(3,S,而，(S,B,0,(8B,而，(/S,③，(/B,。，(S,J,而,(S,

B,J),(B,J,S，(8,S,J)}.

⑵“三人出拳相同”包含下列三个样本点：(/J,J),(S,S,5),(B,B,

B).

10.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为筋转盘②得到的

数为y.结果为(x,y).

(1)写出这个试验的样本空间;

⑵求这个试验的样本点的总数;

(3)满足“x+尸5”的样本点有哪些？满足“K3且力1”的呢?

(4)满足“盯=4”的样本点有哪些？满足“x=y”的呢？

［解］⑴O={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.

(2)样本点的总数为16.

⑶满足“才+尸5”的有以下4个样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)；

满足“水3且力1”的有以下6个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),

(2,3),(2,4).

(4)满足“0=4”的有以下3个样本点：(1,4),(2,2),(4,1);

满足的有以下4个样本点：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

11.在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机

现象的是()

A.3件都是正品B.至少有1件次品

C.3件都是次品D.至少有1件正品

C[25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都

是次品”不是随机现象.]

12.抛掷一颗骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”是确定性现象，

则下列也是确定性现象的是()

A.“出现奇数点”B.“出现偶数点”

C.“点数大于3"D.”点数是3的倍数”

B[若“出现2点”是确定性现象，由2为偶数，故”出现偶数点”也是确

定性现象.]

13.写出下列试验的样本空间：

(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)；

(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数.

[答案](1)。={胜，平,负}(2)。={0,1,2,3,4}

14.一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个

摸出来，为了保证在第A次或第A次之前能摸出红球，则A的最小值为.

16[至少需摸完黑球和白球，共15个，所以A最小为16.]

15.设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S,S,…，5,0

共10站.若甲在S站买票，乙在W站买票.设试验的样本空间O表示火车所

有可能停靠的站，令/表示甲可能到达的站的集合，3表示乙可能到达的站的集

入口・

(1)写出该试验的样本空间O；

(2)写出5包含的样本点；

(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？

_解_(1)0={S,S,W,S\9S,Sd9S,W,区，So}.

(2)A—{Si,W,S,S,W,So}；B—{S,W,W,S0}.

（3）铁路局需要准备从S站发车的车票共计9种，

从S站发车的车票共计8种，…，从W站发车的车票1种，合计共9+8+…

+2+1=45（种）.

2、随机事件随机事件的运算

一、选择题

1.下列事件中为随机事件的是（）

A.若a,b,c都是实数，则a（8c）=（a，）c

B.没有水和空气，人也可以生存下去

C.抛掷一枚硬币，反面向上

D.在标准大气压下，温度达到60℃时水沸腾

C[A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a,b,c是恒成立的，故

A是必然事件.在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不

可能事件.抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反

面向上，故C是随机事件.在标准大气压的条件下，只有温度达到100C,水

才会沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件.]

2.12本外形相同的书中，有10本语文书，2本数学书，从中任意抽取3

本，是必然事件的是（）

A.3本都是语文书

B.至少有一本是数学书

C.3本都是数学书

D.至少有一本是语文书

D[从10本语文书，2本数学书中任意抽取3本的结果有：3本语文书，2

本语文书和1本数学书，1本语文书和2本数学书3种，故答案选D.]

3.抽查10件产品，记事件/为“至少有2件次品”，则4的对立事件为（）

A.至多有2件次品B.至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

B[至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它

的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品.]

4.学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班

分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是()

A.对立事件B.不可能事件

C.互斥但不对立事件D.不是互斥事件

C[由题意，1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌，因而这两个事件是互

斥事件；又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌，故这两个事件不是对立事件，

所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事

件.故选C.]

5.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设/=｛两次都击

中飞机｝,8=｛两次都没击中飞机｝,。=卜恰有一弹击中飞机｝,"=｛至少有一弹

击中飞机｝,下列关系不正确的是()

A.AQDB.BCD=0

C.AUC=DD.AUB=BUD

D[“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚

击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都

击中，

二、填空题

6.给出下列四个命题：

①集合｛xllx|V0｝为空集是必然事件；

②尸f(x)是奇函数，则*0)=0是随机事件；

③若loggl)>0,则x>l是必然事件；

④对顶角不相等是不可能事件.

其中正确命题是.

①②③④「门力20恒成立，.•.①正确；奇函数y=F(x)只有当x=0有意

义时才有A0)=0,...②正确；由log式x—1)>0知，当a>l时，x—即x

>2；当0<a<l时，0<x—即.•.③正确，④正确.]

7.同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件

为.

①一个是5点，另一个是6点；

②一个是5点，另一个是4点；

③至少有一个是5点或6点；

④至多有一个是5点或6点.

③［同时掷两枚骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且不是6

点”包含16个，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”.］

8.盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件/={3个球

中有1个红球，2个白球},事件8={3个球中有2个红球，1个白球},事件C

={3个球中至少有1个红球},设事件£={3个红球},那么事件。与4B,E

的运算关系是.

C=AUBUE［由题意可知C=4U6U£］

三、解答题

9.从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球，

观察红球个数和白球个数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断

它们是不是对立事件.

(1)“至少有1个白球"与“都是白球"；

(2)“至少有1个白球”与“至少有一个红球”；

(3)“至少有一个白球”与“都是红球”.

［解］(1)不是互斥事件，因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球

或两个白球”和“都是白球”可以同时发生，所以不是互斥事件.

(2)不是互斥事件.因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个

白球”，“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”，两个事件可

以同时发生，故不是互斥事件.

(3)是互斥事件也是对立事件.因为“至少有1个白球”和“都是红球”不

可能同时发生，且必有一个发生，所以是互斥事件也是对立事件.

10.某小区有甲、乙两种报刊供居民订阅，记事件4表示''只订甲报刊”，

事件6表示“至少订一种报刊”，事件。表示“至多订一种报刊”，事件〃表示

“不订甲报刊”，事件夕表示“一种报刊也不订”.判断下列事件是否是互斥事

件，若是，再判断是否为对立事件.

⑴4与。；②B与E；(3)8与〃；⑷6与a⑸。与£

［解］(1)由于事件C”至多订一种报刊”中有可能“只订甲报”，即事件/

与事件C有可能同时发生，故力与C不是互斥事件.

(2)事件8“至少订一种报刊”与事件夕”一种报刊也不订”是不可能同时

发生的，故8与少是互斥事件.由于事件8发生可导致事件£'一定不发生，且事

件£发生会导致事件夕一定不发生，故8与£还是对立事件.

(3)事件8“至少订一种报刊”中有可能“只订乙报刊”，即有可能“不订

甲报刊”，即事件3发生，事件〃也可能发生，故8与〃不互斥.

(4)事件6“至少订一种报刊”中有这些可能：“只订甲报刊”“只订乙报

刊"''订甲、乙两种报刊”；事件。“至多订一种报刊”中有这些可能：“两种

报刊都不订”“只订甲报刊”“只订乙报刊”.由于这两个事件可能同时发生，

故6与。不是互斥事件.

(5)由(4)的分析，事件一种报刊也不订”只是事件。的一种可能，故事

件C与事件少有可能同时发生，故C与后不互斥.

11.(多选)将一枚骰子向上抛掷一次，设事件力=｛向上的一面出现奇数点｝,

事件8=｛向上的一面出现的点数不超过2｝,事件C=｛向上的一面出现的点数不

小于4｝,则下列说法中正确的有()

A.1B=0

B.~BC=｛向上的一面出现的点数大于3｝

C.47+7。=｛向上的一面出现的点数不小于3｝

D.~ABC=｛向上的一面出现的点数为2｝

BC［由题意知事件4包含的样本点：向上的一面出现的点数为1,3,5；

事件8包含的样本点：向上的一面出现的点数为1,2；

事件。包含的样本点：向上的一面出现的点数为4,5,6.

所以彳8=｛向上的一面出现的点数为2｝,故A错误；｛向上的一面出

现的点数为4或5或6｝,故B正确；A~B+~B｛向上的一面出现的点数为3

或4或5或6｝,故C正确；ABC=Q,故D错误，故选BC.］

12.设，，反少为三个事件，~H,~E,7分别表示它们的对立事件，表示“三

个事件恰有一个发生”的表达式为（）

A.H+E+FB.HE~F+~HEF+~H~EF

C.HEF+HEF+~HEFD.H+E+F

B［选项A表示H,E,产三个事件至少有一个发生；选项B表示三个事件恰

有一个发生;选项C表示三个事件恰有一个不发生;选项D为选项A的对立事件,

即表示三个事件都不发生.故选B.］

13.给出以下三个命题：（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件4“两次都出

现正面”，事件6：”两次都出现反面”，则事件力与事件6是对立事件；（2）

在命题（1）中，事件力与事件8是互斥事件；（3）在10件产品中有3件是次品，

从中任取3件，记事件外“所取3件中最多有2件是次品”，事件8：“所取

3件中至少有2件是次品”，则事件4与事件6是互斥事件，其中真命题的个数

是.

1［命题⑴是假命题，命题⑵是真命题，命题⑶是假命题.对于⑴（2）,

因为抛掷两次硬币，除事件48外，还有“第一次出现正面，第二次出现反面”

和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件，所以事件4和事件8不是对

立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；对于（3）,若所取的3件产品

中恰有2件次品，则事件4和事件8同时发生，所以事件/和事件6不是互斥事

件.］

14.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到

语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件4B,C,D,E,则事件取出的是

理科书可记为.

BUDUE［由题意可知事件“取到理科书”可记为

15.从学号为1,2,3,4,5,6的六名同学中选出一名同学担任班长，其中1,3,5

号同学为男生，2,4,6号同学为女生，记：6=｛选出1号同学｝,C=｛选出2号

同学｝，G=｛选出3号同学｝,&=｛选出4号同学｝,6=｛选出5号同学｝,&=｛选

出6号同学｝,〃=｛选出的同学学号不大于1｝,〃=｛选出的同学学号大于4｝,

〃=｛选出的同学学号小于6｝,£=｛选出的同学学号小于7｝,尸=｛选出的同学学

号大于6｝,G=｛选出的同学学号为偶数｝,H=｛选出的同学学号为奇数｝,等等.据

此回答下列问题:

(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？

(2)如果事件G发生，则一定有哪些事件发生？在集合中，集合G与这些集

合之间的关系怎样描述？

(3)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例

子吗？

［解］(1)必然事件有：公随机事件有：G,G,G,G,Q,〃，"，

4G,不可能事件有：F.

(2)如果事件G发生，则事件〃，加E,〃一定发生，类比集合之间的关系,

我们说事件圆E,〃包含事件G,记作ZQG,QG,冷G,且〃=G.

⑶如:G和G；G和G等等.

3、古典概型

一、选择题

1.一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有

()

A.3种B.4种

C.6种D.12种

C［用1,2,3表示小说的三册，则样本点有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),

⑵3,1),(3,1,2),(3,2,1),共6种.］

2.下列是古典概型的是()

A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点

B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为

样本点

C.从甲地到乙地共〃条路线，求某人正好选中最短路线的概率

D.抛掷一枚均匀硬币，首次出现正面为止

C［A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点

是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中

样本点既不是有限个，也不具有等可能性，故D不是.］

3.从｛1,2,3,4,5｝中随机选取一个数为a,从｛1,2,3｝中随机选取一个数为b,

则核a的概率是（）

D［设所取的数中力a为事件4如果把选出的数a,8写成一数对（a,6）

的形式，则试验的样本空间。=｛（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（5,1）,（5,2）,（5,3）｝,共15

个，事件/包含的样本点有（1,2）,（1,3）,（2,3）,共3个，因此所求的概率尸（4）

=15=5'J

4.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当

选的概率为（）

22

B-

A.5-O

C［从五个人中选取三人，则试验的样本空间。=｛（甲，乙，丙），（甲，

乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙,

丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊）｝,而甲、乙都当选的结

3

果有3种，故所求的概率为右.］

5.同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，两枚反面的概率等于（）

C［试验的样本空间。=｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）,

（反，正，正），（正，反，反），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）｝,

3

共8种，出现一枚正面，两枚反面的样本点有3种，故概率为々曰］

二、填空题

6.从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的

2件中恰有1件是次品的概率是.

1［设3件正品为4B,G1件次品为〃从中不放回地任取2件，试验的

样本空间。={(4，B),(4。，(A,力,(B,。，(8,〃)，(。，功},共6个.其

中恰有1件是次品的样本点有：(4。)，(8,〃)，C。)，共3个，故—数3万1］

7.在国庆阅兵中，某兵种4B,。三个方阵按一定次序通过主席台，若先

后次序是随机排定的，则3先于4。通过的概率为.

1［用(4B,。表示/,B,C通过主席台的次序，则所有可能的次序有(4

O

B,。，(A,C,S,(B,A,(B,QA),(C,A,而，(C,B,A),共6种，

2

其中6先于4。通过的有(8a4和(840,共2种，故所求概率片展=

6

8.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是.

1［从5个数中任意取出两个不同的数，样本点的总数为10,若取出的两

数之和等于5,则有(1,4),(2,3),共有2个样本点，所以取出的两数之和等于

21

5的概率为行=E.］

三、解答题

9.某种饮料每箱装6听，其中一箱有2听不合格，质检人员依次不放回地

从该箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率.

［解］只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品.分为两

种情况：1听不合格和2听都不合格.设合格饮料为1,2,3,4,不合格饮料为5,6,

从6听中选2听的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),

(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种.有1

听不合格的有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共

O1

8种；有2听不合格的有(5,6),共1种，所以检测出不合格产品的概率为*=

10

3

10.某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层

随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.

(1)求应从初级教师、中级教师、高级老师中分别抽取的人数；

(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分

析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率.

［解］(1)由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽

取的人数分别为3,2,1.

(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为4,A2,4.2

名中级教师分别记为4,4,高级教师记为4,则从中抽取2名教师的样本空间

为Q—{(4,4),(4,4),(4,4),(4,4),(4,4),(A>,4)，(4,4)，

(4,4),(4,4),(4,4),(4,4)，(4,4),(4,4),(4,4)，(4,4)})

即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师(记为事件面的样本点为

(4,Az),(4,4),(&A),共3种.

31

所以P⑦=—=-

155

11.有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9(cm),从中任取三根，能搭成三

角形的概率是()

D［设取出的三根木棒能搭成三角形为事件4试验的样本空间

{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),

⑶5,7),(3,5,9),⑶7,9),(5,7,9)},样本空间的总数为10,由于三角

形两边之和大于第三边，构成三角形的样本点只有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)

3

三种情况，故所求概率为尸C4)=而」

12.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是

11

B1

A.6-4-

1-1

-D

C.32-

D［设两位男同学分别为a,b,两位女同学分别为c,d,四人随机站成一

歹I」，试验的样本空间Q={abed,abdc,aebd,aedb,adbc,adeb,bacd,badc,

bead,beda,bdac,bdca,cabd,cadb,cbad,cbda,edab,edba,dabc,dacb,

dbac,dbea,dcab,dcSa}共24个，其中表示两位女同学相邻的样本点有：a6cd,

abdc,aedb,dcab,deba,bacd,badc,beda,bdca,edab,cdba,adeb,共

12个，故所求的概率为12首与1］

13.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则

2名都是女同学的概率等于.

|［用4B,。表示三名男同学，用a,b,c表示三名女同学，则从6名同

□

学中选出2人的样本空间0={4?,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Be,Ca,Cb,

Cc,ab,ac,be］,其中事件”2名都是女同学”包含样本点的个数为3,故所求

的概率为七3="1.］

155

14.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和

3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为.

9

7［设袋中红球用a表示，2个白球分别用b\,4表示，3个黑球分别用

o

Q,表示，则试验的样本空间0={(a,b),(a,㈤，(a,。)，(a,Q),(a,

Q)>(b1,bi)，(bi.Ci)，(瓦,C2)，(bi,Q)，Ci)>(bi,Q)，cJ，(a,

C2),(Q,C3),(C2,C3)},则样本空间的总数为15个.两球颜色为一白一黑的

样本空间有(仇，G),(仇，◎),(仇，C3),(b),a),(b,,Q),优，c：J,共6

个..•.其概率为4=1」

155

15.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，

标号为1的小球1个，标号为2的小球〃个.已知从袋子中随机抽取1个小球，

取到标号是2的小球的概率是小

(1)求〃的值；

(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a,

第二次取出的小球标号为，.记事件4表示“a+6=2”，求事件力的概率.

［解］(1)由题意可知：,,=1,

l+1+n2

解得n=2.

(2)不放回地随机抽取2个小球的样本空间0={(0,1),(0,2),(O,2J,

(1,0),(1.2,),(1,2。，⑵0),⑵」)，⑵2),⑵。，⑵［),⑵2)}，共

12个，事件/包含的样本点为：(0,2),(0,22),(2,,0),⑵,0),共4个..,/(4

=12=3'

4、古典概型的应用1

一、选择题

1.某射手的一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别为0.20,0.30,0.10.

则此射手在一次射击中不够8环的概率为()

A.0.40B.0.30

C.0.60D.0.90

A［不够8环的概率为1-0.20-0.30-0.10=0.40.］

2.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%,甲不输的概率是90%,则甲、乙

两人下和棋的概率是()

A.60%B.30%

C.10%D.50%

D［“甲获胜"与''甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜

或甲、乙下成和棋”，故尸（甲不输）=尸（甲胜）+产（甲、乙和棋），...尸（甲、乙和

棋）=尸（甲不输）一以甲胜）=90%-40%=50%.］

3.从分别写有4B,C,D,£的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字

母按字母顺序恰好是相邻的概率为（）

B［试验的样本空间Q={AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,困,

共有10个样本点，其中事件“这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的”

42

包含4个样本点，故所求的概率为亲=、］

4.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克

木，木克土，土克水，水克火，火克金.”从五种不同属性的物质中随机抽取两

种，则抽取的两种物质不相克的概率为（）

C［试验的样本空间。={金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土，

水火，水土，火土},共10个样本点，事件“抽取的两种物质不相克”包含5

51

个样本点，故其概率为m=万］

5.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a,再由乙猜

甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为6,其中a,8G{1,2,3,4,5,6},若a=b

或a=6—1,就称甲、乙“心有灵犀”，现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心

有灵犀”的概率为（）

71

-

A.B.4

36

C［由于甲、乙各记一个数，则样本点总数为6X6=36个，而满足a=b

或a=8-1的共有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(2,3),

(3,4),(4,5),(5,6),共11个..♦.概率

36

二、填空题

6.甲、乙两人打乒乓球，两人打平的概率是］乙获胜的概率是1则乙

Ci0

不输的概率是.

5115

7［乙不输表示甲、乙打成平局或乙胜，故其概率为］

0oz0

7.从集合4={—3,-2,—1,2}中随机选取一个数记为A,从集合8={—

2,1,2}中随机选取一个数记为力，则A>0,力0的概率为.

［［根据题意可知，总的样本点(4,8)共有4X3=12个，事件“k〉0,力0”

包含的样本点有(2,1),(2,2),共2个，根据古典概型的概率计算公式可知所求

21

概率为］

8.如图所示，a,b,c,d,e是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两

个，则电路接通的概率是.

［“任意闭合其中的两个开关”所包含的样本点总数是10,“电路接

3

通”包含6个样本点，所以电路接通的概率

5

三、解答题

9.学校射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如表：

命中环数10环9环8环7环

概率0.320.280.180.12

求该选手射击一次.

(1)命中9环或10环的概率；

(2)至少命中8环的概率；

(3)命中不足8环的概率.

［解］记”射击一次，命中A环”为事件46=7,8,9,10).

(1)因为4与4。互斥，所以—(4+4。)=P(4)+尸(4。)=0.28+0.32=0.60.

(2)记“至少命中8环”为事件6,8=4+4+4。，又4,4,4。两两互斥，

所以尸㈤=尸(4)+尸(4)+尸(4。)=0.18+0.28+0.32=0.78.

(3)记“命中不足8环”为事件C.则事件C与事件8是对立事件.

所以尸(0=1一2(③=1—0.78=0.22.

10.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记

的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的

数字依次记为a,b,c.求：

(1)“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；

(2)“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.

［解］(1)由题意知，试验的样本空间。={(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),

(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),

(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),

(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3)},

共27个样本点.

设”抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件4={(1,1,2),

31

(1,2,3),(2,1,3)},共3种.所以尸(心=药=§.因此，“抽取的卡片上的数

字满足a+b=cn的概率为去

(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件员则事件下包

—38

括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.所以尸(0=1一P(8)=1一荷=a

O

因此，“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为歹

11.掷一个骰子的试验，事件力表示“小于5的偶数点出现”，事件△表示

“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件4+8发生的概率为（）

2142

c［掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意/（/）=、=『m

63b3

—21—

所以/（8）=1一—㈤=1一鼻=可，因为3表示“出现5点或6点”的事件,

———112

因此事件力与B互斥,从而P（A+6）=尸（⑷+尸（B）=-+-=-］

OOO

12.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3

O

次，则⑹是下列哪个事件的概率（）

A.颜色全同B.颜色不全同

C.颜色全不同D.无红球

B［试验的样本空间。=（黄黄黄，红红红，白白白，红黄黄，黄红黄，黄

黄红，白黄黄，黄白黄，黄黄白，黄红红，红黄红，红红黄，白红红，红白红,

红红白，黄白白，白黄白，白白黄，红白白，白红白，白白红，黄红白，黄白红,

红黄白，红白黄，白红黄，白黄红）,共包含27个样本点，事件“颜色全相同”

OIOO

包含3个样本点，则其概率为万=§=1一§,所以§是事件“颜色不全同”的概

率.］

13.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1

4

名女生的概率为‘那么所选3人中都是男生的概率为

5

1

5-［设4={3人中至少有1名女生},8={3人都为男生},则4、6为对立

事伟

•••尸㈤―/

14.如果事件4与8是互斥事件，且事件力+6发生的概率是0.64,事件8

.

为

率

生的概

件A发

，则事

的3倍

概率