2023年中考数学重难点06 几何类综合问题

重难点06几何类综合问题

命题趋势

几何综合题是中考数学中的重点题型，也是难点所在.几何综合题的难度都比较大，所占分值也比较

重，解答题数量一般有两题左右，其中一题--般为三角型、四边形综合：另一题通常为圆的综合；它们在

试卷中的位置一般都在试卷偏后的位置.只所以几何综合题难度大，学生一般都感觉难做，主要是因为这

种类型问题的综合性较强，涉及的知识点或者说考点较多，再加上现在比较热门的动态问题、最值（范围）

问题、函数问题，这就导致了几何综合题的难度再次升级，因此这种题的区分度较大.所以我们一定要重

视平时多培养自己的综合运用知识的能力，从不同的角度，运用不同的知识去解决同一个问题.

满分技巧

i.熟练掌握平面几何知识：要想解决好有关几何综合题，首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识，

尤其是要重点把握三角形、特殊四边形、圆及函数、三角函数相关知识.几何综合题重点考查的是关于三

角形、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）、圆等相关知识.

2.掌握分析问题的基本方法：分析法、综合法、“两头堵”法：

1）分析法是我们最常用的解决问题的方法，也就是从问题出发，执果索因，去寻找解决问题所需要的条件，

依次向前推，直至已知条件；例如，我们耍证明某两个三角形全等，先看看要证明全等，需要哪些条件，

哪些条件已知了，还缺少哪些条件，然后再思考要证缺少的条件，又需要哪些条件，依次向前推，直到所

有的条件都已知为止即可.

2）综合法：即从已知条件出发经过推理得出结论，适合比较简单的问题；

3）“两头堵”法：当我们用分析法分析到某个地方，不知道如何向下分析时，可以从已知条件出发看看能

得到什么结论，把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略.

3.注意运用数学思想方法：对于几何综合题的解决，我们还要注意运用数学思想方法，这样会大大帮助我

们解决问题，或者简化我们解决问题的过程，加快我们解决问题的速度，毕竟考场上时间是非常宝贵的.常

用数学思想方法：转化、类比、归纳等等.

限时检测

限时检测1:最新各地模拟试题（90分钟）

1.（2023•浙江宁波•校考一模）如图,。的直径A8,垂直平分。4,AB延长线上一点E,OE交圆O

于凡且E尸=Q4.弦。〃交OC于G,满足G£>2=GOXGE,5ADWF-5ADC£=2A/3,AC长为（）

C.2D.2百

2.（2023•辽宁丹东•校考一模）如图，等腰.MC中，CA=CB=4,ZACB=120°,点O在线段A8上运动（不

与A、8重合），将..CW与△CB。分别沿直线C4、CB翻折得到,CAP与△C8Q,给出下列结论:

①8=CP=CQ；②△PC。面积的最小值为生叵；③当点。在A8的中点时，.P。。是等边三角形;

5

④当PQJ.8Q时，的长为生叵；其中所有正确结论的序号是（）

3

C.①②④D.①②③④

3.（2022•广东深圳•深圳市宝安中学（集团）校考三模）如图，在正方形ABC。中，E是线段CD上一点,

连接AE,将AAOE沿AE翻折至AAE凡连接8尸并延长B尸交AE延长线于点P,过点E作EMLPB于M.已

知PF=6,BF=2.其中正确结论的个数有（）

①NAPF=45°@ZEFP=ZFBC③④——=0+1

A.1B.2C.3D.4

4.（2023•安徽滁州•校考一模）如图，已知菱形A8CQ的边长为2,对角线AC、3。相交于点。点M,N

分别是边3C、8上的动点，ZBAC=ZAMAT=60°,连接MM.以下四个结论正确的是（）

①.A脑V是等边三角形；②MN的最小值是6；③当MN最小时%丽=卜变形Ass；④当QMLBC时,

O

ON=DNAB.

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

5.（2022.湖北黄冈•统考模拟预测）如图，在正方形48。中，AB=2.G为对角线8。的延长线上一点，E

为线段C。的中点，BF1AE,连接OF.已知/D4G=15。，其中结论正确的是（）

®AG=BD；②BFf；③?;④S4P0F：；⑤若E点为线段CD上一动点，当AE=EC+C。时，AQ=4.

OA33

A.①②③④B.①②④C.②③⑤D.©©⑤

6.（2022・四川达州・统考二模）如图，正方形ABCD中，AO=4,点E是对角线AC上一点，连接。E,过点

E作EFLED,交AB于点尸，连接。儿交4c于点G,将AEFG沿E尸翻折，得到△EFM,连接。例，交

EF于点、N,若点尸是AB的中点，则下列说法中：①FG=处;②CE=丘;③ME=^•，④MN=巫,其

336

中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.（2022.江苏无锡•统考一模）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根

据定义：①等边三角形一定是奇异三角形：②在R/AABC中，NC=90。，AB=c,AC=b,BC=a,且

若RAABC是奇异三角形，则a：b：c=l：/：2；③如图，AB是（DO的直径，C是。O上一点（不与点A、

8重合），。是半圆AQB的中点，C、。在直径A3的两侧，若在。。内存在点E,使AE=AO,CB=CE.则

△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当AACE是直角三角形时，ZAOC=120°,其中，说法正确的有（）

C.②④D.③④

8.（2022・广东深圳•深圳市宝安中学（集团）校考模拟预测）如图，已知正方形ABC。，E为边BC上一个动

点（E点不与8、C重合），尸为BC延长线上的一个动点，且有BE=CF,AE交BD于H,连接。凡过尸作

于G,连接AG、EG,则下列结论：①四边形AEF。为菱形；®AG=EG；③当E为2c中点时,

tanNBGE=；；④当与色=!时，]型”=].其中正确的有____________

2EC23M的〉

9.（2023•山东日照・日照市新营中学校考一模）如图，在边长为8的正方形A8C3中，点。为正方形的中心,

点E为边上的动点，连接OE,作O产，OE交8于点儿连接EF,P为EF的中点，G为边CD上一点,

且CD=4CG,连接PAPG,则24+PG的最小值为.

'B

10.（2023•广东深圳•校考模拟预测）如图所示，ZACB=60°,半径为2的圆O内切于/ACS,尸为圆。上

一动点，过点P作尸用、PN分别垂直于NACB的两边，垂足为M、M则PM+2RV的最大值___________.

11.（2023•广东深圳•模拟预测）如图，ABC为等腰直角三角形，。为AB中点，E、尸分别为AC、BC上

EM=

的点且满足。尸_L£>E,己知AE=2,CE=5,M为8c上一点，连接用E,月一满足NCME=2NA£>£,则

12.（2023•福建福州•福建省福州屏东中学校考一模）如图，在正方形4BCO中，对角线AC,8。相交于点

O,/是线段。。上的动点（点尸不与点。，。重合），连接CF,过点尸作尸G_LCF分别交AC,A3于点

H,G,连接CG交8。于点M,作OE8交CG于点E,EF交AC于点、N.有下列结论：①当BG=BM时,

AG=叵BG;②CN=BM'+DF?；®ZGFM=ZGCHCF2=CNBC;④"=空.其中正确的是

OMOC

（填序号）.

13.（2022•江苏宿迁•统考一模）如图1,已知矩形A8CD的边长A8=3cm,BC=6cm.某一时刻，动点M

从点A出发，沿以lcm/s的速度向点B匀速运动：同时点N从点。出发，沿D4方向以2cm/s的速度向

点A匀速运动，点N运动到点A时停止运动，运动时间为人

rBcB

图1图2

(1)若。AW是等腰直角三角形，则/=(直接写出结果).

(2)是否存在时刻使以A、M、N为顶点的三角形与,ACD相似？若存在，求f的值，若不存在，请说明理

由.(3)如图2,连接CN、CM,试求CN+2CN的最小值.

14.(2022•黑龙江哈尔滨•统考三模)己知：直线E4切。于点A,点8、点C为。上的点，连接他、BC、AC.

图3

(1)如图1,求证：ZM5=ZC；(2)如图2,连接OC,点。为弧4c上一点，连接3D,连接AC交8。于

点E,连接AO,BD交OC于点H,NFAE=ZAEB,求证：BH=DH；

⑶在(2)的条件下，在射线E4上取点。，使AQ=8£>,连接A。、QD,点P为AB中点,连接尸。，若

HC=6OH,AP=6,ZADQ=ZAPD,求弦BO的长.

DP1

15.(2023・安徽合肥・统考一模)已知四边形ABCD,ABCD,AC,BZ)相交于点P,且ZAPB=90。，诟=5,

设AB=c,BC=a,AD=b.（1）①如图1,当NAB£＞=45°时，c=2应时，«=;b=；

②如图2,当Z/应＞=30。时，c=4时，«=；b=；

（2）观察（1）中的计算结果，利用图3证明b：,2三者关系.（3）如图4,在平行四边形ABC。中，点E,

F,G分别是ADBC,CD的中点，BEVEG,AD=2由,AB=y/l,求"的长.

图4

16.（2022.广东深圳•南山实验教育麒麟中学校联考模拟预测）解答题

（1）如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,AD上的两点，连接DE,CF,若DELCF,则一

CF

的值为；（2）如图2,在矩形ABC。中，AD=7,8=4,点E是AD上的一点，连接CE,BD,

若CELBD,则芸CF的值为_________；

BD

【类比探究】（3）如图3,在四边形A8C£＞中，NA=/8=90。，点E为A8上一点，连接DE,过点C作OE

的垂线交距的延长线于点G,交的延长线于点F,求证：DEAB=CFAD

【拓展延伸】（4）如图4,在山△ABO中，N/MZ）=90°,AD=9,AB=3,将△"£＞沿8。翻折，点A落在

点C处，得到△&?£＞,点E,尸分别在边A8,上，连接OE,CF,若QELCF,则=的值为

图1

17.（2022•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测）三角形ABC内接于。。，点。为。。上一动点，连接4。、BD、

CD,AB=AC.（1）当点。在弧AC上时，求证：2NAD3+N3〃C=180。；（2）当点。在弧8c上时，若BO+

CD=AD,求证：A48C为等边三角形；（3）在（2）的条件下，设A。、8c交于点F,点M为AF的中点,

弦QH经过点M,与BC交于点K,若NDMH=30。,BF=5,FK=35,求8。的长.

18.（2022•河南郑州•河南省实验中学校考模拟预测）【问题情境】：

数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1,已知矩形纸片4?CQ（AQ>M）,其中宽

A8=8.（1）【动手实践】：如图1,威威同学将矩形纸片A8CD折叠，点A落在BC边上的点“处，折痕为

BN,连接MN,然后将纸片展平，得到四边形制加，则折痕8N的长度为.

（2）【探究发现】：如图2,胜胜同学将图1中的四边形剪下，取AN边中点E,将一ABE沿8E折叠

得到ABE，延长胡'交MN于点尸.点。为边的中点，点?是边MN上一动点，将△MQP沿PQ折叠，

当点〃的对应点落在线段BF上时，求此时tan/PQM的值；

（3）【反思提升】：明明同学改变图2中。点的位置，即点。为BM边上一动点，点?仍是边MN上一动点，

按照（2）中方式折叠△MQP,使点AT落在线段所上，明明同学不断改变点。的位置，发现在某一位置

NQPM与（2）中的NPQM相等，请直接写出此时8。的长度.

图1图2备用图

19.（2022•黑龙江・统考三模）综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小

动物、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中，既可以得到一些美丽的图

形，同时还蕴含着丰富的数学知识.

如图①，在矩形纸片48。中，AB=12,A£>=8.

活动一：（1）如图②，折叠矩形纸片ABCC,使点A落在点C处，点。落在点力处，展开得到折痕EF交AB

边于点E,交CD边于点F,则EF=；活动二：（2）如图③，连接图②中的4c交EF于点。，连接

AF.猜想四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的猜想；活动三：（3）如图④，折叠矩形纸片A8C£>,

使点A落在8C边的中点A处,点。落在点D处,展开得到折痕EF交AB边于点E,交C。边于点F,则BE=

,tanZAEB=；活动四：⑷如图⑤,若点A落在靠近点B的BC的四等分点A处，即A'B=2,

则,G"尸与相似吗？若相似，请直接写出相似比；若不相似，请说明理由.

图①图②

20.（2022•四川绵阳•统考三模）如图1,在矩形48C。中，AB=8,BC=6,动点E从点A出发沿线段A8

以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点B时停止，在运动过程中，经过A、力、E三点的。。交线段

8。于点K,交线段CQ于点儿将ZSAOE沿QE翻折得到AGOE.（1）求证：四边形是矩形；（2）当点

G恰好落在点K处时，求线段HG的长；（3）如图2,连接4G交。E于点尸，并延长AG交NGOC的平分线

于点R，设点E运动的时间为/（0々<8）秒，ABCR的面积为5,求S关于时间/的函数关系式.

图1图2

4

21.（2022.河北保定•统考模拟预测）如图1、2,在YABCD中，回=10,AD=15,tanZBAD=~,

在AO上由点A向点。运动，过点”在A£>的右侧作连接Q4,PD,使NMPA=NBAD,经过

点A,M,P作Q.（1）如图1,若4M=4,则阴影部分的面积为（结果保留兀）；（2）在点M移动

过程中，加与「用的比是否为定值？如果是，求出这个比值；如果不是，请说明理由.并求当。与OP相

切时A"的长；（3）如图2,当△APD的外心。在A例尸的内部时（包括边界），求在点M移动过程中，点。

经过的路径的长；（4）当为等腰三角形，并且线段尸。与0相交时•，直接写出；。截线段尸。所得弦

333

长.（参考数据：sin49°»—,cos41°«—,tan370®—）

444

22.（2022•湖北襄阳•统考一模）特例发现：如图1,点E和点尸分别为正方形ABC。边8c和边C。上一点，

当CE=CF时，则易得3E=，BE1OF.（1）深入探究：如图2,点E为正方形A8C。内一点，且ZECF=90°,

CF=CE,点E,尸在直线CQ的两侧，连接EF,BE,DF,探究线段与。尸之间的关系，并说明理由；

（2）类比探究：如图3,在矩形ABCD中，AB：8C=1：2,点E在矩形ABC。内部，ZECF=90。，点、E,

F在直线BC的两侧，CE：CF=\：2,连接E尸，BE,DE,BF,DF.请探究线段£）E,8尸之间的关

系，并说明理由：（3）拓展运用：若（2）中矩形ABCD的边AB=3,Rt的边CE=1,当=尸时，

求BF的长.

23.（2022.浙江丽水•统考一模）如图，两个正方形ABC。与EFG”,AD与"的中点都是0.

（D如图1,点。与G重合.①求▼的值；②连结5”,求tanNABH的值.（2）如图2,若AB=EF=8,在

EF

正方形EFG"绕点。旋转过程中，以E,C,目为顶点的三角形能否是等腰三角形？若能，直接写出该三

角形面积；若不能，说明理由.

24.（2022・上海青浦•统考二模）梯形ABC。中，AD,于点C,A8=10,tan8=g4,01以AB为

直径，。2以为直径，直线与。交于点M,与。2交于点N（如图），设AD=x.（1）记两圆交

点为E、F（E在上方），当E尸=6时，求x的值；（2）当I。2与线段交于P、。时，设「。=丫，求V关

于x的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AM,线段AM与。2交于点G,分别连接NG、O2G,若AGMN

与AGN。?相似，求x的值.

25.（2021・重庆一模）矩形ABC。中.ZADB=30°,AAEF中，ZAFE=90°,ZAEF=30°,AE=-BD.连

2

接EC,点G是EC中点.将△AEF绕点A顺时针旋转a（0°<a<360°）.

（1）如图1,若A恰好在线段CE延长线上，8=2,连接FG,求FG的长度;

(2)如图2,若点F恰好落在线段EC上，连接BG.证明：2(GC-GB)=&OC；

(3汝口图3,若点尸恰好落在线段BA延长线上,M是线段BC上一点,38M=CM,P是平面内一点,满足NMPC

=NDCE,连接PF,已知CC=2,求线段PF的取值范围.

图3

26.(2022•辽宁辽阳•一模)如图，正方形A8CZ)和正方形CEFG(其中BO>2CE),直线BG与OE交于点H.(1)

如图1,当点G在CD上时，请直接写出线段BG与OE的数量关系和位置关系；

(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周.①如图2,当点E在直线CO右侧时，求证：BH-DH=y/2CH;

②当NQEC=45。时，若AB=3,CE=\,请直接写出线段QH的长.

27.(2022•黑龙江齐齐哈尔・统考二模)综合与实践：数学课外小组研究了两个问题，请你帮助解答.

问题一：如图1,在矩形A8C。中，AB=6,A£>=8,E,尸分别为AB,AD边的中点，四边形AEGF为矩

形，连接CG.

问题二:数学小组对图形的旋转进行了拓展研究,如图4,在平行四边形ABCD中，/8=60。，A8=6,4)=8,

E,尸分别为A8,A。边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接CG.数学小组发现CF与CG仍然存在

着特定的数量关系.（1）请直接写出CG的长是.如图2,当矩形4EG尸绕点A旋转（如顺时针旋转）

至点G落在边AB上时，DF=,CG=,。尸与CG之间的数量关系是.（2）当矩形AEGF

绕点A旋转至如图3的位置时，（1）中。F与CG之间的数量关系是否还成立？并说明理由.

（3）如图5,当平行四边形ABC。绕点A旋转（如顺时针旋转），其它条件不变时，数学小组发现CF与CG

仍然存在着这一特定的数量关系.请你直接写出这个特定的数量关系是.

28.（2022•河北石家庄•统考二模）如图1,在矩形ABC。中，E,F,G分别为边BC,AB,AO的中点，连

接。凡EF,，为。尸的中点，连接GH,将ABE/绕点B旋转.

（1）当ABEF旋转到如图2所示位置，且AB=BC时，猜想G4与CE之间的关系，并证明你的猜想.（2）已

知AB=6,8C=8,①当aBE尸旋转到如图3所示位置时，猜想GH与CE之间的数量关系，并说明理由.②

射线G”，CE相交于点。，连接BQ,在旋转过程中，BQ有最小值，请直接写出BQ的最小值.

29.（2022•山东青岛•一模）已知，如图1,在四边形ABC。中，AD//BC,N88=90。,AD=CD=6,tanB=3,

动点P从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC方向运动，过点P作交折线于点E,

以PE为斜边向右作等腰直角三角形PEF,设点P的运动时间为，秒（/>0）

（1）当f为何值时，点尸恰好落在C。上？（2）若尸与C重合时运动结束，在整个运动过程中，设等腰直角三

角形PEF与四边形ABC。重叠部分的面积为S,请求S关于f之间的函数关系式；（3）当下在CZ）右侧时，是

否存在某一时刻，使得重叠部分的面积S与四边形ABC。重叠部分的面积比为1：8?若存在，求出f的值；

若不存在，请说明理由；（4）如图2,在点P开始运动时，8c上另一点。同时从点C出发，以每秒2个单位

长度的速度沿CB方向运动，当。到达8点时停止运动，同时点尸也停止运动，过点Q作。交射

线C4于点M,以QM为斜边向左作等腰直角三角形QMN,若两个等腰直角三角形分别有一条边恰好在一

条直线上，请直接写出，的值.

30.（2022・重庆・重庆实验外国语学校校考一模）已知，正方形ABC。中，M、N分别为A。边上的两点，连

接8M、C7V并延长交于一点，，连接A4,E为上一点，连接4E、CE,/ECH+NMNH=90。.

（1）如图1,若E为的中点，且。M=3AM,AE=叵,求线段AB的长.

2

（2）如图2,若点尸为BE中点，点6为（7/延长线上一点，ELEG//BC,CE=GE,求证：CF+*AH=BH.

2

（3）如图3,在（1）的条件下，点P为线段AO上一动点，连接8尸，作CQ_LBP于Q,将ABCQ沿8c翻折

得到△BC7,点K、R分别为线段8C、8/上两点，且B/=3R/,BC=4BK,连接CR、/K交于点7,连接BT,

直接写出ABCT面积的最大值.

H

图3

限时检测2：最新各地中考真题（90分钟）

1.（2022•湖北黄冈•中考真题）如图，在矩形A8CD中，AB<BC,连接4C,,c为圆心，大于！

AC的长为半径画弧，两弧交于点M,N,直线分别交A。，BC于点E,F.下列结论：①四边形AECF

是菱形；②NAFB=2NACB；③AGEF=CF,CD；

④若A尸平分NB4C,则C『=2BF.其中正确结论的个数是（)

A.4B.3C.2D.1

2.（2022•黑龙江•中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC,相交于点。，点尸是CQ上一

点，OELO尸交8c于点E,连接AE,BF交于点P,连接OP.则下列结论：®AELBF；②NOR4=45。；

4

③AP-BP=M";④若BE:CE=2:3,则tan/CAE=,；⑤四边形OECF的面积是正方形ABC。面积的

其中正确的结论是（）

4

A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤

3.（2022・四川达州•中考真题）如图，在边长为2的正方形A6CO中，点E,F分别为AO,C。边上的动点

（不与端点重合），连接BE,BF,分别交对角线AC于点P,点E,尸在运动过程中，始终保持/EBF=45。,

连接EF,PF,PD.以下结论：①PB=PD；②NEFD=2NFBC；@PQ=PA+CQi④ZXBPF为等腰直

角三角形；⑤若过点B作垂足为4,连接则£>〃的最小值为2&-2.其中所有正确结论

的序号是—.

B

4.（2022・四川南充・中考真题）如图，正方形ABCO边长为1,点E在边A8上（不与A,B重合），将

沿直线OE折叠，点4落在点H处，连接A8,将A8绕点B顺时针旋转90。得到48,连接44AC&C.给

出下列四个结论：①△4网且△C%；②NADE+NACB=45。；③点P是直线OE上动点，则CP+AP的

最小值为血;④当加厄=30。时，A2E的面积上史.其中正确的结论是.（填写序号）

%EB

5.（2022•山东泰安・中考真题）如图，在正方形ABC。外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作的垂

线交DE于点P.若4E=AP=1,PB=y[5.下列结论：①△AP。丝ZVIEB；②点2到直线4E的距离为应；

③£B_LE£＞；®SAAPD+SAAPB^\+46;正方形ABCK4+限.其中正确结论的序号是.

6.（2022・湖北宜昌•中考真题）己知，在,A8C中，ZACfi=90°,BC=6,以BC为直径的。。与A3交于

点H,将ABC沿射线AC平移得到二D£F,连接8E.

⑴如图1,DE与。相切于点G.①求证：BE=EG；②求的值；

（2）如图2,延长〃0与，。交于点K,将二DEF沿QE折叠，点F的对称点尸恰好落在射线班上.

①求证：HK〃EF'；②若KU=3,求AC的长.

7.（2022•湖北荆州•中考真题）如图1,在矩形ABCZ）中，A8=4,AO=3,点O是边A3上一个动点（不与

点A重合），连接OD,将△OAO沿0。折叠，得到△OEZ）；再以。为圆心，04的长为半径作半圆，交射

线A8于G,连接AE并延长交射线BC于F,连接EG,设

（1）求证：DE是半圆。的切线；（2）当点E落在8。上时，求x的值：（3）当点E落在8。下方时，设△4GE

与AA/B面积的比值为y,确定），与x之间的函数关系式；（4）拿军号此当半圆。与ABC。的边有两个交

点时，x的取值范围.

3

8.（2022.浙江金华・中考真题）如图，在菱形A8CO中，AB=10,sinB=-,点E从点8出发沿折线8-C-3

向终点。运动.过点E作点E所在的边（8。或。£＞）的垂线，交菱形其它的边于点F,在EF的右侧作矩

形EFGH.（1）如图1,点G在AC上.求证：E4=FG.（2）若EF=FG,当E尸过AC中点时，求AG的长.（3）

己知FG=8,设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G,C,”为顶点的三角形与样相似（包

括全等）？

9.（2022・广东深圳•中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形ABCO中，E为4）边上一点，将△码

沿8E翻折到.8EF处，延长E尸交C。边于G点.求证：ABFGmABCG

（2）【类比迁移】如图②，在矩形ABCD中，E为AO边上一点，且=8,AB=6,将“EB沿BE翻折到_BEF

处，延长EF交8c边于点G,延长BF交CO边于点H,且FH=CH,求4E的长.

（3）【拓展应用】如图③，在菱形A8CO中，E为C。边上的三等分点，/。=60°,将±10£沿/^翻折得到

△AFE,直线EF交BC于点P,求C尸的长.

备用2

10.（2022・北京・中考真题）在平面直角坐标系xQy中，已知点对于点/>给出如下定义：将点尸向

右（a20）或向左（“<0）平移同个单位长度，再向上S20）或向下“<0）平移例个单位长度,得到点p'，点p，

关于点N的对称点为Q,称点。为点P的“对应点”.

⑴如图，点"（1』）,点N在线段QM的延长线上，若点P（-2,0）,点。为点尸的“对应点”.

①在图中画出点Q；②连接PQ,交线段ON于点「求证：NT=>OM;

2

(2)。的半径为1,M是一。上一点，点N在线段0M上，且ON=r(g<r<l),若P为CO外一点，点。为

点尸的“对应点”，连接尸Q.当点M在。上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含f的式子表

示)

II.(2022•湖南岳阳•中考真题)如图，ABC和一。BE的顶点8重合，ZABC=ZDBE=90°,

/BAC=/8DE=30。,BC=3,BE=2.(1)特例发现：如图1,当点D,E分别在AB,BC上时，可以得

An

出结论：黑=______，直线AO与直线CE的位置关系是______；(2)探究证明：如图2,将图1中的

CE

绕点B顺时针旋转，使点。恰好落在线段AC上，连接EC,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；

若不成立，请说明理由；

(3)拓展运用：如图3,将图1中的.D8E绕点8顺时针旋转以19。<。<60。)，连接A£)、EC,它们的延长

线交于点尸，当。尸=BE时，求tan(6()o-a)的值.

图2

图3

12.(2022•四川乐山•中考真题)华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案.

2.如图，在正方形ABC。中，CE工DF.求证：CE=DF.

证明：设CE与。尸交于点O,

•.•四边形ABC。是正方形，

⑴【问题探究】如图，在正方形A8C。中，点E、F、G、”分别在线段AB、BC、CD、D4上，且EG，”.试

(2)【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，AB=m,BC=n,点E、F、G、H分别在线段48、BC、CD、

04上，且EG_L尸H.则一=______.

FH

(3)【拓展应用】如图，在四边形48co中，4MB=90。，ZABC=60°,AB=BC,点E、F分别在线段

CE

AB、AD.h,且CELBF.求一的值.

13.(2022.湖南长沙.中考真题)如图，四边形ABCD内接于O,对角线AC,8。相交于点E,点尸在边

AO上，连接EF.

ac

9o

A

AEDEAFFE

(1)求证：AABE^ADCE；⑵当DC=CB,NOEE=2NCO3时，则=~AB+~\D

BECE

111

----+--------------=.（直接将结果填写在相应的横线上）

ABADAF

⑶①记四边形ABC。，△ABEZXCDE的面积依次为S,£,S2,若满足点=咨+6■，试判断，XABEACDE

的形状，并说明理由.②当。C=CB，AB=mA£>=〃，8时，试用含机，小p的式子表示AE-CE.

14.（2022・湖南娄底•中考真题）如图，已知8Z）是放ABC的角平分线，点O是斜边A8上的动点，以点。为

圆心，。8长为半径的。经过点。，与。4相交于点E.

3

（1）判定AC与。。的位置关系，为什么？（2）若BC=3,CD=-,①求sin/OBC、sinNABC的值；

②试用sin/Z）BC和cosNDBC表示sinNABC,猜测sin2<z与sina,cosa的关系，并用（a=30。给予验证.

15.（2022•浙江宁波•中考真题）如图1,O为锐角三角形ABC的外接圆，点。在BC上，A£>交BC于点

E,点尸在AE上,满足NAFB-ZBFD=NACB,FG//AC交.BC于点、G,BE=FG,连结BD,DG.设NACB=a.

(1)用含&的代数式表示/3尸£).(2)求证：/\BDE冬AFDG.(3)如图2,")为。的直径.

①当A8的长为2时，求4c的长.②当0尸:0£=4:11时，求cosa的值.

图1图2

16.(2022•江西・中考真题)问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大

的直角三角板尸所(/2=90。,/尸=60。)的一个顶点放在正方形中心0处，并绕点O逆时针旋转，探究直角

三角板际与正方形A8CD重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2).

图一图二图三备