2022年高考数学名师押题预测全真模拟 突破卷（新高考全国Ⅰ卷）

绝密★启用前

【高考冲刺满分】2022年高考名师押题预测全真模拟卷（新高考全

国I卷）

数学

【高考大赢家•突破】逆袭高分名师卷（模拟卷）

（本卷共6页，22小题，考试时间：120分，试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必填写好自己的姓名、准考证考号等信息。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题

卡上。写在本卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个

选项中只有一个选项是符合题目要求的。

1.设集合A={xeN|04x49},8={-1,2,3,6,9,10},则）

A.{1,4,5,7,8}B.{0,1,4,5,7,8}C.0D.{2,3,6,9}

【答案】D

【分析】根据集合的交集概念运算即可.

【详解】解：依题意，A={0』,2,3,4,5,6,7,8,9},8={-1,2,3,6,9,10},

Ac8={2,3,6,9}.

故选：D.

2.己知复数z=2-3i,则R+l）i=（）

A.3-iB.-3+3iC.3+iD.-3+i

【答案】B

【分析】根据共朝复数的定义求出W=2+3i,进而利用复数运算法则进行计算.

【详解】解：由题意可知，z=2+3i,所以C+l）i=（3+3i）i=-3+3i.

故选：B

3.四棱锥P-ABCD的底面4BCD为正方形，平面平面ABC。，△PA8是边长为26

的等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（）

A.36万B.287rC.24乃D.12万

【答案】B

【分析】由平面网，平面ABC。，可推得以为邻边的矩形的另一顶点设为。是

四棱锥P-A3C。外接球的球心，利用勾股定理求出球的半径，代入球的表面积公式可得答

案.

【详解】解：连AC,加交于设A8中点E,连尸E,则尸石，面钻8,设。2是△PAB

的中心，目救=”,则以为邻边的矩形的另一顶点设为。，则。是四棱锥

P-ABC。外接球的球心

•.•△PAB边长为26

-**PE=3,:.O2E=l,01E=6.

：OE=2,•,・设外接球半径为A

则R=OB=JOE2+BE。=百+西猿="

S球表=4兀R?=28万

故选：B

【点睛】本题考查四棱锥外接球的半径与棱长的关系，球的表面积公式的应用，属于中档题.

4.在AABC中，|AB=£AC=2,若O为AABC内部的一点，且满足西+丽+反=0，则

AOBC=()

A.—B.—C.—D.一

2534

【答案】C

【详解】解：因为砺+通+无=6，所以。是AABC的重心；所以AO=1(AC+AB);>!.

BC=AC-AB,:.AOBC=^(AC+AB)(AC-AB)=|(|AC|2-画1号.故选C

5.已知圆M+。+)=3与圆=9(f,m,〃eR)相交于P,

Q两点(点M与点N在直线PQ两侧)，且归。=3,则(wT)(〃+r)的最大值是()

A.2GB.3正C.2瓜D.6

【答案】D

【分析】利用两圆相交已知弦长结合圆的半径能够求出圆心距，再利用两点间的距离公式可

得出圆心距，

最后利用基本不等式及可求解该问题.

【详解】解：如图所示，连接跖V交户。于点。，则可得MNLPQ且。为PQ的中点,

R

由题意可知，MQ=60Q=\QN=3,则

OM=QMQ2_0Q2=小_,=

2.

ON=ylQN2-OQ2=36

则MN=OM+ON=26,且MQ,T)N(m,〃)

MN=J(f_%J+(T_〃)2=25/3即(〃1_f)2+("+r)2=[2,

若(机-f)2=0或(“+1)2=(),则(mT)(〃+r)=0.

当(机一。2>0,(〃+f)2>0时，(m-t)2+(n+t)2=l2..2(m-t)(n+t)

B|J(m-f)(〃+/)<6,当且仅当Qw—)=("+r)时取等号，

所以(/T)(〃+。的最大值是6.

故选：D.

6.已知函数"x)=log“(x-2)-6(a>0且aHl)的图象经过定点4,且点A在角。的终

边上，贝叫3$皿。一28$6»)2-4=()

144八，23

A.—B.—C.5D.—

555

【答案】B

【分析】根据对数函数过定点，求出正切值，再由弦化切，即可求解.

【详解】解：〃力=1砥,(％-2)-6过定点(3,-6),点4在角夕的终边上，tan6=—2,

(3sin8-2cosej-4=9sin2^-12sin^cos<9+4cos26-4

=5sin^-12sin%os9=Ss.fsinM

siYO+cos*

_5tan20-12tan6>_20+24_44

tan?6+1——22+l-T-

故选：B.

7.过点尸(0,-1)有三条直线和曲线y=d+奴2+bx(6eR)相切，则实数”的取值范围是

()

A.(1,+<»)B.(3,3)C.(-<»,1)D.(-<»,3)

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义结合点斜式写出切线方程的表达式，并代入曲线

y=^+axi+bx(b^,得2£+ar：-l=0,则/(力=2/+”一有三个零点，讨论参数

即可求解结果.

【详解】解：设直线过点尸(O,T)且与曲线尸d+一+法相切，切点为(内芯+渥+法

由y=/+/+必得y'=3x2+2ax+b,，切线的斜率为3x：+2叫)+6,

切线方程为y+1=(3片+2ar0+b)x,；.4+ax：+6%+1=(3x：+2ax„+b)x(),

.•.2x；+ar：-l=0.设/(*)=2/+/_1,由题意，函数有三个零点.

f'(x)=6x2+2ax,由f'(x)=0得x=0,或x=-0.

当a=0时，函数〃x)只有一个零点，舍去；

当〃<0时，、>(),由7(力0,得x<0或x>q,由_f(x)<0,得0<x<-£

所以x=0是函数/(%)的极大值点，由于f(O)=-1<0,函数/(X)没有三个零点，舍去.

同理可得x=-］是函数/（x）的极大值点，由条件结合三次函数的性质得,

1>0,解得a>3.

故选：B

8.点（1,1）到直线M3cos6+4sine）-4=0的距离为（）

【答案】A

【分析】将直线的极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可求得结果.

【详解】解：将直线的极坐标方程化为普通方程可得3x+4y-4=0,

所以，点（1,1）到直线3x+4y-4=0的距离为d=：生4：-4=|•

故选：A.

二、多项选择题：本题共有4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四

个选项中有多选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有

选错的得0分。

9.甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，

乙箱中有4个红球,3个白球,2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中,分别以A,

4,A、表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B

表示取出的球是红球的事件，则（）

A.8与A相互独立B.A，为，4两两互斥

C.尸（B|4）=yD.P（B）=-

【答案】BC

【分析】根据独立事件的定义判断A,根据互斥事件的定义判断B,由条件概率公式计算出

概率判断C,由互斥事件与独立事件概率公式计算概率判断D.

【详解】解：事件A的发生与事件B的发生有影响，因此事件A的发生与事件B不独立，A

错；

4,4,4中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，B正确；

24

一X--

尸⑻4)=然=?<'。正确；

9

4524344

P(B)=P(BA)+P(BA)+P(BA,)=-x—+-X—+-x—=-,D错.

、9109109109

故选：BC.

10.一组样本数据%,马，…，毛的平均数为以亍*0),标准差为s.另一组样本数据

x„+1,x„t2,...(x2„,的平均数为3a标准差为s.两组数据合成一组新数据为马，•••，/，/+”,••，小

新数据的平均数为歹，标准差为S，，则()

A.y>2xB.y=2xC.sr>sD.sf=s

【答案】BC

【分析】由平均数与标准差的定义求解判断.

【详解】解：由题意亍="匕2=27,

2n

-2

2222

ns=(%1—x)+(x2—x)-\---F(xn—x)=nx,

*=i

同理〃s?=£x1-n-(3x)2=£x1-9nx

A="+lA=n+I

两式相加得2，一=£x；-10〃「，

k=\

2ns,2=£x：-2n，(2x)2=2年一8〃7,

1=1*=1

2r

所以2〃S'2>2ns,s>s.

故选：BC.

11.下列选项中，与sin(-330。)的值相等的是()

A.2cos215B.cos18cos420-sin180sin42

C.2sinl5sin75D.tan30+tan15+tan30tan15

【答案】BC

【分析】求出sin(-330。)的值以及各选项中代数式的值，由此可得出合适的选项.

【详解】解：sin(-330)=sin(360-330)=sin30=1.

对于A选项，2cos"5=2x=i+cos3(l=1+且；

22

对于B选项，cosl8cos42-sinl8sin42=cos(18+42)=cos600=2；

对于C选项，2sin15sin75=2sinl5sin(90-15)=2sinl5cosl5=sin30

对于D选项，tan45=tan(30+15)=tan3()“anlS=】，化简可得

')1-tan30tan150

tan30+tan15+tan30tan15=1.

故选：BC.

12.已知直四棱柱A8CO-A4GR的底面为正方形，M=&B=B尸为直四棱柱内一

点，且击=，〃福+“砺，其中mne[0,l],则下列说法正确的是()

A.当，时，三棱锥P-AC。的体积为定值

B.当”=；时，三棱锥尸-AC〃的体积为定值

C.当机+〃=1时，PA+PC的最小值为延

5

D.当〃z+2〃=l时，存在唯一的点P,使得平面皿＞_L平面PBC

【答案】ACD

【解析】对于A选项，Q,R分别为AB,AG的中点，连结0R,判断出点尸在线段QR上

运动，由Q?〃平面AC。，得到点P到面ACR的距离为定值，而△ACR的面积为定值，即

可判断；

对于B选项，

连结8G，设M,N分别为AR,SC；的中点，连结MM则判断出

点P在线段MN上运动，点P在点”时和N时到面AC0的距离不一样，故棱锥尸-ACA的

体积不为定值，即可判断；

对于C选项，连结BD,,判断出点P在线段上运动.连结CD,,将ABCR翻折到平面ABDt

内，得到四边形ABCR,解四边形，即可判断.

对于D选项，设M为AR的中点，连结8M,判断出P在线段8M上运动.设S为AA,的中

点，连结SM,连结BS,过尸作尸T〃SAf交8s于点T,判断出NA7B为二面角A-PT—B的

平面角，当ATLBS时，平面皿）_L平面PBC,即可判断.

【详解】解：对于A选项，

设Q，R分别为A8,的中点，连结。凡则QR〃AR.QR<z面ACQ,A〃u面ACQ,

所以QR〃平面4CR.

因为Q=利通+〃碣，其中MG[0,1],当机时，所以点尸在线段QR上运动，

QR〃平而ACA，所以点P到面4CR的距离为定值，而△AC。的面积为定值，因此三棱锥

P-AC。的体积为定值，故A正确；

对于B选项,

连结BG，设M,N分别为A。，8G的中点，连结MN,则MN〃AB.

因为7A月+〃西'，其中机w[O,l],ne[0,1],当"=；时，所以

点P在线段MN上运动，△ACR的面积为定值，点P在点M时和N时到面4cA的距离不一

样，故棱锥P-AC。的体积不为定值，故B错误；

对于C选项，

连结则由加+〃=1可知&P,"三点共线，故点P在线段3。上一运动.

连结3,将ABCR翻折到平面4股内，得到四边形ABC。，其中4?=5C'=1,

AD\=CD、=2,ABIAD,,BC'A.C'D,,连结AC',如图1,所以AC'=^-,

所以PA+PC=P4+PCbAC'=^，故C正确；

5

对于D选项,

设例为Aj的中点，连结8M,则丽=机通+"湎'=〃?通+2〃而，由，"+2〃=1知。在线

段8M上运动.设S为44的中点，连结SM,则SM〃A£>〃3C,连结8S,过P作尸T〃SM

交BS于点T,则易知PT为平面与平面P3C的交线，AT1PT,BT1PT,故N47B

为二面角A—PT-8的平面角，当力T_L3S时，平面外£)，平面P8C,且7点唯确定，

所以尸点也唯一确定.故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设函数〃x)=sin(x,则/⑴+/(2)+…+”2019)=.

【答案】6

【分析】先求出正弦型函数的最小正周期T=6,再由函数解析式分别求出了⑴，〃2),〃3)

的值，最后利用函数的周期性得出〃1)+/(2)+…+”2019)=/⑴+〃2)+〃3),计算后

即可得出结果.

【详解】解：由题可知/(x)=sin[x,则〃x)的最小正周期为7=丁=6,

33

“"⑴=*,〃2)=*'/(3)=0>/(4)=—/(5)=_曰，"6)=0,

了⑺-8)=/(2)，…，

.­./(1)+/(2)+-+/(2019)=/(1)+/(2)+/(3)=^.

故答案为：6

14.设函数/(x)=xcosx-sinx(0<x4;r),函数/"(x)的最小值是.

【答案】一兀

【分析】求导，求出单调性即可求出最小值.

【详解】解：由已知/(X)=cosx—xsinx—cosx=-xsinx,

vO<x<^-,

,r(x)<o,即函数y(x)在［0,句上单调递减,

f(x)mi|=/(乃)=%cos乃一sin乃=一万

故答案为：一".

15.已知抛物线的焦点为尸(0,-g),点P(1J)在抛物线上，则点P、/的距离为.

【答案】1

【分析】根据焦点可得抛物线的标准方程，将点P。/)代入可求出，，再利用焦半径公式即

可求解.

【详解】解：抛物线的焦点为尸则抛物线的标准方程为：x2=-2y,

因为点P(U)在抛物线上，所以1=—2f,解得，=-；,

所以|PF|=-g+5=g+3=l.

故答案为：1

【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、焦半径公式，需熟记抛物线的标准方程的四种形式，

焦半径公式，属于基础题.

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格

为20dmx12dm的长方形纸，对折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm两种规格的图

形，它们的面积之和S1=24()dm2,对折2次共可以得到5dmxl2dm,lOdmx6dm,20dmx3dm

三种规格的图形，它们的面积之和邑=180由「2,以此类推，则对折4次共可以得到不同规

格图形的种数为;如果对折〃次，那么£>*=dm2.

k=\

■公——15（3+〃）

【答案】5720V

【分析】

（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得S“，再根据错位相减法得结果.

【详解】解：（1）由对折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规格

的图形，所以对.着三次的结果有：1xl2,5x6,10x3;20x1,共4种不同规格（单位dm?）；

故对折4次可得到如下规格：2512,15x6,5x3,10x13,20x：3,共5种不同规格；

（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格

如何，其面积成公比为g的等比数列，首项为120（dm）,第〃次对折后的图形面积为

120x（；］'对于笫n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为“+1

种（证明从略），故得猜想S„=12；二+1）,

设S=fS*=笔+岑+吗+L+12。（向）,

£"202'222'"'

…I0120x2120x3120〃120(〃+1)

则一S=——:—+—r—+•••+—J+--------，

2222"T2"

两式作差得：

京=24°+12哈+*+3+3)120(n+l)

-2"―

120(n+l)

120120(n+l)120(n+3)

JOU-----；-------------=360--------L

2〃T

，工，“240（/7+3）15（n+3）

因止匕，S=720---------^=720——

2"2"4

故答案为：5；720

」5（0二〃一43）

【点睛】数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于｛。/“｝结构，其中｛%｝是等差数列，｛〃｝是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于｛%+"｝结构，利用分组求和法；

（4）对于］结构，其中｛4｝是等差数列，公差为d（d/0）,则一!一=¥‘-」一］,

l«,A+iJ4a2d｛a„an+lJ

利用裂项相消法求和.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤。

17.（本题满分10分）在数列｛4｝中，4=2,其前”项之积为（，即7；=%%…%，且

3/+3“+2（n>2,neN，）.

4-ZZ+I=22

（1）若数列｛%｝是正项等比数列，试求数列｛q｝的通项公式;

（2）若数列｛%｝是递增数列，且久“=278,试求满足条件的所有正整数机的值.

【答案】（1）4=2"；（2）m=4

【分析】

（1）设%=2/i,求出刀,，再代入已知可求得q得通项公式”，；

（2）设电=》，由邛G心求得。3,然后利用已知等式求出，，求出为，。5,则数列的单调

性确定X的范围，计算与„,,结合X的范围可得结论.

【详解】（1）解：设a“=2/T,易知贝1］北=27亨，

3K2-3/J+23/r+3«+2

:・q=2即an=2"

(2)

设%=X,由已知令〃=2,则4(7；=231/=

...%=4,又=a„an+lan+2=2'2gneN*)

X'ln-\lnln+\

.・.睢=0四""2%.3=2322,〃£N*),

anq4+4+2

3M+39

由anan+lan+2=2，令〃=2,则a2a3a4=2

%=4xf同理%—8x

又数列｛《,｝是递增数列即满足4<%<%<4<%

57

.'.2<?<2,i<x<^

22=27OX,2亍<22=2万

-—<9»?_+3/71-12<——,"，是止整数，9w2+3m—12=144.

33

18.（本题满分12分）为弘扬民族古典文化，学校举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主

持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确给改选手记正10分，否则记负10分.根

据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率为:；现记“该选手在回答完聪个问题后

曾

的总得分为做

⑴求鼠=黛目.用过嵯=修蠢的概率;

（2）记笳弓编I，求，然.的分布列，并计算数学期望,用徽］.

【答案】（1）《；（2）分布列见解析，,熬蜀!；=

81

【详解】解：（1）回答6个问题总得分为20分,则正确4个，错误2个，再分情况讨论；（2）次

的取值为10，30,50,再算出届取每个值时的概率，写出分布列，算出期望.

试题解析：（1）当懿=*il时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个.若回答正确第1

个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第1个问题回答正确，第2

个问题回答错误，第3个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个.记回答每个

问题正确的概率为潢，则萨=?.同时回答每个问题错误的概率为

兽兽1.

故所求概率为,蜉=心声※谖鬻溜空庐除白产"二离及展蜷阙工=—.

（2）由密W阈可知密的取值为10,30,50.

可乱吵=獭=礴卓吗，出瞰款》噜，.吵=獭=璃物+磋审噂

故就’的分布列为:

103050

面函丽

考点：1.概率加法公式；2.数学期望.

19.（本题满分12分）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

asinA-csinC=(a-b)sinB.

（1）求角C的大小;

3

⑵若“比的外接圆半径为2,sinAsinB="求"SC的面积.

【答案】（1）?；（2）3"

【分析】

（1）根据asinA-csinC=（a—%）sin8,由正弦定理得至ij/+/一/=刈，再利用余弦定理

求解;

3

⑵根据的外接圆半径为2,R.sinAsinB=-＞得到而=12,再利用三角形面积公

式求解.

【详解】(1)解：因为“sinA-csinC=(a-〃)sin8,

所以"-c，=ab-b2,BPa2+b2-c2=ab，

r-K|万〃-+"—021

所r以cosC=--------------=—

2ab2

因为。€（0,万）,

所以c=q；

⑵

3

因为的外接圆半径为2,且sinAsinB="

所以&-上-=2,即必=12,

2R2R4

=LbsinC=-x12xsin工=.

所以S.皿

223

20.（本题满分12分）如图，在三棱锥A-3PC中，AP1PC,AC±BC9"为AB的中点,

。为尸8的中点，且MP=M8.

(1)证明：£)〃//平面APC；

(2)若BC=6,AP=BP=\O,求三棱锥P-MCD的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2)20.

【分析】

(1)因为M为AB的中点，。为尸8的中点，由中位线定理可得M3//AP,再由线面平行

的判定定理即可证明；

(2)根据题意得M到平面BCD的距离为的长，由三棱锥P-MCD的体积即为三棱锥

M-2仪＞的体积，由题设条件求出MD的长，及三角形PCD的面积，由椎体体积公式代入

数据求解即可.

【详解】解：(1)证明：；M为48的中点，。为98的中点，

MD//AP.

乂＜CM(Z平面APC,APu平面APC，

〃平ffiMPC：

(2)MP=MB＜且。为尸8的中点，

•••MDA.PB.

又由(1)知，MD//AP,

•••APLPB.

•：APIPC,

APL^\PBC.

・••AP1BC.

•・•ACJ_BC,

BC_L平面APC,

•.BC1PC.

AP=BP=10,

二.AB=10&，MB=56.

・・•BC=6,

・••PC=V100_36=闹=8,

S/c。=1S/8c=aPC3。=^乂8x6=12

・・・MD=-PB=5

2

••・三棱锥P-A/CD的体积％_MQ=%-PS=gxl2x5=20.

21.（本题满分12分）己知动点尸到直线x=-l的距离与到定点C（；,。）的距离的差为g.动

点P的轨迹设为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）设过点4-4,0）的直线与曲线C交于E、尸两点，定点A'（4,0）,求直线HE、AN的

斜率之和.

【答案】（1）/=2x；（2）0.

【分析】

（1）由抛物线的定义可求；

（2）可设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理法即求.

【详解】解：（1）由题意知，动点P到定点c（g,0）的距离等于到定直线x=-（的距离,

所以动点尸的轨迹为抛物线，可设为V=2px,目.勺;，P=L

所以点尸的轨迹方程为V=2x.

（2）设过点A的直线方程为y=A：（x+4）（kwO）.

联立方程组[丁f+支

y2=2x

消去X,得，7+4k=0,

设E（X1,yJ,F（z，%），

则%%=8,且4=2X，y]=2X2,

X।乃..3'内-4)，|+%占一4%

••k"E+k/VF

玉-4x,-4(X,-4)(X2-4)

》怎-4弘+）状-4%（乂+%）（竽-4）

(%-4)(々-4)(X,-4)(X2-4)

由*必=8,得心”无心=°，

即直线A'E、AF的斜率之和为0.

1—V

22.（本题满分12分）已知函数〃x）=ulnx.

⑴求“X）的单调区间；

（2）当/