2022年海南省海口市高考数学学科能力诊断试卷（二）（附答案详解）

2022年海南省海口市高考数学学科能力诊断试卷（二）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知集合4={x[0<x<4},B={X|--5X+6=0},贝！]（CRA）CB=（）

A.0B.{1}C.{2}D.{2,3}

2.复数系的虚部为（）

A.|B.|C.D.-|

3.己知x,y6R且xKO,贝广x>y”是“工>%”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.在核酸检测时，为了让标本中ON4的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用

PCR技术对DM4进行快速复制扩增数量.在此过程中，DM4的数量Xn（单位：

与PCR扩增次数n满足Xn=X。x1.6%其中X。为DM4的初始数量.已知某待测标本

中DM4的初始数量为0.14g/〃L,核酸探针能检测到的OM4数量最低值为

则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（参考数据：ABCD,lnl.6»0.47）（）

A.5B.10C.15D.20

5.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为外,已知S9=393++即0，则

m=（）

A.9B.8C.7D.6

6.已知双曲线E：摄一'=l（a>0,b>0）的两个焦点为0,F2,以&为圆心，|&尻1

为半径的圆与E交于点P,若tan/FiPF?=2混，则E的离心率为（）

A.V3B.2C.2V2D.3

7.如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3兀，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4,

则该圆台的体积为（）

A7V307V3厂7>flS「7V15

A・--7T13.--71C・--71D・--71

361224

8.已知函数/'(%)是定义在R上的奇函数，函数g(x)=|x-2|f(x)的图象关于直线％=

2对称，若=则g(3)=()

A.5B.1C.-1D.-5

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.一组样本数据%,x2,X*的平均数和中位数均为5,若去掉其中一个数据5,则

()

A.平均数不变B.中位数不变C.极差不变D.方差不变

10.已知aG(yr,2TT),sina=与竺=tan3贝ij()

A.tana=V3B.cosa=|C.tan/?=4V3

11.如图所示，正方体4BCD-的棱长为2,点E,

F分别为CG和BiQ的中点，贝女)

A.4F〃平面NED1

B.B]C，平面4E£)i

C.平面ZE/截正方体的截面面积为3

D.点D到平面AEDi的距离为g

12.已知函数/(x)及其导函数/'(%)满足W'(x)-/(x)=x2(J,nx+1),且/(1)=0,则

()

A./(x)在(1,+8)上单调递增B.在©,1)上有极小值

C.®的最小值为一1D./(x)-殁的最小值为0

XX

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.函数/'(x)=sin(2x—1)的最小正周期为.

14.已知向量五，石的夹角为45。，|五|=四，且五不=2,若(4五+乃)，&则％=-

15.第二届消博会(中国国际消费品博览会)于2022年5月在海南国际会展中心举办，甲、

乙两人每人从4B,C,D四个不同的消博会展馆中选2个去参观，则他们参观的

展馆不完全相同但都参观4展馆的概率为.

16.已知抛物线C：y2=2Px(p>0)的焦点为F,第一象限的4B两点在C上，若凡41AB,

\FA\=5,\FB\=13,则直线48的斜率为.

第2页，共17页

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=或b=%a.

(1)求sinA；

(2)若a=5,边的中点为£>,求CD.

18.已知数列｛an｝的各项均为正整数且互不相等，记％为｛an｝的前n项和，从下面

①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛斯｝是等比数列；②数列｛Sn+1｝是等比数列；@a2=%(%+1).

注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

19.如图，正三棱柱4BC-&B1C1的高和底面边长均为2,点P,Q分别为AB】，BC的

中点.

(1)证明：平面ZQG1平面BCGBi；

(2)求直线BP与平面AQCi所成角的正弦值.

20.为落实体育总局和教育部发布的佚于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见

》，某校组织学生加强100米短跑训练.在某次短跑测试中，抽取100名男生作为

样本，统计他们的成绩(单位：秒)，整理得到如图所示的频率分布直方图(每组区

(1)若规定男生短跑成绩小于13.5秒为优秀，求样本中男生短跑成绩优秀的概率；

(2)估计样本中男生短跑成绩的平均数；(同一组的数据用该组区间的中点值为代表

)

(3)根据统计分析，该校男生的短跑成绩X服从正态分布N(〃,1.222),以(2)中所求

的样本平均数作为〃的估计值.若从该校男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在

[12.56,17.44]以外的人数为丫，求p(y>1).

附：若Z〜NO，。?)，贝炉(〃-2。WZW〃+2CF)=0.9545.0.954510“0.6277.

21.已知椭圆C：摄+'=l(a>6>0)的离心率为督，且经过点(倔务

(1)求C的方程；

(2)动直线，与圆0：M+丫2=1相切，与。交于“，N两点，求。到线段MN的中垂线

的最大距离.

22.已知函数/(x)=e-x+a(%2—1),aER.

(1)若a=I，求/(x)的最小值；

(2)若当x>1时，/(x)>：+Inx恒成立，求a的取值范围.

第4页，共17页

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：：A={x|0<x<4},CR4=(x\x<0或x>4},

B={x|x2—5x+6=0}={x|x=2或x=3},

(CRZ)nB=0,

故选：A.

根据集合的基本运算即可求解.

本题主要考查集合的基本运算，比较基础.

2.【答案】D

则复数系的虚部为-1.

故选：D.

根据已知条件，结合复数的四则运算，先化简，再结合虚部的定义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：当0>%>y时，0<-x<—y,则一专<一言即］>专；

当x>y>0时,£>女，即.>/；

当x>°*时,>3

・•.x>y是〉黄的充分条件；

当「自寸，由于好>0,则x>y,即x>y是〉号的必要条件；

综上，%>y是:〉胃的充要条件.

故选：C.

从充分性和必要性两个角度分别判断，即可得出答案.

本题考查充要条件的判断以及不等式的性质，考查逻辑推理能力，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：由题意可知，Xo=0.1,Xn=10,

令10=0.1x1.6%得1.6n=100,两边同时取对数可得，nlgl.6=IglOO=2,

所以"忘仪处

故选：B.

由题意可知，Xo=0.1,Xn=10,令10=0.1x1.6”,结合对数函数的公式，解出n,

即可求解.

本题主要考查指数函数的实际应用，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：,:S9='a；"-=9a5=3Q++而），

3a5=。3+。5+amJ

：,m=7.

故选：C.

根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，以及等差中项的性质，即可求解.

本题主要考查等差数列的前n项和公式，以及等差中项的性质，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：如图，依题意可得IPF/=\FrF2\=

2c,则IPF2I=2c-2a,

取P4的中点为。，连接RD，|PD|=c-a,

1PD

■：tanz.F1PF2=2VL则COSN&PF2=则玩=

c-a_1

右二?

可得c=3a,

则E的离心率为e=?=3.

故选：D.

依题意可得|PFJ=I&F2I=2c,取PF2的中点为。，连接Fi。，|PD|=c-a,利用

cos/FiPFz=磐=爰=士即可求解.

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

7.【答案】D

第6页，共17页

【解析】解：圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为a,

则其面积为3xax42-1xax22=37T,得a=p

所以扇环的两个圆弧长分别为江和2m

设圆台的上底半径，下底半径分别为q,q，圆台的高为伍

则271Tl=7i,2nr2=2TT,

所以/=3『2=1,又圆台的母线长1=4一2=2,

所以圆台的高为九=卜_(1_y=苧,

所以圆台的体积为V=三矶0)2+12+%x1]X叵=源兀.

32J224

故选：D.

由条件结合扇形面积公式可求圆台的上下底面的半径，结合圆台的轴截面图形可求圆台

的高，利用圆台体积公式求其体积.

本题考查圆台的体积，考查学生的运算能力，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：因为g(x)的图象关于％=2对称，

则g(x+2)=\x\f(x+2)是偶函数，

g(2—x)=|—x\f(2-x)=|x|/(2—x),且g(x+2)=\x\f(x+2),

所以，\x\f(2-x))=|x|/(x+2)对任意的x6R恒成立，

所以f(2-x)=/(2+x),

因为/'(-1)=-i且/co为奇函数，

所以f(3)=f(2+1)=f(2-1)=-/(-I)=1,

因此，g(3)=|3-2|f(3)=f(l)=L

故选：B.

分析可知g(x+2)=|x|/(x+2)是偶函数，利用偶函数的定义推导出〃2-口=/(2+

%),利用已知条件求出”3)的值，即可求得g(3)的值.

本题考查了抽象函数的奇偶性、对称性，也考查了学生的分析问题、解决问题的能力,

属于中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：假设与<x2<-<x„,则原来的中位数为几=5,去掉X6后，由于去掉

的正好是平均数，且是中间的数，

则平均数和极差(极差是极大值与极小值的差)不变，故A，c正确；

去掉数据5后，中位数为誓，这个值不一定为5,所以B不正确，

对于D,原来的方差为s2=i[(X1-5>+(x2-5)2+…+(x6-5)2+…+(X11-5月,

22

去掉%6后，新的方差"=~[(X]—5)2+(%2-5)2+--F(xs—5)+(%7—5)...+

因为去掉的数据恰好等于平均值，有

22

Qi-5y+-5)+…+-5)2+…+Qu-5)2=(X]—5)2+(%2—5)+…+

(%5—5)2+(%7-5)2...+(%u—5)2,

所以剩下的数据的方差增大，

故选：AC.

根据平均数.中位数.极差.方差概念求解即可

紧扣平均数.中位数.极差.方差定义和公式，属于简单题型

10.【答案】BD

【解析】解：因为aW(兀,2兀)，sinaH0,

5Lsinatanasina

22cosa'

所以cosa=g>0,故8正确,

所以aC(y,2n),sina=-V1-cos2a=-y-tana=篝=一值故4错误,

6

由已知可得tan§=—?’可得1即£=哉=一4百'故C错误,

1-tan2gi

可得COS0=故力正确.

cos2^+sin2yi+tan2g7,

故选：BD.

由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式以及二倍角的余弦公式化简即

可逐项判断求解.

本题考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式以及二倍角的余弦公式在三角

函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

11.【答案】AD

第8页，共17页

【解析】解：如图所示，设BC的中点为G,连接GE,FG和GA,GE与交于点/,连

接乙。与4D1交于点“，连接H/,

平面4E小截正方体所得的截面即AGED],

因为在正方体4BCD-&B1C15中，F,G分别为&Ci，BC的中点,

所以B】F=BG,B、F“BG,所以四边形8GF名为平行四边形，

所以FG=BB「FG//BB1,

因为=BB1,AA1]BB],

所以FG=AAi，FG//AAX,

所以四边形4G凡4i为平行四边形，

所以4F〃4G,

因为4/C平面4ED],AGu平面4E0「

所以477/平面4ED],故A正确；

在矩形4道传。中可看出3传与H/不垂直，所以BiC与平面ZED1不垂直，故B错误；

截面AGED1是一个等腰梯形，上底GE=V2,下底/W1=2式，

在矩形4B1CD中，ArH=DH=^2,CI=^BrC=~>所以H/=卜+（知=等

所以SAGE%=gx（&+2夜）x等=（故C错误；

AG=422+/=低GE=V2,AE=V22+22+I2=3.

AG2+GE2—心

所以cos乙4GE=5+2-9____1

2AGGEzVio-VTo,

因为乙4GE£（0,兀），所以sinZ_4GE=J1—

所以SAAGE=\AG-GEsinZ.AGE=?x遮x&x^=g,

设点。到平面AEDi的距离为d,则力YGE=VE-ADG'

]SMGE,d=-SAADG-CE,

所以[d=|x2x2xl,得d=p

即点。到平面4E£»i的距离为算所以。正确.

5

故选：AD.

如图所示，设BC的中点为G,连接GE和GA,GE与&C交于点人，连接41。与交于点

H,连接小，平面4ED］截正方体所得的截面即AGE5,然后逐个分析判断即可.

本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：设9。)=竽，则g'(x)=父曰产=仇》+1,

所以g(x)=xlnx+C(C为常数)，

所以/(%)=xg(x)=x2lnx+Cx,

又y(l)=O,所以c=o,

所以/(%)=x2lnx,f'(%)=x(2lnx+1),

当0<x<弓时,f(x)<0,f(x)单调递减,

当x〉专时，f'(x)>0,/(x)单调递增，

所以/(x)在x=a处取得极小值，

因为1<注<2,所以［〈喜<L

所以f(x)在91)上有极小值，可知4,B都正确.

g(x)=xlnx,g'(x)=Inx4-1,

当0cxe;时，“(x)<0,g(x)单调递减，

当》，时，g，(x)>0,g(x)单调递增，

所以g。)的极小值即最小值为g©)=故C错误.

f(x)--=x(x-l)lnx,

第10页，共17页

当0<x<l时，x-1<0,lnx<0,所以/'(久)一杯>0，

当%>1时，x-1>0,Znx>0,所以/

而当x=l时，/(I)一早=0,所以一一的最小值为0,

故。正确.

故选：ABD.

构造函数g(x)=§°,利用导数运算公式求出函数g(x)的解析式，由此可得函数/(x)的

解析式，再由导数与函数的单调性，极值及最值的关系判断各选项.

本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，考查了分类

讨论思想和转化思想，属中档题.

13.【答案】7T

【解析】解：函数=sin(2x一1)的最小正周期T=y=7r.

故答案为：n.

由题意利用正弦函数的周期性即可得出结论.

本题主要考查正弦函数的周期性，考查了函数思想，属于基础题.

14.【答案】-2

【解析】解：••・向量落石的夹角为45。，|a|=V2.且行彳=2，

|初•日|cos45。=2，可得|石|=2,

v(Aa+K)1K.

4苍•3+片=0可得：22+22=0,

:.A=-2,

故答案为：—2.

根据已知条件求得|八=2,进而求解结论.

本题主要考查向量的数量积，考查计算能力，属于基础题.

15.【答案】\

O

【解析】解：甲选2个去参观，有废=6种方法，乙选2个去参观，有废=6种方法,

二共有6x6=36种，

他们参观的展馆不完全相同但都参观a展馆的情况有：

{AB.AC},(AB,AD),(AC,AB),(AC,AD),(AD,AB),(AD,AC),共6种，

.•・对应的概率为P=9=：.

36o

故答案为：

根据题意得到全部基本事件为36种，再用列举法列举法列出符合条件的基本事件，即可

得到答案.

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

16.【答案】三

2

【解析】解：如图所示，设C的准线为1,分别过4B作/的垂线，垂足分别为D,E,

过A作ZPJ.BE于点P,

由抛物线的定义可知=\FA\=5,\BE\=\FB\=13,所以|BP|=13-5=8,

又因为FA1AB,\AB\=3132-52=12，所以|4P|=V122-82=4遮，

所以直线48的斜率%=tan乙4BP=黑=乎.

\BP\2

故答案为：立.

2

利用抛物线的儿何性质，以48为斜边，构建直角三角形即可求解.

本题考查了抛物线的性质，属于基础题.

17.【答案】解：(1)根据正弦定理得高=高,

Wrr以i'isn.tAA=-as-in-B=-5si.n-n=——5\/3;

b7314

(2)由已知得b=|a=7.

第12页，共17页

由余弦定理得2>2=c2+a2—2cacosB,即49=25+c2—5c,

解得c=8或c=-3(舍去)，

在小BCD中，由余弦定理得CD?=BD2+a2-2axBDxcosB=21,

所以CD=V21.

【解析】(1)由正弦定理可求sinA；

(2)由余弦定理可求c,进而可求CD.

本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属中档题.

18.【答案】解：选①②为条件，③为结论，

即已知数列｛册｝是等比数列，数列｛Sn+1｝是等比数列，求证：。2=%(%+1).

证明：设等比数列｛&；｝的公比为q，由题意知q>0且q力1，

2

则Si+1=%+1,$2+1=%+arq+1,S3+1=+a1q+arq+1,

2

v(Sn+1｝是等比数列，(Si+1)(S3+1)=(S2+l),

22

(%+1)(%+a^q+atq+1)=(即+aAq+l).

展开整理得aiq2=ajq+aiq,

arq=al+ar,­-a2=+a)；

选择①③为条件，②为结论，

即已知数列｛an｝是等比数列，a2=a1(a1+l),求证：数列｛S“+1｝是等比数列.

证明：设等比数列｛即｝的公比为q,由题意知q>0且q羊1,

•­•a2=+1)，•••axq=%(%+1)>

va2>0.工q=a1+1,

n

•••Sn=汕二此=迪F=qn_1,...Sn+l=q,

n1-qa1？nr

•••数列｛Sn+1｝是首项为q,公比为q的等比数列；

选择②③为条件，①为结论，

即已知数列｛S“+l｝是等比数列，a2=a1(a1+l).求证：数列是等比数列.

证明：设数列｛Sn+1｝的公比为q,由题意得q>0,且qRl,

则%+1=(Si+IM"1=(%+l)q"T,

•••。2=S2+1-⑸+1)=(%+l)(q-1),

n

a2=%(%+1)，且％+1>0,二%=q-1,Sn+1=q,

当n>2时，0=Sn+1-(Sn-i+1)=qn-qn-1=(q-l)qn-1,

._^n__(q-i)qz_

"an-i(q-i)q"-z%

数列｛a,J是首项为q-1,公比为q的等比数列.

【解析】选①②为条件，③为结论，根据已知条件及等比数列的通项公式，再利用等

比数列数列的前n项和公式，结合等比中项即可求解；选择①③为条件，②为结论，

根据已知条件及等比数列的通项公式，再利用等比数列前般项和公式，结合等比数列的

定义即可求解；选择②③为条件，①为结论，根据已知条件及等比数列的通项公式，

得出%+1,再利用即与%+1的关系，结合等比数列的定义即可求解.

本题考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中

档题.

19.【答案】解：(1)因为AABC是正三角形，Q为BC的中点，所以4Q1BC,

因为峭L平面ABC,AQu平面ABC,所以SBJAQ,

因为BBiPIBC=B,

所以2Q1平面BCG/,

因为力Qu平面4QG，

所以平面AQG1平面

(2)设线段AC,占6的中点分别为。，。1，以。为坐标原点，分别以。8,0C,。。1所在

直线为％,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

因为正三棱柱的底面边长和高均为2,

所以省0,-1,0),B(代,0,0),(2(y,1,0),Ci(04,2),P(今.2),

所以乔=(一今一?2),而=(苧,|,0),宿=(0,2,2).

设元=(x,y,z)为平面4QG的一个法向量，

第14页，共17页

则打竺=fx+|y=O,令z=j,则元=(遮,TI).

n•ACr=2y+2z=0

设直线8P与平面4QG所成角为仇则

sin”|cos<FP,n)|=|磊|=磊=g

所以直线BP与平面4QCi所成角的正弦值为，

【解析】(1)由于△ABC是正三角形，Q为BC的中点，可得AQLBC,再由正棱柱的性质

得BBiJ.AQ,则由线面垂直的判定定理可得4Q1平面BCGBi，再由面面垂直的判定定

理可证得结论，

(2)设线段AC,AG的中点分别为0,。口以。为坐标原点，分别以。8,0C,。。1所在

直线为％,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.

本题主要考查面面垂直的证明，线面角的计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题.

20.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得，2a+0.08+0.09+0.22+0.24+0.33=1,

解得a=0.02,

故样本中男生短跑成绩优秀的概率为0.02+0.09=0.11.

(2)估计样本中男生短跑成绩的平均数为：

12x0.02+13X0.09+14x0.22+15x0.33+16x0.24+17x0.08+18x0.02=

15.

(3)由(2)可知，〃=15,

则X服从正态分布N(15,1.222),

故该校男生短跑成绩在［12.56,17.44］以外的概率为1-P(12.56<X<17,44)=1-

0.9545=0.0455,

由题意可得，丫〜8(10,0.0455),

P(r>1)=1-P(r=0)=1-O.954510®1-0.6277=0.3723.

【解析】(1)根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，求出a,即可求解.

(2)结合平均数公式，即可求解.

(3)根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及二项分布的概率公式，即可求解.

本题主要考查频率分布直方图的应用，以及正态分布的对称性，属于基础题.

c2V2

eWp=3

6,5,，解得b=l.

/+Q=1(c=2夜

{a2=b2+c2

所以C的方程为9+y2=i.

(2)当［的斜率不存在时，线段MN的中垂线为X轴，此时。到中垂线的距离为0.

当2的斜率存在时,设I：y=kx+m(k^0),时(如力),W(x2,y2).

因为I与圆/+y2=1相切，则0至〃的距离为恩=1,所以血2=必+1.

联立方程[9+'—1,得(1+9/c2)%2+18kmx+97n2—9=0,

ly=依+

则与+右=一黑，可得MN的中点为(一端，点).

则MN的中垂线方程为y=-i(%+黑)+式浮即x+ky+黑j=0.

.8km.

因此。到中垂线的距离为4