一类化学模态逻辑形式系统的推理机理

一类化学模态逻辑形式系统的推理机理

模型逻辑是经典逻辑在增加模型算子后的扩展。这种形式的推理推理系统也来自经典逻辑系统，只是增加了带有模态算子的正义。在意义上，为了准确描述模型算子的含义，采用了与经典逻辑不同的kpple意义模型，但模型的意义解释仅限于真假性。粗糙集理论的创始人Pawlak在对粗糙逻辑研究时引入了5个逻辑值:真、假、粗糙真、粗糙假和粗糙不相容.刘清等人在文献中提出了粒-逻辑的形式系统和语义模型,其语法和语义推理也都围绕这5个逻辑值进行.粗糙真是介于真与假之间的一种逻辑值,对模态逻辑公理系统的语义讨论能否突破真与假二值的束缚,而针对粗糙真这种逻辑值展开研究呢?尽管文献都是粗糙集方法与模态逻辑相融合的讨论,但前者着重分析模态逻辑公理与二元关系性质间的联系,不涉及语义的讨论;后者虽巧妙构造了不完备信息系统完备化后的模态逻辑系统,但研究手段相似于模态逻辑传统的研究方法.因此各种讨论很少涉及模态逻辑公理的粗糙真解释,但这正是下面所要研究的问题.由于将把模态逻辑和粗糙逻辑融合在一起讨论,所以首先面临的任务就是如何构造描述命题的公式.模态逻辑的公式是在经典逻辑公式基础上加入模态算子构成的,而Pawlak粗糙逻辑的公式是在近似空间M=(U,R)上构造的,且主要涉及一元公式.这两者都不能满足融合后讨论的需要,因此对模态逻辑公理的粗糙真研究应从公式的构造开始.1偏序集的定义设U为一有限集,Un=U×…×U表示n个U的笛卡儿积(n≥1).若RUn×Un,且R为Un上的等价关系,则称M=(Un,R)是以Un为论域的近似空间.下面要在M=(Un,R)上定义公式.这需要约定M上的符号系统:1)常项.对任意的元素a∈U,a称为近似空间M=(Un,R)的常项;2)变元.x,y,z等或x1,x2,x3,…称为近似空间M=(Un,R)的变元;3)项.常项和变元都称为M=(Un,R)的项,项用符号t1,t2,t3,…表示;4)关系.P,Q,S等或带下标的符号P1,P2,P3,…表示U上的m(m≥1)元关系.定义1.设M=(Un,R)为近似空间,P为U上任一m元关系,即PUm,t1,…,tm为M的m个项,称P(t1,…,tm)为M上的原子公式.模态逻辑中有两个模态算子和它们分别表示“必然”和“可能”.与之对应,本文再引入两个粗糙模态算子和分别称为“粗糙必然”和“粗糙可能”,其严格语义定义将在下面进行,这里提前给出的目的在于公式的定义:定义2.近似空间M=(Un,R)上的公式归纳定义如下:1)原子公式是M上的公式;2)若是M上的公式,则是M上的公式;3)若,ψ是M上的公式,则是M上的公式;4)若是M上的公式,则是M上的公式;5)只有有限步使用1),2),3)或4)得到的表达式是M上的公式.公式涉及多元关系,这就有别于Pawlak粗糙逻辑的公式,因为那里不出现多元关系.下面常省略公式的最外层括号,且当中出现n个变元时,称为n元公式.设P(x1,…,xn)为n元原子公式,〈t1,…,tn〉∈Un,即t1,…,tn都是常项,若〈t1,…,tn〉∈P,则称将t1,…,tn代入P(x1,…,xn)后,所得公式P(t1,…,tn)为真.令:Un且P(t1,…,tn)为真}.定义3.设,ψ是M=(Un,R)上的n元公式,且,ψ不含□,

,和,则定义:对于n元公式(x1,…,xn),定义3表明.若令,其中a∈U为常项,则ψ为n-1元公式,这时.所以这里涉及的概念既与U中的元素有关,又与Un中的元素有关,这就是本文采用近似空间M=(Un,R),而不用M=(U,R)的原因.对于M=(Un,R),设UnR={[a1],…,[at]}为R针对Un所构成的划分,若,则Pawlak上近似和下近似分别定义为定义4.设M=(Un,R)为近似空间,为M上不含的n元公式,则:1)若,则称在M中真,记做4)若(空集),则称在M中粗糙假,记做5)若,则称在M中粗糙不相容.为了定义含公式的逻辑值,令Rn={RR为Un上的等价关系},Pn={(Un,R)R∈Rn}.因具有自反、反对称和传递性,故(Rn,)构成偏序集.在Pn上定义关系≤:对于(Un,R1),(Un,R2)∈Pn,(Un,R1)≤(Un,R2)当且仅当.因此(Pn,≤)也是偏序集.由于下面仅研究含公式的粗糙真,且偶尔用到取真的逻辑值,而粗糙假、粗糙不相容等逻辑值并不涉及,所以仅对粗糙真及为真的逻辑值进行定义.定义5.偏序集L=(Pn,≤)称为n元公式的语义模型.对于(Un,R)∈Pn,在(Un,R)中粗糙真分别记做在(Un,R)中真分别记做,其定义为如下的1)～4),其关于逻辑联结词运算的定义为如下的5)～11):1)当且仅当任意(Un,R1)∈Pn,如果(Un,R)≤(Un,R1),则(见定义4);2)当且仅当存在(Un,R1)∈Pn,满足(Un,R)≤(Un,R1),且;3)当且仅当任意M1=(Un,R1)∈Pn,如果(Un,R)≤(Un,R1),则(见定义4);4)当且仅当存在M1=(Un,R1)∈Pn,满足(Un,R)≤(Un,R1),且;5)当且仅当存在(Un,R1)∈Pn,满足(Un,R)≤(Un,R1),使得不成立;6)当且仅当任意(Un,R1)∈Pn,如果(Un,R)≤(Un,R1),则不成立;7)当且仅当存在M1=(Un,R1)∈Pn,满足(Un,R)≤(Un,R1),使得不成立;8)当且仅当任意M1=(Un,R1)∈Pn,如果(Un,R)≤(Un,R1),则不成立;设ψ为含有或不含有的n元公式,且中之一,则:9)当且仅当且虽然语义模型L=(Pn,≤)体现了克里普克模型的思想,但因Pn由以Un为论域的所有近似空间构成,其独特性不言而喻.另外,当U或n发生变化时,Un自然也会改变,Pn也就随之不同,因此模型L=(Pn,≤)具有多样性.2任意性假设sr为了证明的需要,先针对偏序集(Rn,)和(Pn,≤)做一些讨论.命题1.设(Un,R1),(Un,R2)∈Pn,且R1R2.对于n元公式,若,则证明.设UnR1={S1,…,Sr}和UnR2={T1,…,Ts}分别为等价关系R1和R2针对Un构成的划分.对于任意的Ti∈UnR2,令Ti={xx∈Un且〈x,a〉∈R2}.若令Sj={xx∈Un且〈x,a〉∈R1},则Sj∈UnR1.由于R1R2,所以SjTi.因为,所以,于是,由的任意性便有.证毕.命题2.(Rn,)是一个格.证明.任R1,R2∈Rn,则R1∩R2∈Rn且为R1和R2针对的最大下界;如果令t(R1∪R2)为R1∪R2的传递闭包,则t(R1∪R2)为包含R1和R2的最小等价关系(详证见文献P155).所以t(R1∪R2)∈Rn且为R1和R2针对的最小上界.故(Rn,)是一个格.证毕.对于(Un,R1),(Un,R2)∈Pn,由于(Un,R1)≤(Un,R2)当且仅当R1R2.因此由命题2有:命题3.(Pn,≤)也是一个格.命题3说明Pn中任意两个元素在Pn中必存在最大下界和最小上界.如下证明将用到这些命题.2.1利用克里普克模型进行的语义推理模态逻辑S5系统中带模态算子的公理如下:(1)(2)(3)(4)其中由(1)(2)构成的系统称为T系统,由(1)(2)(3)构成的系统称为S4系统,T,S4和S5系统中的推理是通过如下两条推理规则进行的:(5)由和推出ψ(和ψ均可含或);(6)由推出.公理系统是形式推理的依据,但本文不讨论形式推理,而要进行语义研究.模态逻辑在利用克里普克模型对公理(1)～(4)进行语义讨论以及采用推理规则(5)和(6)进行语义推理时,仍在真与假的二值范围内进行.下面对它们是粗糙真的讨论.为了区别,将(1)～(6)中的模态算子变为粗糙模态算子:1)2)3)4)5)由和推出ψ(和ψ均可含和);6)由推出.下称1)～4)为粗糙真公理,5)和6)为粗糙真推理规则.对于n元公式,当在L=(Pn,≤)的某近似空间(Un,R)中粗糙真时,ψ也在(Un,R)中粗糙真,则称粗糙真有效.2.2以“2”为语义分析定理经典逻辑中,若真时,有ψ也真,则称是有效公式.有效公式可在形式推理时作为公理使用.因此,若粗糙真公理1)～4)都是粗糙真有效的,则它们可在粗糙真形式推理中使用,所以下面讨论1)～4)的粗糙真有效性.定理1.对于模型L=(Pn,≤),设(Un,R)∈Pn,若证明.任(Un,R1)∈Pn,满足(Un,R)≤(Un,R1).因为,由定义5的2),存在(Un,R2)∈Pn,满足(Un,R)≤(Un,R2),使得,即.对于(Un,R1)和(Un,R2),由命题3,存在(Un,R3)∈Pn,使得(Un,R1)≤(Un,R3)且(Un,R2)≤(Un,R3).由(Un,R2)≤(Un,R3),有R2R3.因此由和命题1,知Un,即.再由(Un,R1)≤(Un,R3),及定义5的2)有.这样,对任(Un,R1)∈Pn且(Un,R)≤(Un,R1)时,就有,故由定义5的1),得.证毕.定理1说明粗糙真公理“4)是粗糙真有效的.下面考虑“2)ψ)”的粗糙真有效性,其等价形式为“2).首先指出它并不粗糙真有效,即当前件“”在Pn的某近似空间(Un,R)中粗糙真时,不能保证后件“”也在(Un,R)中粗糙真.请看下例:例1.令U={a,b,c},R=U×U.显然R为U上的等价关系,其对应的划分.于是M=(U,R)构成近似空间,它属于n=1时的P1.令P={〈a,a〉},Q={〈b,c〉},则P和Q都是U上的二元关系.令,ψ=Q(x,b),因x是变元及a和b是常项,所以和ψ都是M上的一元公式.由于,以及(见定义3).于是且.在(U,R)中考虑公式.注意到(U,R)为P1中关于≤的最大元,及,故,再由定义5的9)知但由于于是不成立.然而,如果将“2)的形式稍微改动,变形为“2),则有如下的语义分析定理:定理2.对于模型L=(Pn,≤),设(Un,R)∈Pn,若证明.因,由定义5的9)有再由定义5的1)和3)知:任(Un,R1)∈Pn,若(Un,R)≤(Un,R1),则,这里M1=(Un,R1).于是由定义4,得.因(此推证用到了定义3).所以.于是,对任意的(Un,R1)∈Pn,当(Un,R)≤(Un,R1)时,有ψ,故由定义5的1)知.证毕.定理2对2)′的分析结果可以认为粗糙真公理“2)基本上粗糙真有效.由于≤在Pn上是自反和传递的,则有针对粗糙真公理1)和3)语义分析的定理:定理3.对于模型L=(Pn,≤),设(Un,R)∈Pn,若,则(1)证明.(1)由及定义5的1)知:任(Un,R1)∈Pn,若(Un,R)≤(Un,R1),则.因≤是自反的,有(Un,R)≤(Un,R),故(2)任(Un,R1)∈Pn,满足(Un,R)≤(Un,R1).对任(Un,R2)∈Pn,若(Un,R1)≤(Un,R2),因≤具有传递性,则有(Un,R)≤(Un,R2),因此由及定义5的1),知.由(Un,R1)≤(Un,R2)和(Un,R2)的任意性,利用定义5的1)得.这样,对任意(Un,R1)∈Pn,满足(Un,R)≤(Un,R1)时,有,再由定义5的1),知.证毕.定理3说明“1)”和“3)”都粗糙真有效.2.3由出现与执行的中介推理现对规则“5)由和推出ψ”和“6)由推出”的粗糙真语义分析进行讨论.由于5)和6)是从已知公式推出新的公式,所以对5)和6)的粗糙真语义分析就是要讨论在已知公式粗糙真的情况下,判定被形式推出的公式是否仍粗糙真.定理4.对于模型L=(Pn,≤),设(Un,R)∈Pn,若证明.设,由定义4,.任(Un,R1)∈Pn,若(Un,R)≤(Un,R1),则RR1,由命题1,得.于是对任(Un,R1)∈Pn,当(Un,R)≤(Un,R1)时,,即,由定义5的1)得.证毕.定理4说明由粗糙真推出也粗糙真.所以规则“6)由推出”保粗糙真性.对于规则5),其表述“由和推出ψ”是形式推理的表述,其中是公理或是由公理和推理规则形式推出的公式.因此从经典逻辑语义方面讲,是有效公式(命题逻辑也称重言式).于是5)的经典逻辑语义推理表述是:若是有效公式且真,则ψ真.按照这种语义推理模式,规则5)的粗糙真语义推理应表述如下:若是粗糙真有效公式且粗糙真,则ψ粗糙真.(1)定理5.(1)是正确的粗糙真语义推理.证明.设粗糙真有效且粗糙真.若ψ不粗糙真,则由粗糙真,知不粗糙真有效,矛盾于是粗糙真有效公式.故ψ粗糙真.证毕.(1)的正确性说明规则5)保粗糙真.同时(1)也说明,只有当规则5)中的“”是粗糙真有效公式时,规则5)才保粗糙真.而需关注的是定理1～3与规则5)有何关系?考虑(1)的简化表述:若粗糙真,则ψ粗糙真.(2)(2)成立不仅表明粗糙真有效,并且有:定理6.若(2)成立,则(1)成立.证明.设是粗糙真有效公式且粗糙真,由粗糙真和(2)便知ψ粗糙真.故(1)成立.证毕.由于定理1～3证明了粗糙真公理1),2)′,3)和4)中前件和后件的关系都满足(2),因此1),2)′,3)和4)作为粗糙真公理不仅可在规则5)中被视做“”,而且此时由规则5)推出的公式仍粗糙真.2.4公式2以上是针对S5系统中含模态算子公理的讨论,该系统中的形式推理偶尔用到如下(7)和(8)两条公理,7)和8)分别是它们对应的粗糙真公理:(7)例1中,