第01讲比例线段和相似图形（知识解读真题演练课后巩固）

第01讲比例线段和相似图形1.掌握线段成比例条件及运用；2.能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；4.了解比例线段的概念和黄金分割的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；5.知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.知识点1比例线段1．线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成．2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（2）若a:b=b:c，则=ac（b称为a、c的比例中项）．知识点2黄金分割比1.黄金分割的定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值).2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.注意：一条线段的黄金分割点有两个.知识点3相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures).注意：

(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；知识点4相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．【题型1比例性质】【典例1】（2023春•乳山市期末）若，则＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵，∴，∴＝＝，故选：C．【变式11】（2022秋•万州区期末）已知，则的值是（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣【答案】B【解答】解：∵，∴b＝2a，∴＝＝﹣3．故选：B．【变式12】（2023春•张店区期末）若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵，∴＝+1＝+1＝．故选：D．【变式13】（2023•大丰区校级模拟）若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】B【解答】解：A．因为＝，所以5m＝4n，不符合题意；B．因为＝，所以4m＝5n，符合题意；C．因为＝，所以5m＝4n，不符合题意；D．因为＝，所以mn＝20，不符合题意．故选：B．【题型2比例线段】【典例2】（2022秋•于洪区期末）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，则d＝（）A．8cm cm C．2cm D．3cm【答案】A【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，∴ad＝cb，∵a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，∴d＝8（cm），故选：A．【变式21】（2023•金山区一模）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【答案】C【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意；B、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意；C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意；D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意；故选：C．【变式22】（2022秋•叙州区期末）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（）A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．2，3，4，5 D．1，3，4，7【答案】B【解答】解：A、1×4≠2×3，所以A选项不符合题意；B、1×6＝2×3，所以B选项符合题意；C、2×5≠4×3，所以C选项不符合题意；D、1×7≠3×4，所以D选项不符合题意；故选：B．【变式23】（2023•邵阳模拟）四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，则线段c的长为（）A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm【答案】B【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，∴a：b＝c：d，而a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，∴c＝＝＝4（cm）．故选：B．【典例3】（2022秋•余姚市期末）已知线段a＝3，b＝12，则a，b的比例中项线段等于（）A．2 B．4 C．6 D．9【答案】C【解答】解：设a，b的比例中项线段为c，则：c2＝ab＝3×12＝36，∵c＞0，∴c＝6．故选：C．【变式31】（2022秋•池州期末）已知线段a＝2，b＝2，线段b是a、c的比例中项，则线段c的值为（）A．2 B．4 C．6 D．12【答案】C【解答】解：∵线段b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，∵a＝2，b＝2，∴（2）2＝2c，∴c＝6，故选：C．【变式32】（2022秋•兴化市期末）已知线段a＝9，b＝1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c＝（）A．±3 B．3 D．5【答案】B【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．则c2＝9×1，解得c＝±3（线段是正数，负值舍去），所以c＝3．故选：B．【题型3黄金分割比】【典例4】（2023春•海阳市期末）已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（）A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC•BA C． D．【答案】C【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），∴，∴选项C符合题意，故选：C．【变式41】（2023春•栖霞市期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（）A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP•BA C． D．【答案】D【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP2＝BP•BA，＝＝，故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，故选：D．【变式42】（2022秋•渭南期末）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若线段AB＝1，则线段AP的长是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由于P为线段AB＝1的黄金分割点，且AP是较长线段；则．故选：A．【变式43】（2023•开化县模拟）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C【解答】解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：＝0.618，解得：y≈8cm．故选：C．【题型4相似图形】【典例5】（2023•茂南区二模）任意下列两个图形不一定相似的是（）A．正方形 B．等腰直角三角形 C．矩形 D．等边三角形【答案】C【解答】解：A、因为任意两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意B、因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以B不符合题意；C、因为任意两个矩形的对应边不一定成比例，对应角相等，不是相似图形，所以C符合题意；D、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意；故选：C．【变式51】（2023•东洲区模拟）观察下列图形，下列各组图形不是相似图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；B．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意；C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；D．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；故选：B．【变式52】（2022秋•铁西区期末）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（）A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙【答案】B【解答】解：甲：邻边的比为3：2，乙：邻边的比为2.5：1.5＝5：3，丙：邻边的比为1.5：1＝3：2，所以，是相似图形的是甲和丙．故选：B．【题型6相似多边形的性质】【典例6】（2022秋•高新区期末）如图，矩形ABCD∽矩形EFGH，已知AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝6cm，则FG的长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm【答案】B【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH，∴＝，∴＝，∴FG＝10（cm）．故选：B．【变式6】（2023•婺城区模拟）如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，剪去一个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，则CF的长为1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，AB＝DC＝4，∵四边形EFBC是矩形，∴EF＝BC＝2，CF＝BE，∵余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，∴，即，∴CF＝1，故答案为：1．【典例7】（2023•鼓楼区二模）若两个相似多边形面积比为4：9，则它们的周长比是2：3．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵两个相似多边形面积比为4：9，∴两个相似多边形相似比为2：3，∴两个相似多边形周长比为2：3，故答案为：2：3．【变式71】（2022秋•双牌县期末）已知相似三角形的相似比为9：4，那么这两个三角形的周长比为（）A．9：4 B．4：9 C．3：2 D．81：16【答案】A【解答】解：三角形的周长比等于相似多边形的相似比为9：4．故周长比也为9：4．故选：A．【变式72】（2022秋•会宁县校级期末）已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（）A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm【答案】A【解答】解：两个相似多边形的面积比是9：16，∴两个相似多边形的相似比是3：4，∴两个相似多边形的周长比是3：4，设较大多边形的周长为为xcm，由题意得，18：x＝3：4，解得，x＝24，故选：A．1．（2023•金昌）若＝，则ab＝（）A．6 B． C．1 D．【答案】A【解答】解：∵＝，∴ab＝6．故选：A．2．（2023•威海）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（）A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1【答案】C【解答】解：设HG＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，由折叠得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，∴四边形ADHE是矩形，∵AD＝DH，∴四边形ADHE是正方形，∴AD＝HE＝1，∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，∴＝，∴＝，解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1，经检验：x＝﹣1或x＝﹣﹣1都是原方程的根，∵GH＞0，∴GH＝﹣1，∴DC＝2+x＝+1，故选：C．3．（2023•泰州）两个相似图形的周长比为3：2，则面积比为9：4．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵两个相似图形，其周长之比为3：2，∴其相似比为3：2，∴其面积比为9：4．故答案为：9：4．4．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的1.2倍．【答案】1.2．【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．故答案为：1.2．5．（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为（80﹣160）cm．（结果保留根号）​【答案】（80﹣160）．【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB＝80cm，∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∵点D是靠近点A的黄金分割点，AB＝80cm，∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，∴支撑点C，D之间的距离为（80﹣160）cm，故答案为：（80﹣160）．1．（2023秋•小店区期中）若＝，则的值为（）A．1 B． C． D．【答案】D【解答】解：∵＝＝，∴＝＝．故选：D．2．（2023秋•秦都区期中）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（）A．4，6，8，10 B．3，4，5，6 C．5，15，3，9 D．8，6，2，1【答案】C【解答】解：A、∵4×10≠6×8，∴4，6，8，10不能成比例线段，故不符合题意；B、∵3×6≠4×5，∴3，4，5，6不能成比例线段，故不符合题意；C、∵5：15＝3：9，∴5，15，3，9成比例线段，故符合题意；D、∵8×1≠6×2，∴8，6，2，1不能成比例线段，故不符合题意；故选：C．3．（2022秋•邯山区校级期末）已知xy＝mn，则把它改写成比例式后，正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵xy＝mn，∴．故选：A．4．（2023秋•秦安县期中）如果＝，则等于（）A． B． C． D．6【答案】A【解答】解：由和比性质，得＝，两边都除以2，得＝，故选：A．5．（2023秋•衡南县期中）将一个三角形按2：1的比放大后，它的面积（）A．保持不变 B．放大到原来的2倍 C．放大到原来的4倍 D．无法确定【答案】C【解答】解：根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，相似比为2，则面积就是原来面积的四倍．故选：C．6．（2023秋•昭平县期中）点P在线段AB上，且PA2＝AB•PB，若PB＝4，那么线段PA的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵点P在线段AB上，且PA2＝AB•PB，∴点P是线段AB的黄金分割点，∴＝＝，∵PB＝4，∴AP＝＝＝＝2+2，故选：C．7．（2023秋•南海区期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足＝，则称点P是AB的黄金分割点，世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，若图中AB＝8，则BP的长度是（）A． B． C． D．2【答案】A【解答】解：∵点P是线段AB上一点（AP＞BP），点P是AB的黄金分割点，∴AP＝AB＝×8＝4﹣4，∴BP＝8﹣（4﹣4）＝12﹣4．故选：A．8．（2023秋•铁西区期中）下列图形中不一定是相似图形的是（）A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．两个等腰直角三角形 D．两个矩形【答案】D【解答】解：A、两个正方形的形状相同，是相似图形，故选项A不符合题意；B、两个等边三角形形状相同，是相似图形，故选项B不符合题意；C、两个等腰直角三角形形状相同，是相似图形，故选项C不符合题意；D、两个矩形的对应边不一定成比例，不一定是相似图形，故选项D符合题意；故选：D．9．（2023秋•闵行区期中）将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（）A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数【答案】D【解答】解：将图形甲通过放大得