基于反应扩散方程的水质模拟

基于反应扩散方程的水质模拟

0数学模型的基本形式随着经济的快速发展和人类活动的增多，中国的环境事故日益严重。其中，污染事件是中国环境事件的主要类型。使用数学模型进行水质模拟计算具有灵活性、快速性和可操作性的优点。有助于决策部门了解污染带的迁移和污染物的时间和空间变化，捕捉污染物对下游水体的影响，及时、准确地估算事故的发展。这些数学模型通常是以反应扩散方程的形式模拟的。反应扩散方程(Reaction-diffusionequation)的基本形式是:∂P∂x=DΔP+f(t,x,P),∂Ρ∂x=DΔΡ+f(t,x,Ρ),这里的P是密度函数;D是扩散系数;DΔP是扩散项;f(t,x,P)是反应项;在这里ΔP=div(∇P)=∑i=1n∂2P∂x2i.(∇Ρ)=∑i=1n∂2Ρ∂xi2.在对水污染扩散问题的研究中发现,在水流湍急的河流或者污染物扩散受水温影响的情况下,有时污染物的扩散速度相较于水流速度微不足道,这时没有扩散项的一阶传递方程(Firstordertransportequation)数学模型更能精确的模拟出水污染的真实情况.笔者所要研究的就是一类基于一阶传递偏微分方程的水污染模型.选取2005年11月13日吉林双苯厂爆炸导致的松花江水污染事故为研究对象,建立一阶传递方程的水污染模型,并对其进行求解.1硝基苯浓度计算2005年11月13日吉林双苯厂的事故导致松花江受硝基苯污染.选取哈尔滨以下江段,因为这一江段中污染物硝基苯在整个河流的横断面上已经基本混合均匀,并且硝基苯在低温的冬季很难降解.假设在沿程江段没有硝基苯的再排入,并且因为相对于松花江的长度,江水的宽度和深度可以忽略不计,因此可以用一维模型进行水质预测:∂N∂t=D∂2N∂x2−u0∂N∂x−kN,∂Ν∂t=D∂2Ν∂x2-u0∂Ν∂x-kΝ,这里的N表示污染物硝基苯的浓度,单位为mg/L;t表示污染时间,单位为h;x表示江水流动距离,单位为km;u0表示纵向水流流速,单位为km/h;D表示污染物硝基苯的扩散系数,单位为km2/h;k表示污染物硝基苯的衰减速率系数,单位为h-1.选取巴彦港断面以下水流流速较快的江段,可以建立一阶传递方程的模型进行水质模拟:⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂N∂t=−u0∂N∂x−kN,x>0,t>0,N(x,0)=0,x>0,N(0,t)=P>0,t>0,N(∞,t)=0,t>0,(1){∂Ν∂t=-u0∂Ν∂x-kΝ,x>0,t>0,Ν(x,0)=0,x>0,Ν(0,t)=Ρ>0,t>0,Ν(∞,t)=0,t>0,(1)其中P是巴彦港断面硝基苯的浓度值,单位为mg/L;其他符号表示的意义同上.由Fick定律知流量(flux)与梯度(∂N∂x)(∂Ν∂x)成正比,指向相反的方向(因为流动总是从高密度区域流向低密度区域),另外还要减掉污染物硝基苯自身的衰减(kN),这样就得到了一阶传递方程.初始时刻这段水域中硝基苯的浓度为0,这确定了模型的初值条件.任意时刻,巴彦港断面的浓度值为P并且离巴彦港很远的江水中不含有硝基苯,因此确定了模型的边值条件.2硝基苯磺酸盐系的建立求解一阶传递方程的一维模型(1).求解过程:令z(s)=N(x+u0s,t+s)(向量函数),那么可以得到z′(s)=∂N(x+u0s,t+s)∂x⋅u0+∂N(x+u0s,t+s)∂t.z′(s)=∂Ν(x+u0s,t+s)∂x⋅u0+∂Ν(x+u0s,t+s)∂t.由(1)第一个方程得z′(s)=-kN(x+u0s,t+s)=-kz(s)解得z(s)=z(0)·e-ks.(2)由定义的向量函数得z(0)=N(x,t),z(-t)=N(x-u0t,0).又由(2)得z(-t)=z(0)·e-k(-t)=z(0)·ekt=N(x,t)·ekt,这样就得到N(x-u0t,0)=N(x,t)·ekt,即N(x,t)=N(x-u0t,0)·e-kt.当x-u0t>0时,由(1)第二个方程得N(x-u0t,0)=0,因此N(x,t)=0.当x-u0t<0时,由定义的向量函数得z(−xu0)=N(0,t−xu0)z(-xu0)=Ν(0,t-xu0).同理可得z(−xu0)=z(0)⋅e−k(−xu0)=z(0)⋅ekxu0=z(-xu0)=z(0)⋅e-k(-xu0)=z(0)⋅ekxu0=N(x,t)⋅ekxu0,Ν(x,t)⋅ekxu0,这样就得到N(0,t−xu0)=N(x,t)⋅ekxu0Ν(0,t-xu0)=Ν(x,t)⋅ekxu0,即N(x,t)=N(0,t−xu0)⋅e−kxu0.Ν(x,t)=Ν(0,t-xu0)⋅e-kxu0.再由(1)第三个方程得N(x,t)=P⋅e−kxu0.Ν(x,t)=Ρ⋅e-kxu0.因此方程组(1)的解为N(x,t)={0,x−u0t>0,P⋅e−kxu0,x−u0t<0.(3)Ν(x,t)={0,x-u0t>0,Ρ⋅e-kxu0,x-u0t<0.(3)由(3)式可以看出,硝基苯的浓度以x1(x1=u0t)点为临界点,在x<x1时硝基苯的浓度在随着x的增大而减小,即江水中的污染物随着江水流动距离的增加而不断减少;在x>x1时硝基苯的浓度变成0,即在x1点之后的江水中不含有污染物.因此决策部门应该采取措施大力控制x<x1这一江段的污染物.另外在结果中也可以看出对于一个固定的地点x0,当t<x1u0t<x1u0时硝基苯的浓度为0,即江水的这一横截面在时间t=x1u0t=x1u0之前不含有污染物.例如在松花江上巴彦港至佳木斯这一江段,因为松花江丰水期是在6～9月,枯水期是在12～2月,虽然事故发生在正要进入枯水期的11月,但由于为了缓解污染,上游水库大流量不规则的放水,并且这一江段地形多为断崖、低丘和草地,水流湍急,因此可以应用前面的