第4章时间序列分析课件1

第四章 时间序列分析第一节时间序列的对比分析第二节时间序列的趋势分析第三节季节变动分析第四节循环波动分析第一节 时间序列的对比分析一.

时间序列及其分类二.

时间序列的水平分析三.

时间序列的速度分析时间序列及其分类时间序列(概念要点)

1.同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列

2.形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成

3.排列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式时间序列（算例）表4-

1

国内生产总值等时间序列年份

国内生产总值(亿元)年末总人口(万人)

人口自然增长率(‰)

居民消费水平(元)19918547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.61143314.3912.9811.6011.4511.2110.5510.428038961070133117812311272603199115821319911717211991185137199119854019912112时间序列的分类时间序列平均数序列绝对数序列相对数序列时期序列时点序列时间序列的分类1.绝对数时间序列y

一系列绝对数按时间顺序排列而成y

时间序列中最基本的表现形式y

反映现象在不同时间上所达到的绝对水平y

分为时期序列和时点序列时期序列：现象在一段时期内总量的排序时点序列：现象在某一瞬间时点上总量的排序相对数时间序列·

一系列相对数按时间顺序排列而成平均数时间序列一系列平均数按时间顺序排列而成时间序列的编制原则■(概念要点)1.

时间长短要一致2.

总体范围要一致3.

指标内容要一致4.

计算方法和口径要一致“一致性”时间序列的水平分析发展水平平均发展水平增长量平均增长量发展水平与平均发展水平（概念要点）发展水平现象在不同时间上的观察值说明现象在某一时间上所达到的水平表示为Y1

，Y2，…，Yn

或Y0

，Y1

，Y2

，…，Yn平均发展水平

现象在不同时间上取值的平均数，又称序时平均数说明现象在一段时期内所达到的一般水平不同类型的时间序列有不同的计算方法绝对数序列的序时平均数（计算步骤）首先，判断所要计算的绝对数序列的类型。绝对数序列时期序列时点序列连续时点序列间隔不等的时点序列间隔相等的时点序列其次，根据不同序列的类型选择不同的计算方法。绝对数序列的序时平均数（计算方法）时期序列计算公式：【例4.1】根据表4.1中的国内生产总值序列，计算各年度的平均国内生产总值绝对数序列的序时平均数（计算方法）Æ

连续时点序列通常将逐日排列的时点数据视为连续时点序列，可采用简单算术平均数法，计算公式：例如：已知某企业一个月内每天的工人人数，要计算该月内每天平均工人人数，可将每天的工人人数相加，除以该月的日历日数即可。绝对数序列的序时平均数（计算方法）Æ

间隔不等的时点序列YnYn-1T1

T2Y1

Y2

Y3

Y4T3Tn-1绝对数序列的序时平均数（计算方法）计算步骤计算出两个点值之间的平均数用相隔的时间长度(Ti

)加权计算总的平均数时间间隔相等的时点序列的序时平均数（实例）【例4.2】根据表4-1中年末总人口数序列，计算1991～1998年间的年平均人口数相对数序列的序时平均数（计算方法）先分别求出构成相对数或平均数的分子ai和分母bi

的平均数再进行对比，即得相对数或平均数序列的序时平均数基本公式为：相对数序列的序时平均数（计算方法与实例）【例4.3】已知1994~1998年我国的国内生产总值及构成数据如表4-3。计算1994~1998年间我国第三产业国内生产总值占全部国内生产总值的平均比重表4-

3

我国国内生产总值及其构成数据年份1911911949959699798国内生产总值(亿46759.414930.031.958478.117947.2367884.620427.530.174772.424033.337552.2104.3.8元)其中∶第三产业(亿元)比重(%)相对数序列的序时平均数（计算结果）1解：1）第三产业国内生产总值的平均数2）全部国内生产总值的平均数3）第三产业国内生产总值所占平均比重增长量（概念要点）??1、报告期水平与基期水平之差，说明现象在观察期内增长的绝对数量2、分为逐期增长量与累积增长量逐期增长量报告期水平与前一期水平之差计算公式为：Δi=Yi-Yi-1

(i

=1,2,…,n)累积增长量报告期水平与某一固定时期水平之差计算公式为：Δi=Yi-Y0(i=1,2,…,n)?3、各逐期增长量之和等于最末期的累积增长量平均增长量（概念要点）1.

观察期内各逐期增长量的平均数2.

描述现象在观察期内平均增长的数量3.

计算公式为时间序列的速度分析发展速度增长速度平均发展速度 平均增长速度发展速度（概念要点）报告期水平与基期水平之比说明现象在观察期内相对的发展变化程度有环比发展速度与定期发展速度之分环比发展速度与定基发展速度（概念要点）环比发展速度报告期水平与前一期水平之比定基发展速度报告期水平与某一固定时期水平之比环比发展速度与定基发展速度（关系）1.观察期内各环比发展速度的连乘积等于最末期的定基发展速度2.两个相邻的定基发展速度，用后者除以前者，等于相应的环比发展速度增长速度（概念要点）1.增长量与基期水平之比2.又称增长率3.说明现象的相对增长程度4.有环比增长速度与定基增长速度之分5.计算公式为环比增长速度与定基增长速度（概念要点）?环比增长速度报告期水平与前一时期水平之比?定基增长速度·

报告期水平与某一固定时期水平之比发展速度与增长速度的计算•年份•9519

•

19

•949619

•19

•971998国内生产总值

•14•17•20•24(亿元)930.0947.2427.5033.3•26104.3••发展速度(%)••环比定基—••1000•12•11•11•10.23.87.78.67•12•13•16•10.26.81.04.8•增长速度8.环•20•13•17•比定—•

0

•.220•.836•.761•674（算例）【例4.4】

根据表4-1中第三产业国内生产总值序列，计算各•

年的表4环4环-

比4

发第展三速产业度国和内增生长产速总度值速，度及计以算1表994年为基期的定基发展速度和增长速度平均发展速度（概念要点）1.观察期内各环比发展速度的平均数2.说明现象在整个观察期内平均发展变化的程度3.通常采用几何法(水平法)计算4.计算公式为：平均发展速度与平均增长速度平均增长率（算例）【例4.5】根据表4.4中的有关数据，计算1994～1998年间我国第三产业国内生产总值的年平均发展速度和年平均增长率平均发展速度1.从最初水平Y0出发，每期按平均发展速度发展，经过n期后将达到最末期水平Yn,；按平均发展速度推算的最后一期的数值与最后一期的实际观察值一致。2.只与序列的最初观察值Y0和最末观察值Yn有关。3.如果关心现象在最后一期应达到的水平，采用水平法计算平均发展速度比较合适。平均发展速度—几何平均法平均发展速度—几何平均法：：：：：：公式推导：：：：：：：平均发展速度—累计法公式推导：几何平均法与累计法计算平均发展速度的应用两中方法的数理依据、计算方法和应用条件不同

几何平均法侧重从最末水平出发进行研究，按其所确定的平均发展速度推算的最末一年发展水平，与实际资料最末一年的发展水平相同

累计法侧重从各年发展水平的累计总和出发进行研究，按其所确定的平均发展速度推算的全期各年发展水平的总和，与全期各年的实际发展水平的总和相同。

我国指定国民经济发展长期计划，也有两种规定指标数值的方法：

1、以长期计划的最后一年应达水平规定的指标，如人口数、GDP、工业主要产品产量、社会消费品零售总额等，其计算平均发展速度时采用几何平均法。

2、以整个计划期应达累计数来规定的指标，如固定资产投资等，计算平均发展速度时采用累计发。速度指标的分析与应用（需要注意的问题）1.当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算速度2.例如：假定某企业连续五年的利润额分别为5、2、0、-3、2万元，对这一序列计算速度，在这种情况下，适宜直接用绝对数指标进行分

析3.在有些情况下，不能单纯就速度论速度，要注意速度与水平指标的结合分析速度指标的分析与应用表4-5甲、乙两个企业的有关资料年份甲

企

业

•

乙

企

业•利润额(

•万元)增长

•率(%)利润额

•(万元)增长率(%)•

2003

•

500

•

—

•60—•

20

•

84

•

40（算例）【例4.6】假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如表4-5速度高可能掩盖低水平，低速度可能隐藏着高水平，因此要•

结合2基00期4

水平•

进行60分0

析。增长1%绝对值一个既考察速度又兼顾水平的指标速度每增长一个百分点而增加的绝对量用于弥补速度分析中的局限性计算公式为甲企业增长1%绝对值＝500/100＝5万元乙企业增长1%绝对值＝60/100＝0.6万元第二节 时间序列的趋势分析一.时间序列的构成要素与模型二.线性趋势三.非线性趋势四.趋势线的选择时间序列的构成要素与模型（要点）??构成因素长期趋势(Secular

trend)季节变动(SeasonalFluctuation)循环波动(Cyclical

Movement)不规则波动(Irregular

Variations)模型乘法模型：Yi

=Ti

×Si

×Ci

×Ii加法模型：Yi

=Ti

+Si

+Ci

+Ii长期趋势（概念要点）现象在一段相当长的时期内所表现的沿着某一方向的持续发展变化。长期趋势可能呈现出不断向上增长的状态，也可能为不断降低的趋势。长期趋势是受某种固定的起根本性作用的因素影响的结果。长期趋势有线性趋势和非线性趋势。线性趋势线性趋势现象随时间的推移呈现出稳定增长或下降的线性变化规律测定方法有时距扩大法移动平均法移动中位数法线性模型法移动平均法(Moving

Average

Method)测定长期趋势的一种较简单的常用方法

通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，计算出一系列移动平均数

由移动平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到修匀作用，从而呈现出现象发展的变动趋势移动步长为K(1<K<n)的移动平均序列为移动平均法(实例)表4-61981～1998年我国汽车产量数据•年

•份产量(

•万辆)年

•份产量(万辆)•••••••19811982198319841985198619••••••••17.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.47•••••••1990

•19

•91

•199219931994199519••••51.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52【例4.7】已知1981～•1998年我汽车产量数据如表4-6。分别计算三年和五年移动平均趋势值，以及三项和五项移动中位数，并作图与原序列比较年份198117.56------199051.4060.3951.40198219.6320.3919.63199171.4276.5071.42198323.9825.0823.981992106.67102.65106.67198431.6433.1131.641993129.85124.4129.85198543.7237.4543.721994136.69137.27136.69198636.9842.6336.981995145.27143.16145.27198747.1849.5447.181996147.52150.35147.52198864.4756.6764.471997158.25156.26158.25198958.3558.0758.351998163.00------产量

移动平均

移动中位（万辆）

趋势值

数年份产量移动平均移动中（万辆）趋势值位数表4-7汽车产量三项移动趋势值移动平均法(实例)移动平均法(趋势图)100150200019811985

198919931997产量五项移动平均趋势值五项移动中位数汽车产量（万辆）50图4-1

汽车产量移动平均趋势图（年份）移动平均法(应注意的问题)移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置对于偶数项移动平均需要进行“正位”移动间隔的长度应长短适中

如果现象的发展具有一定的周期性，应以周期长度作为移动间隔的长度若时间序列是季度资料，应采用4项移动平均若为月份资料，应采用12项移动平均线性模型法（概念要点与基本形式）现象的发展按线性趋势变化时，可用线性模型表示线性模型的形式为—时间序列的趋势值t

—时间标号a—趋势线在Y

轴上的截距b—趋势线的斜率，表示时间t

变动一个单位时观察值的平均变动数量线性模型法（a

和b

的最小二乘估计）趋势方程中的两个未知常数a

和b

按最小二 乘法(Least-square

Method）求得根据回归分析中的最小二乘法原理使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小

最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配合趋势曲线根据趋势线计算出各个时期的趋势值线性模型法t=0，2、取时间序列的中间时期为原点时有上式可化简为（a和b的最小二乘估计）1、根据最小二乘法得到求解a

和b

的标准方程为解得：解得：线性模型法(实例及计算过程)•表4-

8

汽车产量直线趋势计算表•年份•时间标号t•产量(万辆)Yi•×Ytt•t2•趋势值•••17

.5639

.2671

.94•126

.56•21981•1•17

.5618

.601982•2•19

.63•21983•3•23

.9821

.881984•4•31

.64•31985•5•43

.7230

.261986•6•36

.98•51987•7•47

.1815

.761988•8•64

.47•51989•9•58

.3525

.151990•10•51

.40•51991•11•71

.4214

.001992•12•106

.67•71993•13•129

.8585

.621994•14•136

.69•11995•15•145

.27280

.04••••••••••••••••0

.00•9

.50•19

.00•28

.50•318

.004•497

.5016•5257

.0036•6496

.5064•7816

.00100•81215

.50144•91695

.00196•122504

.51【例4.8】利用表4-6中的数据，根据最小二乘法确定汽车产量的直线趋势方程，计算出1981～1998年各年汽车产量的趋势值，并预

•测2000年的汽车

••产量，作图与原

••序列比较

••••••••••线性模型法（计算结果）根据上表得a

和b

结果如下汽车产量的直线趋势方程为Y$t

=

-9.4995

+

9.5004

t2000、2001、2002年汽车产量的预测值为：Y$2000=-9.4995+9.5004×20=180.51

(万辆)Y2001=-9.4995+9.5004×21=190.01

(万辆)Y2002=-9.4995+9.5004×22=199.51

(万辆)线性模型法(趋势图)150200019811985

19891993

1997汽车产量

趋势值（年份）图4-2

汽车产量直线趋势汽车产量100（万辆）50非线性趋势二次曲线(Second

Degree

Curve)现象的发展趋势为抛物线形态一般形式为·a、b、c

为未知常数·根据最小二乘法求得二次曲线(Second

Degree

Curve)2.取时间序列的中间时期为原点时有1.根据最小二乘法得到求解a、b、c的标准方程为二次曲线(实例)【例4.9】已知我国1978～1992年针织内衣零售量数据如表11-9。试配合二次曲线，计算出1978～1992年零售量的趋势值，并预测1993年的零售量，作图与原序列比

较表4-

9

1978～1992年针织内衣零售量年份

零售量

(亿件)年份

零售量(亿件)119861987198819891990978197917.014.49809.114.819.715.098110.812.3111.711.298212.19.4二次曲线(计算过程)表4-10

针织内衣零售量二次曲线计算表年份时间标号t

零售量(亿件)Ytt×Ytt2t2Y

tt4•势值1978197919801981198219831984198519861987-7-6-5-4-3-2-1012347.09.19.710.811.712.113.114.314.414.815.012.3-49.0-54.6-48.5-43.2-35.1-24.2-13.1014.429.645.049.24936251694101491343.0327.6242.5172.8105.348.413.1014.459.2240112966252568116101168125•65•84•1.0•1.3•1.3•1.2•1.7•1.0•1.0•1.8二次曲线（计算结果）根据计算表得a

、b

、c

的结果如下针织内衣零售量的二次曲线方程为$tY

=

13.9924

+

0.16143

t

–

0.128878

t2Y$1993=

13.9924

+

0.16143

×8

–

0.128878

×

82=7.03

(亿件)1993年零售量的预测值为指数曲线(Exponential

curve)用于描述以几何级数递增或递减的现象一般形式为·a、b为未知常数·若b>1，增长率随着时间t的增加而增加·若b<1，增长率随着时间t的增加而降低·若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限指数曲线3.取时间序列的中间时期为原点，上式可化简为(a、b

的求解方法)采取“线性化”手段将其化为对数直线形式

根据最小二乘法，得到求解lga、lgb

的标准方程为指数曲线(实例及计算结果)【例4.10】根据表4-6中的资料，确定1981～1998年我国汽车产量的指数曲线方程，求出各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较汽车产量的指数曲线方程为2000年汽车产量的预测值为指数曲线与直线的比较比一般的趋势直线有着更广泛的应用可以反应出现象的相对发展变化程度·

上例中，b=1.14698表示1981～1998年汽车产量趋势值的平均发展速度不同序列的指数曲线可以进行比较·

比较分析相对增长程度修正指数曲线(Modified

exponential

curve)在一般指数曲线的基础上增加一个常数K一般形式为·K、a、b

为未知常数·K

>

0，a

≠

0，0

<

b

≠

1修正指数曲线用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终则以K为增长极限修正指数曲线(求解k、a、b

的三和法)趋势值K无法事先确定时采用将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有m个时期令趋势值的三个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和修正指数曲线(求解k、a、b

的三和法)设观察值的三个局部总和分别为S1，S2，S3根据三和法求得修正指数曲线（计算结果）解得K、a

、b

如下修正指数曲线（计算结果）小麦单位面积产量的修正指数曲线方程为tY$

=

3659.149

–

2230.531(

0.87836

)t2000年小麦单位面积产量的预测值为Y$2000=

3659.149

–

2230.531

(

0.87836

)

23=

3546.20

(kg)修正指数曲线(趋势图)01978图4-5单位面积产量趋势值K1982

1986

1990

1994（年份）小麦单位面积产量修正指数曲线趋势4000单位面3000积产2000量（公1000斤/公顷）K=3659.149龚铂茨曲线(Gompertz

curve)以英国统计学家和数学家B·Gompertz而命名一般形式为·K、a、b为未知常数·K

>

0，0

<

a

≠

1，0

<

b

≠

1所描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线两端都有渐近线，上渐近线为Y

K,下渐近线为Y=0Gompertz曲线(求解k、a、b

的三和法)将其改写为对数形式仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出lg

a、lg

K、b取lg

a、lg

K

的反对数求得a

和K令：则有：Gompertz曲线(实例)【例4.12】根据表4-11的数据，试确定小麦单位面积产量的

Gompertz曲线方程，求出各年

单位面积产量的趋势值，并预

测2000年的小麦单位面积产量，作图与原序列比较Gompertz曲线（计算结果）Gompertz曲线（计算结果）小麦单位面积产量的Gompertz曲线方程为2000年小麦单位面积产量的预测值为Gompertz曲线(趋势图)01978K=3566.04图4-6趋势值K1982

1986

1990小麦单位面积产量Gompertz曲线趋势1994（年份）4000单位面3000积产量2000（公斤1000/公顷）罗吉斯蒂曲线(Logistic

Curve)1.1838年比利时数学家Verhulst所确定的名称该曲线所描述的现象的特征与Gompertz曲线类似其曲线方程为·K、a、b

为未知常数·K

>

0，a

>

0，0

<

b

≠1Logistic曲线(求解k、a、b

的三和法)取观察值Yt的倒数Yt-1·当Yt-1

很小时，可乘以10的适当次方a、b、K

的求解方程为趋势线的选择观察散点图根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线一次差大体相同，配合直线二次差大体相同，配合二次曲线对数的一次差大体相同，配合指数曲线一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线对数一次差的环比值大体相同，配合Gompertz曲线倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲线比较估计标准误差第三节季节变动分析季节变动及其测定目的二.季节变动的分析方法与原理三.季节变动的调整季节变动及其测定目的季节变动·现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动；·各年变化强度大体相同、且每年重现；·扩展概念：对一年内由于社会、政治、经济、自然因素影响，形成的以一定时期为周期的有规则的重复变动；·时间序列的又一个主要构成要素。测定目的·确定现象过去的季节变化规律·消除时间序列中的季节因素季节变动的分析原理将季节变动规律归纳为一种典型的季节模型；季节模型由季节指数所组成；季节指数的平均数等于100%；根据季节指数与其平均数(100%)的偏差程度测定季节变动的程度。·如果现象没有季节变动，各期的季节指数等于100%·如果某一月份或季度有明显的季节变化，各期的季节指数应大于或小于100%季节变动的分析原理（季节模型）季节模型·时间序列在各年中所呈现出的典型状态，这种状态年复一年以相同的形态出现·由季节指数组成，各指数刻划了现象在一个年度内各月或季的典型数量特征·以各个指数的平均数等于100%为条件而构成·如果分析的是月份数据，季节模型就由12个指数组成；若为季度数据，则由4个指数组成季节变动的分析原理（季节指数）季节指数反映季节变动的相对数以全年月或季资料的平均数为基础计算的平均数等于100%·月(或季)的指数之和等于1200%(或400%)指数越远离其平均数(100%)季节变动程度越大计算方法有同期平均法和趋势剔出法同期平均法(原理和步骤)根据原时间序列通过简单平均计算季节指数假定时间序列没有明显的长期趋势和循环波动计算季节指数的步骤·计算同期（同月或同季)的平均数·计算全部数据的总月(总季)平均数·计算季节指数(S)同期平均法(实例)表年 份4-12

1978一季度～1983年各季销二季度度农业生产资料零售额数据售额(亿元)三

•

四季度

季度•1•62.9786•88.0•1•71.•95.3•79.19795•106.•88.5•64.0•1•74.3•96.4•68.79808•106.•95.7•68.5•1•75.0•107.•69.99819•117.3•78.4•1•85.6•115.•90.39822•131.4【例4.13】已知我国1978～1983年各季度的农业生产资料零售额数据如表11.15。试用按季平均法计算各季的季节指数按月(季)平均法(计算表)表4-

13

农业生产资料零售额季节指数计算表年份销售额(亿元)一季度二季度三季度四季度全年合计293.732197862.688.079.164.04.0197971.595.388.568.734198074.8106.396.468.56.0198175.9106.095.769.934198285.2117.6107.378.47.5198386.5131.1115.490.3388.5423.3456.582.439.21趋势剔除法(原理和步骤)先将时间序列中的长期趋势予以消除，再计算季节指数。计算季节指数的步骤：·1）计算移动平均趋势值(T)·2）从序列中剔出趋势值(Y/T)·3）按前述方法计算季节指数(S)----106.1283.5990.91118.5182.57887.42112.85111.2778.9787.63122.26108.7077.1191.07122.42110.2979.0884.94125.65----年/份零售额(万元)Y趋势值(万元)T1978.162.6--1978.288.0--1978.379.174.541978.464.076.561979.171.578.651979.295.380.411979.388.581.411979.468.783.201980.174.885.561980.2106.386.531980.396.486.641980.468.586.741981.175.986.611981.2106.086.701981.395.788.041981.469.990.651982.185.293.551982.2117.696.061982.3107.397.291982.478.499.141983.186.5101.841983.2131.1104.341983.3115.4--1983.490.3--表4-14农业生产资料零售季节指数计算表Y/T

(%)趋108.势71剔除法(续前例：趋势剔除计趋势剔除法(季节指数计算表)表4-

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农业生产资料零售额季节指数计算表年份销售额(亿元)一季度二季度三季度四季度全年合计106.183.529197819791980198119821983—90.9187.4287.6391.0784.94—118.51122.85122.26122.42125.65108.71111.27108.70110.282.5778.9777.1179.098——合计441.9611.70545.0401.20893300.10季节变动14图4-72

3（季度）农业生产资料零售额季节变动150季节指100数（%

）500季节变动的调整(要点和公式)将季节变动其从时间序列中予以剔除，以便观察和分析时间序列的其他特征消除季节变动的方法是将原时间序列除以相应的季节指数，计算公式为Y

=

T×S

×C×IS

S=

T×C×I季节变动的调整(趋势图)3001978.11979.11980.1

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