2022-2023学年八年级数学常考点精练（苏科版）：专题42 一次函数中的全等（解析版）

专题42一次函数中的全等1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是直线上一点，且，则点的坐标为______．【答案】【分析】将线段绕点逆时针旋转得到线段，根据全等三角形的性质易得到，取的中点，直线与直线的交点即为点求出直线的解析式，利用方程组确定交点坐标即可．【详解】解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点B作y轴的垂线与分别过点A，作x轴的垂线，交于点M和点N，交x轴于点E，MN与y轴交于点C，如下图．∴，∴，由旋转的性质可知，，，∴，∴，∴(AAS)，∴，，∴，，∴，取的中点，直线与直线的交点即为点，设直线的解析式为，把B、K坐标代入得，解得，∴直线的解析式为，将直线与直线联立组成方程组，解得，点坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．2．如图，在平面直角坐标系中，直线yx+4与x轴，与y轴分别交于点A、点B、点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．(1)求AB的长与点C的坐标；(2)求点D的坐标；(3)点P是x轴上的动点（不与点A重合），连接DP，求使∠ADP＝45°时点P的坐标；(4)在（3）的条件下直接写出△ADP的面积．【答案】(1)5，(2)(3)或(4)15或45【分析】（1）利用直线与x轴，与y轴分别交于点A、点B、求出点A、点B的坐标，进而即可求得AB的长与点C的坐标；（2）设OD=x，则，在中，，据此求出x的值从而得到点D的坐标；（3）过A作，在直线l上取AM=AD，AN=AD，过点A作直线轴，过M作，垂足为，过D作，垂足为，再证明，得到M的坐标与直线MD的解析式，进而得到P的坐标，同理得到N的坐标与直线DN的解析式，由此即可求解；（4）由（3）的结论即可求解．（1）在直线上，令y=0，则x=3，令x=0，则y=4，，，△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，，．（2）设OD=x，则，在中，，解得：x=6．（3）过A作，在直线l上取AM=AD，AN=AD，过点A作直线轴，过M作，垂足为，过D作，垂足为，，，，，，在中，，，而∴,设，，解得：，，令x=0，则y=-2，，同理：可以证明，进而即可得到，设，，解得：，，令y=0，则x=18，综上：或．（4）由（3），有：或15，且OD=6，，或．【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，翻转折叠问题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，能准确作出辅助线构造等腰三角形并构造出全等三角形是关键．3．如图1，已知直线AB：（）与x轴交于点A，与y轴交于点B．(1)求点A、B的坐标（用含m的式子表示）；(2)如图2，过点C（1，0）作CE上x轴，与AB交于点D，与直线AE：交于点E．①求证：CD＝2DE；②如图3，若，点F坐标为，过点F作FG上x轴，点Ｍ是直线FG上一点，∠AMF＝∠AEC－∠BAO，求点M的坐标．【答案】(1)点A的坐标为（3m，0）；点B的坐标为（0，2m）(2)①见解析；②点M的坐标为或【分析】（1）在中，令得，令得，即可求解；（2）①由点C（1，0），轴，得D，E的坐标，进而表示出CD和DE，即可求解；②过点E作轴，垂足为H，连接BE，根据和勾股定理求出A、B、E的坐标，进而求得AE和BE，从而得到，结合点F的坐标易得，然后利用全等三角形的性质求解．（1）解：∵在中，令时，，∴点B的坐标为（0，2m）．∵令时，，即．∴点A的坐标为（3m，0）；（2）①证明：∵点C（1，0），轴，∴当时，，∴点D的坐标为（1，），∴当时，，∴点E的坐标为（1，），∴，，∴；②∵点A、B的坐标分别为（3m，0）、（0，2m），∴，．∵在中，，∴，即，∴．∵，∴舍去，即．∴A、B、E的坐标分别为（6，0）、（0，4）、（1，5），∴，，，，∴在中，．过点E作EH⊥y轴，垂足为H，连接BE．∴，．∴在中，．∵，∴，∴．∵轴，∴．∵点F坐标为，∴．∵轴，，∴．∵，∴．在和中，∴，∴，∴点M的坐标为或．【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及一次函数图象上点坐标特征，全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用，理解相关知识是解答关键．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点点且a、b满足．______；______．点P在直线AB的右侧，且，若点P在x轴上，则点P的坐标为______；若为直角三角形，求点P的坐标；如图2，在的条件下，且点P在第四象限，AP与y轴交于点M，BP与x轴交于点N，连接求证：提示：过点P作交x轴于【答案】（1），4；（2）；或；（3）见解析.【分析】（1），根据非负数的性质即可求解；（2）①点P在x轴上，则OP=OB=4，即可求解；②分∠BAP=90°、∠ABP=90°两种情况，求解即可；通过证明△MEP≌△HFP（AAS）得：∠2=∠FHP，证明△MNP≌△HNP（SAS），∠1=∠NHP，即可求解．【详解】解：，即：，，故答案是，4；点P在x轴上，则，故：答案是；当时，，，，，又，，≌，，，，故点P的坐标为；当时，同理可得：点P的坐标为，故点P的坐标为或；过点P作交x轴于H，过点P分别作x、y轴的垂线，交于点F、E，由知，，，，，又，≌，，，，又，≌，，．故答案为（1）-2,4；（2）①（4，0）；②（2，-2）或（4,2）；（3）见解析.【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查三角形全等、等腰直角三角形的性质、因式分解等知识点．5．直线交y轴于点A，交x轴于点B，以为边在第一象限内作正方形，(1)求顶点C、D的坐标；(2)点P在x轴上，且的面积是正方形面积的一半，求点P坐标．【答案】(1)点D的坐标为（2，3），点C的坐标为（3，1）；(2)点P的坐标为（1，0）或（6，0）【分析】（1）如图所示，过点D作DE⊥y轴于E，先求出点A、B的坐标从而得到OA=2，OB=1，然后证明△AED≌△BOA得到AE=OB=1，DE=OA=2，则OE=3，即可求出点D的坐标，同理即可求出点C的坐标；（2）分两种情况：当点P与点B重合时，当点P是直线AC与x轴的交点时，两种情况讨论求解即可．(1)解：如图所示，过点D作DE⊥y轴于E，∵直线交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），∴OA=2，OB=1，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，∴∠DAE+∠BAO=90°，又∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAE=∠ABO，∵∠AED=∠BOA=90°，∴△AED≌△BOA（AAS），∴AE=OB=1，DE=OA=2，∴OE=3，∴点D的坐标为（2，3），同理可求得点C的坐标为（3，1）；(2)解：如图所示，当点P与点B重合时，∵四边形ABCD是正方形，∴，即，∴点的坐标为（1，0），连接AC并延长交x轴于，连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，CD=CB，∴又∵，∴（SSS），∴，∵，∴，∴,∴，∴点的坐标为（6，0）；综上所述，点P的坐标为（1，0）或（6，0）．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．6．（1）基本图形的认识：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形．（2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标；（3）基本图形的应用：如图3，一次函数y＝－2x＋2的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标．【答案】（1）见详解；（2）；（3）（6，0）【分析】（1）证明△ABE≌△ECD（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，则可得出结论；（2）过点C作CH⊥x轴于点H，证明△AOB≌△CHA，从而得到AH、CH，则可得到点C的坐标；（3）过点B作BE⊥AB，交AD于点E，过点E作EF⊥OD，交OD于点F，由一次函数解析式求出OA＝2，OB＝1，证明△AOB≌△BFE（AAS），由全等三角形的性质得出BF＝OA＝2，EF＝OB＝1，求出E点坐标，求出直线AC的解析式，则可得出答案．【详解】证明：在△ABE和△ECD中，∵∴

∴，∵∴∴∴∴△AED是等腰直角三角形；（2）解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图2，则∠AHC＝90°．∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠OAB＝180°−90°−∠HAC＝90°−∠HAC＝∠HCA．在△AOB和△CHA中，∵，∴△AOB≌△CHA（AAS），∴AO＝CH，OB＝HA，∵A（2，0），B（0，3），∴AO＝2，OB＝3，∴AO＝CH＝2，OB＝HA＝3，∴OH＝OA＋AH＝5，∴点C的坐标为（5，2）；（3）解：如图3，过点B作BE⊥AB，交AD于点E，过点E作EF⊥OD，交OD于点F，把x＝0代入y＝−2x＋2中，得y＝2，∴点A的坐标为（0，2），∴OA＝2，把y＝0代入y＝−2x＋2，得−2x＋2＝0，解得x＝1，∴点B的坐标为（1，0），∴OB＝1，∵AO⊥OB，EF⊥BD，∴∠AOB＝∠BFE＝90°，∵AB⊥BE，∴∠ABE＝90°，∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∠ABO＋∠EBF＝90°，又∵∠ABO＋∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠EBF，在△AOB和△BFE中，，∴△AOB≌△BFE（AAS），∴BF＝OA＝2，EF＝OB＝1，∴OF＝3，∴点E的坐标为（3，1），设直线AC的解析式为y＝kx＋b，由题意可得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x＋2，令y＝0，解得x＝6，∴D（6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．7．如图，平面直角坐标系xOy中，：交x轴于A，交y轴于B．另一直线：交x轴于C，交y轴于D，交于E．已知≌．(1)求解析式．(2)P，Q分别在线段AB和CD上，且，当轴时，P、Q两点的坐标．【答案】(1)(2)，【分析】（1）由的解析式求出与轴的交点的坐标，根据全等条件求出两点坐标，将点坐标代入解析式中求出的值，回代入解析式即可；（2）当轴时，连接PQ，交y轴于点H，过Q作轴于点M，过P作轴于点N，可得，，，；设P点坐标为，代入求得P点坐标，轴，有相同的纵坐标，进而求解点坐标即可．(1)解：的坐标分别为将坐标代入得解得∴的坐标分别为∵∴∴，将两点坐标代入解析式得解得∴的解析式为：．(2)解：如图当轴时，连接PQ，交y轴于点H，过Q作轴于点M，过P作轴于点N在和中∵∴∴，∴设P点坐标为，代入的解析式中得解得∴点坐标为把代入中得解得∴点坐标为∴两点的坐标分别为，．【点睛】本题考查了三角形全等，一次函数解析式，平行直线点坐标的特点等知识．解题的关键在于正确的求值．8．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线AC：y＝2x－6，交直线AO：y＝x于点A．（1）直接写出点A的坐标________；（2）若点E在直线AC上，当S△AOE＝6时，求点E的坐标；（3）如图2，若点B在x轴正半轴上，当△BOC的面积等于△AOC的面积一半时，求∠ACO＋∠BCO的大小．【答案】（1）A（4，2）；（2）E（2，－2）或（6，6）；（3）∠ABO＋∠DBO＝45°【分析】（1）联立方程组可求解；（2）设点E的坐标为(a，b)，分两种情况讨论：当点E在A点上方时；当点E在A点下方时求解即可；（3）由面积关系可求OB的长，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求解．【详解】解：（1）联立方程组可得：，解得：，∴点A（4，2），故答案为（4，2）；（2）∵直线y=2x-6与y轴交于点M，令2x-6=0，解得：x=3，∴点M（3，0），设点E的坐标为(a，b)，当点E在A点上方时，则==6，解得：b=6,把b=6代入y=2x-6得：x=6,∴E的坐标为(6，6)，当点E在A点下方时，则==6，解得：b=-2或2（舍去）,把b=-2代入y=2x-6得：x=2,∴E的坐标为(2，-2)，综上：E（2，－2）或（6，6）（3）由（2）得：C（0，-6），∵△BOC的面积等于△AOC面积的一半，∴×OC×OB=××OC×4，∴BO=2，如图，作点B关于y轴的对称点B'，连接B'C，AB'，过点A作AH⊥x轴于H点，∴OB=OB'=2，BB'⊥CO，∴BC=B'C，又∵BB'⊥CO，∴∠BCO=∠B'CO，∵AH=B'O=2，B'H=6=CO，∠AHB'=∠B'OC=90°，∴△AHB'≌△B'OC（SAS），∴∠AB'H=∠B'CO，AB'=B'C，∴∠AB'H+∠CB'O=∠B'CO+∠CB'O=90°，∴∠B'CA=∠ACO+∠B'CO=45°，综上所述：当点B在x轴正半轴上时，∠ACO+∠BCO=45°．【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．9．在平面直角坐标系中，AB交y轴和x轴于A、B两点，点和，且m，n满足．（1）求点A、B的坐标；（2）过点A作，截取，点D在第一象限内，过点D作轴于C，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿y轴向下运动，连接DP、DO，若P点运动的时间为t，三角形PDO的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围．（3）在（2）的条件下，连接AC，在坐标平面内是否存在点M，使与全等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（0，4），B（-3，0）；（2）当0≤t＜2时，S=；当t＞2时，S=；（3）存在，M（3，0）或M（0，3）或M（1，4）【分析】（1）解二元一次方程组求出m和n的值，即可求出点A、B的坐标；（2）根据题意当0≤t＜2和t＞2时，分别表示出OP的长度，然后根据三角形面积公式求解即可；（3）根据题意分3种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：，解得，∴A（0，4），B（-3，0）．（2）作DH⊥AO于H，∵∠DAH+∠ADH=90°，∠DAH+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠ADH．在△DAH和△ABO中，，∴△DAH≌△ABO（AAS），∴DH=AO=4，AH=BO=3，DC=OH=1．∴①当0≤t＜2时，∵AP=2t，OP=4-2t，∴S=．②当t＞2时，∵AP=2t，OP=2t-4，∴S=．（3）∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=45°．∵∠DCO=90°，∴∠DCA=45°．∴如图所示，当△ACD≌△ACM时，∠ACM=∠ACD=45°，∴∠DCM=90°，∴点M在x轴上．∵DC=CM=1，∴OM=3，∴M（3，0）．当△ACD≌△CAM时，点M在y轴上时，∠ACD=∠CAM=45°，∵AM=CD=1，∴OM=3，∴M（0，3）．当△ACD≌△CAM时，点M在第一象限时，∠ACD=∠CAM=45°，∴∠OAM=90°，∴AM⊥y轴．∵AM=CD=1，∴M（1，4）．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，解二元一次方程组的方法．10．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x＋9于点C．（1）点C的坐标是．（2）点M是直线AB上一点，点N是直线y＝﹣2x＋9上一点，连接线段MN，若MNx轴，且MN＝6，求出所有符合条件的点M的坐标．（3）在（2）的条件下，平面上是否存在点P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（1，7）（2）M（-3，3）或M（5，11）（3）P（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，4）【分析】（1）联立两直线即可求解；（2）设点M的横坐标为a，分别求出M、N点的坐标，根据MN＝6，得到故可求解；（3）先求出B点坐标，得到MN=OB=6，故当△BOP和△MNC全等时，对应线段相等，求出MC，NC，设点P（x1，x2），得到BP=，OP=，根据BP=NC，OP=MC或BP=MC，OP=NC分别列出方程即可求解．【详解】（1）联立两直线解得∴点C的坐标是（1，7）故答案为：（1，7）；（2）设点M的横坐标为a，则M（a，a+6），∵MNx轴∴N点的纵坐标为a+6，代入直线y＝﹣2x＋9∴a+6＝﹣2x＋9∴x=∴N（，a+6）∵MN＝6，∴解得a=-3或a=5∴M（-3，3）或M（5，11）（3）存在令直线y＝x＋6中x=0，y=6故B（0，6）∴OB=6故MN=OB=6故当△BOP和△MNC全等时，对应线段相等①当M（-3，3）、N（3，3）时在△MNC中，MC=，NC=，设点P（x1，x2），故BP=，OP=当BP=NC，OP=MC时，则，解得或；当BP=MC，OP=NC时，则，解得或；∴P点坐标为（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，2）；②当M（5，11）、N（-1，11）时，四种情况与①一致；综上，P点坐标为（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，2）．【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、一次函数的图像与性质及勾股定理的运用．11．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA、OB、AB的长分别为a、b、c，且满足，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）A的坐标为_________，B的坐标为_________．（2）如图2，连结BP，当t为何值时，BP平分∠ABO．（3）过P作PD⊥AB交直线AB于D，交y轴于Q，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使POQ与AOB全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）；（3）存在，或【分析】（1）根据非负性求出的值即可；（2）作，根据平分，得出，设，则，根据，即：，即可解出；（3）当时，得，又根，得，即，，；当时，得，同理可得：，即可解出．【详解】解：（1），根据非负性得，，，，，故答案是：，；（2）作，平分，，，则，，即：，，，当秒时，平分，（3）如图，当时，，，，，，，当时，，同理可得：，，，．【点睛】本题考查了角平分线、三角形全等、非负性、一次函数，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想求解．12．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OB上，将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，直线DC交AB于点E．（1）求点C的坐标；（2）若点P在直线DC上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当△CPQ和△CBE全等时，直接写出点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）．【答案】（1）C（0，）；（2）（﹣2，0）或（2，3）或（﹣）【分析】（1）首先求出A（3，0），B（0，4），得出AB＝5，设OC＝x，则BC＝4﹣x，在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2，解方程即可；（2）首先可证∠BEC＝∠COD＝90°，分当点D与P重合，当CQ＝BC＝时，当PC＝BE＝2，，时，再分别根据图形性质求出点P的坐标即可．【详解】解：（1），令则令则A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵∠AOB＝90°，由勾股定理得，AB＝，∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，∴AD＝AB＝5，∴OD＝2，设OC＝x，则，在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，∴C（0，）；（2）设为解得：所以直线CD的解析式为，∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，∴∠ABO＝∠CDO，∵∠BCE＝∠DCO，∴∠B