2022-2023学年八年级数学常考点精练（苏科版）：专题33 已知两点坐标求两点距离（原卷版）

专题33已知两点坐标求两点距离1．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．(1)已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；(2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；(3)已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．2．已知：在平面直角坐标系中，两点的横向（或级向）距离可以用两点横坐标（或纵坐标）的差的绝对值来表示．(1)如图，平面内点A坐标为，点B坐标为，则两点的横向距离______，纵向距离______，最后，可得______．(2)平面内有点，点，请参考（1）中方法求线段的长．（用含m的式子表示）3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A（0，2），B（8，8），点C（m，0）为x正半轴上一个动点．（1）当m＝4时，写出线段AC＝，BC＝．（2）当0＜m＜8时，求△ABC的面积．（用含m的代数式表示）（3）当点C在运动时，是否存在点C使△ABC为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在，请说明理由．4．在平面直角坐标系中，若两点关于过原点的一条直线对称，则我们称这两点关于这条直线互为“镜面点”，这条直线叫“镜面直线”．例如：M（﹣1，2）和M′（1，2）关于y轴对称，则我们称M和M′关于y轴互为“镜面点”，y轴为“镜面直线”．若已知两点坐标P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则P1、P2之间的距离为．如M（﹣1，2）和N（3，5）的距离为．实验与探究：（1）直线l为∠AOA′角平分线所在的直线，由图观察易知A（0，2）关于直线l的镜面点A′的坐标为（2，0），在图中找出B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′、C′的位置，请写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为；（不必证明）拓展与应用：（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出这个和的最小值．5．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．探究一：求方程|x﹣1|＝3的解，探究|x﹣1|的几何意义如图①，在以O为原点的数轴上，设点对应点的数为x﹣1，由绝对值的定义可知，点与O的距离为|x﹣1|，可记为：O＝|x﹣1|．将线段O向右平移一个单位，得到线段AB，此时点A对应的数为x，点B的对应数是1，因为AB＝O，所以AB＝|x﹣1|．因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．（1）求方程|x﹣1|＝3的解，因为数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离都为3，所以方程的解为．探究二：探究的几何意义，探究的几何意义如图②，在直角坐标系中，设点M的坐标为(x，y)，过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点坐标(x，0)，Q点坐标(0，y)，|OP|＝x，|OQ|＝y，在RtOPM中，PM＝OQ＝y，则MO＝＝＝，因此的几何意义可以理解为点M(x，y)与原点O(0，0)之间的距离MO．探究三：探究的几何意义如图③，在直角坐标系中，设点的坐标为(x﹣1，y﹣5)，由探究（二）（1）可知，O＝，将线段O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为(x，y)，点B的坐标为(1，5)．因为AB＝O，所以AB＝，因此的几何意义可以理解为点A(x，y)与点B(1，5)之间的距离AB．（2）探究的几何意义，请仿照探究二（2）的方法，在图④中画出图形，并写出探究过程．（3）的几何意义可以理解为：．拓展应用：（4）的几何意义可以理解为：点A(x，y)与点E(2，﹣1)的距离与点A(x，y)与点F（填写坐标）的距离之和．（5）的最小值为．（直接写出结果）6．阅读下列一段文字，然后回答问题．【阅读】已知平面内两点，，则这两点间的距离可用下列公式计算：例如：已知，，则这两点间的距离．特别地，如果两点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或．【解答】（1）已知，，试求，两点间的距离；（2）已知，在平行于轴的同一条直线上，点的横坐标为5，点的横坐标为-1，试求，两点间的距离；（3）已知的顶点坐标分别为，，，你能判定的形状吗?请说明理由．7．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的对称中心的坐标为（，）．观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1（0，－1），P2（2，3）的对称中心是点A，则点A的坐标为________；（2）另取两点B（－1.6，2.1），C（－1，0）．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A，B，C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处……则点P3，P8的坐标分别为________，________．拓展延伸：（3）求出点P2018的坐标，并直接写出在x轴上与点P2018，C构成等腰三角形的点的坐标．8．阅读理解，在平面直角坐标系中，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1P2的距离．如图1，作Rt△P1P2Q，在Rt△P1P2Q中，＝＋＝，所以＝．因此，我们得到平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式为＝．根据上面得到的公式，解决下列问题：（1）已知平面两点A(－3，4)，B(5，10)，求AB的距离；（2）若平面内三点A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，试判断△ABC的形状，说明理由；（3）如图2，在有对称美的正方形AOBC中，A(－4，3)，点D在OA边上，且D(－1，)，直线l经过O，C两点，点E是直线l上的一个动点，求DE＋EA的最小值．9．定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即（1）若A（2，1）和B（，3），则______；（2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值（3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示）10．阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2）），M，N两点之间的距离可以用公式MN＝计算．解答下列问题：（1）若点P（2，4），Q（﹣3，﹣8），求P，Q两点间的距离；（2）若点A（1，2），B（4，﹣2），点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由．11．阅读下列一段文字，然后回答下列问题：材料1：已知平面内两点，则这两点间的距离可用下列公式计算：．例如：已知，则这两点的距离材料2：在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段中点坐标为例如：点、点，则线段的中点的坐标为，即如图，已知，求线段的长度和中点的坐标；若为轴上一动点，求的最小值；已知的顶点坐标分别为，你能判定的形状吗？请说明理由．12．认真阅读下列材料，然后完成解答：【材料】如图，已知平面直角坐标系中两点A（x1，y1）、B（x2，y2），如何求A、B两点间的的距离|AB|的值？过点A向y轴作垂线AN1、过点B向x轴作垂线BM2，垂足分别为N1（0，y1）和M2（x2，0），直线AN1和BM2相交于点Q．在Rt△AQB中，|AB|2=|AQ|2+|BQ|2为了计算AQ和BQ，过点A向x轴作垂线，垂足为M1（x1，0）；过点B向y轴作垂线，垂足为N2（0，y2），于是有|AQ|=|M1M2|=|x3-x1|，|BQ|=|N1N2|=|y2-y1|．所以，|AB|2=．由此得到A（x1，y1）、B（x2，y2）两点间的距离公式：．根据定义：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离．因此，线段AB的长度计算公式为．【问题】（1）平面直角坐标系中有两点A（0，1）、B（2，3），求线段AB的长；（2）表示线段MN的长，其中点M的坐标为（a，b），点N的坐标为______；（3）如图，在x轴上有一点P（x，0），试求PA+PB的最小值．13．如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0），B（b，c），且（a﹣8）2＋|b﹣3|＋＝