2022-2023学年八年级数学常考点精练（苏科版）：专题01 倍长中线证全等（解析版）

专题01倍长中线证全等倍长中线模型1．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到的理由是（

）．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA(2)AD的取值范围是（

）．A．

B．

C．

D．(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【答案】(1)B(2)C(3)见解析【解析】【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．(1)∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B；(2)∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD，∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选：C．(3)延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．∵AD是△ABC中线∴CD＝BD∵在△ADC和△MDB中∴∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠M，∴BF＝BM（等角对等边）又∵BM＝AC，∴AC＝BF．【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．类型一倍长中线基本运用2．已知AB=4，AC=2，D是BC的中点，AD是整数，则AD=_______．【答案】2【解析】【分析】延长AD至E，使得AD=DE，连接EC，可证明△ADB≌△EDC，从而有EC=AB=4，即有：4-2<AE<4+2，然后确定AD的取值范围，从而确定AD的值．【详解】延长AD至E，使得AD=DE，连接EC，如图∵D是BC的中点∴BD=CD在△ADB与△EDC中∴△ADB≌△EDC∴EC=AB=4∵AC=2∴4-2<AE<4+2即2<AE<6∵AE=2AD∴1<AD<3∵AD为整数∴AD=2【点睛】本题考查了三角形的三边不等关系，全等三角形的判定与性质，关键是构造全等三角形，即常说的倍长中线方法．3．如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是_____．【答案】2＜CD＜7【解析】【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出CD的取值范围．【详解】解：已知等式整理得：（a2−10a＋25）＋（b2−18b＋81）＝0，即（a−5）2＋（b−9）2＝0，∵（a−5）2≥0，（b−9）2≥0，∴a−5＝0，b−9＝0，解得：a＝5，b＝9，∴BC＝5，AC＝9，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，∵CD为AB边上的中线，∴BD＝AD，在△BCD和△AED中，，∴△BCD≌△AED（SAS），∴AE＝BC＝a，在△ACE中，AC−AE＜CE＜AC＋AE，∴AC−BC＜2CD＜AC＋AE，即b−a＜2CD＜a＋b，∴＜CD＜，则2＜CD＜7．故答案为：2＜CD＜7．【点睛】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】延长AD至点E，使DE=AD，证明,由全等性质求出相关的线段长度，在中，由，代入数值即可得到答案．【详解】解：延长AD至点E，使DE=AD，如下图：∵D是BC的中点∴BD=CD在和中：∴∴∵AD=5∴AE=10在中，由得：即：故答案为：【点睛】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形的三边关系，牢记相关知识点并灵活应用是解题关键．二、解答题(共0分)5．如图，在和中，，，、分别为、的中点，且，求证：≌．

【答案】详见解析【解析】【分析】分别延长、到，，使得，，连接、，易证≌，≌，可得到，．易证≌，可得．再证明≌．可得，，即可证得≌.【详解】解：如图，分别延长、到，，使得，，连接、，

在△ACD与△EDB中∴△ACD≌△EDB（SAS）同理可证,∴AC=EB，;在△ABE与中，∴△ABE（SSS）∴，∴,∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，,∴；在△ABC与中∴△ABC（SAS）【点睛】本题考查全等三角形的证明，在证明全等但条件不够的时候可以考虑做辅助线，并且本题有中点，所以考虑倍长中线的辅助线做法是本题的解题关键.6．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD．求证：AE＝AC．【答案】证明见解析．【解析】【详解】试题分析：首先根据题意延长至点，使，连结，根据三角形中线的性质得到，然后利用SAS判定≌（SAS），再根据全等三角形的性质得到利用外角性质及等式的性质得到，利用SAS得到≌，利用全等三角形的对应边相等得到，由，等量代换即可得证.试题解析：证明：延长至点，使，连结，∵是的中线，∴≌（SAS），是的中线，又，∴≌（SAS），即7．如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC．求证：CD=2CE．【答案】见解析【解析】【详解】试题分析：如图，考虑到CE是△ABC的中线，我们延长CE到F，使EF=CE，这样CF=2CE，结合已知条件可证△AEC≌△BEF，并可进一步证得△CFB≌△CDB，得到CF=CD，从而可得结论CD=2CE.试题解析：如图，延长CE到点F，使EF=CE，则CF=2CE，∵CE是△ABC的中线，∴

AE=BE，在△ACE和△BFE中，∴△ACE≌△BFE（AAS），∴AC=BF，∠A=∠ABF，又∵∠ACB=∠ABC，CB是△ADC的中线，∴AC=AB=BD=BF，∠DBC=∠A+∠ACB=∠ABF+∠ABC，即∠DBC=∠FBC，在△DBC和△FBC中，，∴△DBC≌△FBC（SAS），∴DC=CF=2CE．点睛：在这类有关三角形中线的问题中，延长中线一倍，构造全等三角形是我们在解题中常用的一种辅助线作法，需认真去体会.8．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，DE=2AM，点M为BC的中点，连接AM．求证：AD⊥AC【答案】见解析【解析】【分析】延长AM至N，使MN=AM，证△AMC≌△NMB，推出AC=BN=AD，ED=AN，证△EAD≌△ABN，得到∠EAD+∠BAC=180°，即可证明AD⊥AC．【详解】延长AM至N，使MN=AM，连接BN，∵点M为BC的中点，∴CM=BM，在△AMC和△NMB中，，∴△AMC≌△NMB（SAS），∴AC=BN，∠C=∠NBM，∠CAM=∠N，∵DE=2AM，AD=AC，∴DE=AN，AD=BN，在△EAD和△ABN中，，∴△EAD≌△ABN（SSS），∴∠EAD=∠ABN，∴∠EAD+∠BAC=∠EAD+∠BAN+∠CAM=∠ABN+∠BAN+∠N=180，∵AB⊥AE，∴∠EAB=90°，∴∠DAC=360°-∠EAB-(∠EAD+∠BAC)=90°，∴AD⊥AC．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，延长AM至N，使MN=AM，利用“中线倍长”构造全等三角形的是解题的关键．类型二倍长中线综合运用9．已知，，，．直线过点，交、于点、．（1）若是中线，求证：；（2）若，求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）延长至，使，易证≌，可得，，再根据可得，再利用∠BAC、∠BAE、∠EAD和∠DAC四个角和为360°，可得，利用△AEF的内角和可得，可得，即可证明≌，最后利用等角的余角相等的等量代换以及△ABN的内角和为180°可得出结论.（2）过点作交的延长线于，则，根据，可得；，可得，等量代换得出．根据周角等于360°，可得；根据三角形内角和可得，可得，则可证明≌（AAS），得到；易证≌，即可得到．【详解】解：（1）如图，延长至，使，∵是中线，∴．在和中，，∴≌（SAS）．∴，．∵，∴．∵，，∴．∵，∴．在和中，，∴≌（SAS）．∴．∵，∴．∴．在中，，∴．（2）如图，过点作交的延长线于，则，∵，∴．∵，∴．∴．∵，，∴．∵，∴．在和中，，∴≌（AAS）．∴．∵，∴．在和中，，∴≌（AAS）．∴．【点睛】本题考查三角形全等以及角度之间的等量代换，第（1）题通过“倍长中线”这一辅助线做法，构造全等三角形，从而得出角相等，在遇到有中线的题目，并且题中没有全等三角形，那么我们就可以通过延长中线，或者经过中点的线段，构造全等三角形；第（2）题是通过构造平行线，进而得到角相等，构造全等三角形，然后再根据角之间的等量代换，常见的就是等角的余角相等、等角的补角相等，当直角比较多的地方都可以想到这种方法.10．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②；（3）MN=2BD，理由见解析【解析】【分析】（1）①只需要利用SAS证明△CED≌△ABD即可；②根据△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三边的关系可得即则，再由，可得；（2），延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE≌△CDB，得到∠DAE=∠DCB，AE=CB，然后证明∠BAE=∠MBN，则可证△BAE≌△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．【详解】解：（1）①∵BD是三角形ABC的中线，∴AD=CD，又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，∴△CED≌△ABD（SAS）；②∵△CED≌△ABD，∴AB=CE，∵，∴即，又∵，∴；故答案为：；（2）MN=2BD，理由如下：如图所示，延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE≌△CDB（SAS），∴∠DAE=∠DCB，AE=CB，∵BC=BN，∴AE=BN，∵∠ABM=∠NBC=90°，∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°，∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAE+∠ABC=180°，∴∠BAE=∠MBN，又∵AB=BM，∴△BAE≌△MBN（SAS），∴MN=BE，∵BE=BD+ED=2BD，∴MN=2BD．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等．11．（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：；（2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：；（3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB=CQ，AD=EQ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，∵AD是△ABC的中线，∴D为BC的中点，BD=CD，在△ABD与△PCD中，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，∴；（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，∴△ABH≌△QCH(SAS)，同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，此时，延长AE，交CQ于K点，∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，∵AB=CQ，AD=EQ，∴；（3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，∵M为DE中点，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，在△ABM和△NCM中，∴△ABM≌△NCM(SAS)，同理可证△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此时，延长AE，交CN于T点，∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，∵AB=NC，AD=NE，∴．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．12．【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．在△ABD与△ECD中∴△ABD≅△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为．（直接写答案）【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP．【答案】观察发现：EC，2，12，1，6；探索应用：17；应用拓展：见解析【解析】【分析】观察发现：由“SAS”可证△ABD≌△ECD，可得AB=EC，由三角形的三边关系可求解；探索应用：由“SAS”可证△ABE≌△HCE，可得AB=CH=25，即可求解