2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第二十三讲基本不等式的应用（一）

第二十三讲：基本不等式的应用（一）【教学目标】1．掌握对应的基本不等式求解最值2．掌握公式，凑项，凑系数，分离，常数代换，换元，平方等方法求解最值【基础知识】基本不等式：（1）；（2）.基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．【题型目录】考点一：公式直接应用考点二：凑项考点三：凑系数考点四：分离考点五：常数代换（1代换）考点六：平方考点七：消元考点八：构建目标不等式【考点剖析】考点一：公式直接应用基本不等式：积定和最小，和定积最大.例1．已知，则的最大值为（） A． B． C．1 D．2【答案】A【详解】因为，由基本不等式可得，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：A.变式训练1．已知，且，则的最大值为（） A．36 B．25 C．16 D．9【答案】B【详解】解：由，得，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为.故选：B.变式训练2．已知，且，则的最小值为（） A． B． C．1 D．2【答案】B【详解】由（当且仅当时等号成立），得，即，即，，当且仅当a=b=时等号成立.所以的最小值为.故选：B.变式训练3．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】根据题意可知，所以，由，所以，同理可得；由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立；即；即此三角形面积的最大值为.故选：D考点二：凑项凑项：凑出乘积为定值的值.例2．函数有（） A．最大值 B．最小值 C．最大值4 D．最小值4【答案】D【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数有最小值.故选：D变式训练1．函数在上的最小值是（） A．2 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故在上的最小值为1.故选：B变式训练2．已知实数x满足，则的最大值为（） A． B．0 C．4 D．8【答案】B【详解】由得到，则，，当且仅当上式取等号，则的最大值为0.故选：B.变式训练3．的最小值等于（） A．3 B． C．2 D．无最小值【答案】A【详解】因为，则，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值等于.故选：A考点三：凑系数凑系数：凑出和为定值的值.例3．已知，则当取最大值时，的值为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】由，可得，则，当且仅当，即时取等号，所以时，取得最大值.故选：B.变式训练1．若，则取最大值时x的值是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】，则，所以，当且仅当即时等号成立.故选：C．变式训练2．已知正数，满足，则的最大值为（） A．2 B．1 C． D．【答案】C【详解】因为正数，满足，所以，当且仅当且，即时取等号，所以的最大值为.故选：C.变式训练3．设，则的最大值为（） A．1 B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，解得：，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为.考点四：分离例4．函数的最小值是（） A． B．3 C．6 D．12【答案】A【详解】因为所以，(当且仅当即时，等号成立故最小值为，故选：A变式训练1．当时，函数的最小值为（） A． B． C． D．4【答案】B【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：B．变式训练2．已知正实数x，则的最大值是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为，又因为，所以，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以，即y的最大值是.故选：D.变式训练3．若函数在处取最小值，则（） A． B．2 C．4 D．6【答案】C【详解】由题意，，而，当且仅当，即时，等号成立，所以.故选：C.考点五：常数代换（1代换）构造一个条件为的等式，目标函数乘，化简求解.例5．若，则的最小值为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】因为正数、满足，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：D.变式训练1．若正实数，满足．则的最小值为（） A．12 B．25 C．27 D．36【答案】C【详解】因为，所以．因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以，的最小值为27．故选：C变式训练2．设为正实数，且，则的最小值为（） A． B． C． D．【答案】C【详解】因为为正实数，且，所以，所以，当且仅当，即，即时等号成立.所以的最小值为.故选：C.变式训练3．已知正数满足，则的最小值为（） A． B． C． D．【答案】C【详解】，则，.当，即，时等号成立.故选：C考点六：平方例6．已知为正实数，，求的最大值．【答案】【解析】∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，∴W2＝3x＋2y＋2eq\r(3x·2y)≤10＋(3x＋2y)＝20，当且仅当3x＝2y,3x＋2y＝10，即x＝eq\f(5,3)，y＝eq\f(5,2)时，等号成立．∴W≤2eq\r(5)，即W的最大值为2eq\r(5).变式训练1．若，则函数的最大值为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】，，，令，两边平方，又，，，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最大值为，故选：D.变式训练2．设正数，满足，则的最大值为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】因为正数，满足，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为，故选：D变式训练3．已知，且，则的最大值为（） A． B． C．3 D．4【答案】A【详解】，化简得：，解得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为.故选：A.考点七：消元例7．已知，则的最小值为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，由，得，所以，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.故选：D变式训练1．已知正数满足，则的最小值为（） A．1 B． C．2 D．【答案】B【详解】,，则有，，当且仅当，即时等号成立，此时，故选：B.变式训练2．若，，且，则的最小值是（） A．5 B．8 C．13 D．16【答案】C【详解】由题意，，得，故，由于，故，当且仅当即时取等号，即，故的最小值是13，故选：C变式训练3．设，为正实数，若，则的最小值是（） A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【详解】解：因为，为正实数，且，令，，则，则，当且仅当，即，时取等号.故选：D．考点八：构建目标不等式例8．已知，则的最大值为（） A．1 B．2 C． D．4【答案】D【详解】可变形为，因为，所以，解得，当且仅当时，取到最大值4.故选:D．变式训练1．已知，，且，则的最小值为（） A．2 B．3 C． D．【答案】A【详解】由得，，，，当且仅当，即时等号成立.故选：A.变式训练2．已知，且，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，由，可得，又，可得，化为，解得，则的取值范围是.故选：A.变式训练3．已知正数、满足，则的最大值为（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，得，即，当且仅当时，等号成立.因此，的最大值为为.故选：C.【课堂小结】1．知识清单：(1)利用基本不等式求最值．(2)利用基本不等式求解取值范围．(3)基本不等式的综合应用．2．方法归纳：配凑法、常值代换法．3．常见误区：忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等)．【课后作业】1、若a，b为实数，且，则的最小值为（） A． B． C．3 D．2【答案】D【详解】注意到，，则，当且仅当时取等号.故选：D2、已知为正实数，且，则的最大值为（） A．1 B．2 C． D．【答案】C【详解】由题意，为正实数，且，则，当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为.故选：C3、若，则的最值情况是（） A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2【答案】B【详解】若，则，当且仅当即等号成立，所以若时，有最小值为6，无最大值.故选：B.4、的最小值为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：D5、已知都是正实数，且，则的最大值是（） A． B． C．1 D．【答案】A【详解】解：因为都是正实数，且，所以，则，即，当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故选：A6、若，则的最大值为（） A．1 B． C． D．【答案】C【详解】，当且仅当，即时取等号则的最大值为故选：C7、若正实数满足，则的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】由题意，正实数满足，则，当且仅当时，等号成立，即，所以，即的最小值为1.故选：A.8、已知，则的最小值是（） A．1 B．4 C．7 D．【答案】C【详解】∵，∴当且仅当时等号成立.故选：C9、已知，则的最小值为（） A．－2 B．0 C．1 D．【答案】B【详解】∵，∴，当且仅当即时等号成立．故选：B．10、已知函数的定义域为，则的最大值为（） A．5 B． C．1 D．【答案】C【详解】令当且仅当即时取得.故选：C11、已知，t为常数，且的最大值为，则等于（） A． B．2 C． D．4【答案】C【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，又的最大值为，所以，即.故选：C.12、下列函数中，最小值为2的是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，对于A中，因为，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以函数的最大值为，不符合题意；对于B中，函数在上单调递减，所以函数的最大值为，不符合题意；对于C中，，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为，符合题意；对于D中，，当且仅当，即，即（显然不成立），所以最小值取不到2.故选：C.13、下列命题中正确的是（） A．函数的最小值为2. B．函数的最小值为2. C．函数的最小值为 D．函数的最大值为【答案】D【详解】对于A，时为负值，故A错误对于B，，而无解，无法取等，故B错误对于，当且仅当即时等号成立，故，D正确，C错误故选：D14、已知，则有（） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3【答案】D【详解】因为，，当且仅当，即时，等号成立，即有最小值3.故选：D.15、函数的最大值为（） A．3 B．2 C．1 D．1【答案】D【详解】，当且仅当,即等号成立.故选：D.16、若函数在处取最小值，则（） A． B．2 C．4 D．6【答案】C【详解】由题意，，而，当且仅当，即时，等号成立，所以.故选：C.17、下列说法正确的为（） A． B．函数的最小值为4 C．若则最大值为1 D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8【答案】C【详解】对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确；对于选项,，令，即在上单调递增，则最小值为,则不正确；对于选项,，则正确；对于选项,当时，，当且仅当时，即，等号成立，则不正确.故选：.18、已知，，，则的最小值是（） A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】因为，，，所以,当且仅当时等号成立,故选:B19、已知非负数满足，则的最小值是（） A．3 B．4 C．10 D．16【答案】B【详解】由，可得，当且仅当取等号，故选：B20、设为正数，且，则的最小值为（） A． B． C． D．【答案】A【详解】可得，当且仅当时成立，故选：A21、已知正实数、满足，则的最小值为（） A． B． C． D．【答案】A【详解】设，可得，解得，所以，.当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.22、设，，则的最小值为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故选：B.23、已知，，则的最小值为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】，，，，当且仅当时等号成立，故的最小值为9.故选：B.24、已知，则的最小值为（） A．20 B．32 C． D．【答案】D【详解】解：因为，所以，则，因为，，所以，当且仅当，即（舍）或时取等，故的最小值为.故选：D25、已知正实数，满足，则的最小值是（） A．25 B．18 C．16 D．8【答案】C【详解】，则，所以，当且仅当，即时等号成立．故选：C．26、已知正数满足，则的最大值是（） A． B． C．1 D．【答案】B【详解】，因为，所以，因此，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），所以.故选：B.27、若，且，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，所以即，当且