专题12直角三角形（4个知识点6种题型）（原卷版）

专题12直角三角形（4个知识点6种题型）【目录】倍速学习三种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.直角三角形全等的判定知识点2.直角三角形的性质定理的推论知识点3.勾股定理知识点4.两点的距离公式【方法二】实例探索法题型1.直角三角形全等的判定定理题型2.直角三角形的性质定理题型3.直角三角形的性质的应用题型4.勾股定理题型5.勾股定理及其逆定理的应用题型6.两点间距离【方法三】成果评定法【倍速学习三种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.直角三角形全等的判定图形定理符号如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L）在中，，【例1】（22·23上·宝山·期中）五边形中，，平分，，求证：．【变式】（22·23上·青浦·期末）如图，在中，垂直平分边，交于点E，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H．求证：．知识点2.直角三角形的性质定理的推论定理1直角三角形的两个锐角互余；定理2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于.【例2】（23·24上·上海·阶段练习）在中，若，于，，，则．【变式1】．（23·24上·上海·阶段练习）在中，，平分，交于，如果，那么．【变式2】．（2022·上海市罗星中学八年级期末）已知是等腰三角形，是边上的高，且，那么此三角形的顶角的度数为______．知识点3.勾股定理图形名称定理符号表示边的定理在直角三角形中，斜边大于直角边.在中，勾股定理直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.在中，，勾股定理逆定理如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.在中，，【例3】（21·22上·浦东新·期末）中，，点D、E分别为边AB、BC上的点，且，，联结AE交CD与点F，点M是AE的中点，联结CM并延长与AB交于点H．（1）点F是CD中点时，求证：；（2）求证：【变式】．（2022·上海浦东新·八年级期末）某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．知识点4.两点的距离公式①数轴上两点A、B分别表示实数m、n，则AB的距离为.②如果直角坐标平面内有两点，那么两点间的距离【例4】（2022·上海·八年级单元测试）已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于_____．【变式】．已知点、，则线段的长为______．【方法二】实例探索法题型1.直角三角形全等的判定定理1．（22·23上·青浦·期末）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，如果，且，那么的度数是．2．（22·23上·青浦·期末）如图，已知，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点．(1)按照上述方法所作的线段是的________；（在横线上填上正确的序号）①中线；②角平分线；③高．(2)求作：点，使得点到直线与直线的距离相等，且；（保留作图痕迹，不写作法，但要写出结论）(3)过点分别作，，垂足分别为点、．求证：．3．（22·23上·静安·期中）如图，已知在中，，点是内部的一点，，，垂足分别为点，且．求证：．4．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求证：∠AFC＝2∠ADC．5．（2022·上海松江·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．(1)求证：CE=CDBE；(2)如果CE=3BE，求的值．题型2.直角三角形的性质定理6．（22·23上·上海·期中）如图，在四边形中，，点分别是对角线的中点，则（

）A． B．C． D．7．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在梯形ABCD中，，AD＝3，AB＝CD＝4，∠A＝120°，则下底BC的长为__．8．（23·24上·上海·阶段练习）如图，在和中，，是中点．求证：．9．（22·23上·宝山·期末）如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：．10．（22·23上·徐汇·期末）如图，已知锐角中、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点．求证：(1)．(2)若，求证：是等边三角形11．（22·23上·青浦·期末）已知：如图，在四边形中，，，点是边的中点，．求证：(1)；(2)．题型3.直角三角形的性质的应用12．（2022·上海·八年级专题练习）如图1，△ABC是边长为的等边三角形，已知G是边AB上的一个动点（G点不与A、B点重合），且GEAC，GFBC，若AG＝x，S△GEF＝y．(1)求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；(2)点G在运动过程中，能否使△GEF成为直角三角形，若能，请求出AG长度；若不能，请说明理由；(3)点G在运动过程中，能否使四边形GFEB构成平行四边形，若能，直接写出S△GEF的值；若不能，请说明由．题型4.勾股定理13．（22·23上·青浦·期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为（

）A．1 B．2 C． D．514．（21·22上·上海·期末）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知，，，，则．15．（22·23上·上海·期中）是斜边上的高，若，，则的长为．16．（22·23上·徐汇·期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为17．（22·23上·虹口·期中）已知：三角形纸片中，，，，是边上一点．将三角形纸片折叠，使点B与点重合，折痕与、分别相交于E、F．(1)设，，试建立y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；(2)当是直角三角形时，求出x的值．18．（22·23上·宝山·期末）如图，直角三角形，直角顶点C在直线上，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E．(1)求证：；(2)如果，①求证：；②若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．题型5.勾股定理及其逆定理的应用19．（21·22上·奉贤·期中）如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝度．20．如图，这是美国第20届总统加菲尔德的构图，其中Rt△ADE和Rt△BEC是完全相同的，请你试用此图形验证勾股定理的正确性．21．如图，笔直的公路上A、两点相距，、为两村庄，于点A，于点，已知，，现在要在公路的段上建一个土特产品收购站，使得、两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离A点多远处？22．如图，已知：大风把一颗大树刮断，折断的一端恰好落在地面上的A处，量得BC=3米，AC=4米，试计算这棵大树的高度．题型6.两点间距离23．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）在直角坐标平面内，已知点、，且，那么m的值是________．24．（22·23上·杨浦·期末）、、是三角形的三个顶点，则是三角形．25．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，有两条互相垂直的公路，A厂离公路的距离为2千米，离公路的距离为5千米；B厂离公路的距离为11千米，离公路的距离为4千米；现在要在公路上建造一仓库P，使A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等，求仓库P的位置．【方法三】成果评定法一、单选题1．（22·23上·上海·专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，且AE平分∠BAC，下列关系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE2．（22·23上·宝山·期末）机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①；②；③；④，请问这位旅客可以购买的尺寸是（

）A．①②； B．①②③； C．①②③④； D．①；3．（22·23上·宝山·期末）下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（

）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、（）4．（22·23上·青浦·期末）在下列各原命题中，逆命题为假命题的是（）A．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等D．关于某一条直线对称的两个三角形全等5．（22·23上·青浦·期末）如图，在中，，，平分，，则以下结论错误的是（

）A．点C到直线的距离为1 B．点D到直线的距离为1C．点A到直线的距离为 D．点B到直线的距离为6．（21·22上·静安·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，BD平分∠ABC，BD=2，则以下结论错误的是（

）A．点D在AB的垂直平分线上；B．点D到直线AB的距离为1；C．点A到直线BD的距离为2；D．点B到直线AC的距离为.二、填空题7．（22·23上·静安·期末）已知平面直角坐标内的两点、，那么，两点的距离等于.8．（22·23下·虹口·期末）我们如下定义：如果一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，那么称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．如图，已知，，，如果格点四边形（即四边形的顶点都在格点上）是以为勾股边且对角线相等的勾股四边形，那么点M的坐标是．9．（22·23下·嘉定·开学考试）如图，含30°的三角板绕点顺时针旋转150°得到，连接，若，则的面积为．10．（22·23上·静安·期末）已知三角形的三边长分别为、、，那么这个三角形形状是.11．（22·23下·虹口·期末）如图，在中，，，，点D是的中点．将绕点A旋转得到（点D与点对应，点C与点对应），当点落在边上时，连接，那么线段的长是．12．（22·23下·浦东新·期末）如图，梯形中，，，且平分，则梯形的周长是cm．13．（22·23下·嘉定·开学考试）如图，在中，，平分，交边点，，，则．14．（21·22上·上海·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，如图所示.如果将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，其中点A、B的对应点分别为点D、E，联结BD，那么BD的长等于.15．（22·23上·青浦·期末）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点、、在同一直线上，，，，将绕点顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一条边与平行，那么此时的面积是．16．（22·23上·青浦·期末）在中，，于点，且，．则17．（22·23上·静安·期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为．18．（22·23上·徐汇·期末）函数的最小值为三、解答题19．（23·24上·上海·阶段练习）已知：，，，且为等腰三角形，求的值．20．（23·24上·上海·阶段练习）已知：如图，在四边形中，，，，．(1)求的度数．(2)求四边形的面积．21．（22·23上·青浦·期末）如图，已知中，，于点，是中点，，求证：．22．（22·23上·静安·期末）如图，在中，，垂足为点，，垂足为点，，垂足为点，且点是中点，若，，.(1)求的长；(2)求的度数.23．（22·