15.3.1分式方程（讲练）6大题型

15.3.1分式方程分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.注意：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.题型1：分式方程的定义1.给出下列方程：，，，，其中分式方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程逐一进行判断．【解答】解：根据分式方程的定义可知：分式方程有3x＝2，x+3故选：B．【点评】本题考查的是分式方程，解题的关键是掌握分式方程的定义．【变式11】下列方程中，是分式方程的是（

）A．15+x4=3 B．x−4y=7 【答案】D【分析】未知数在分母中的有理方程是分式方程，根据分式方程的定义可得答案．【详解】解：15x−4y=7是二元一次方程，故B不符合题意；2x=3(x−5)是一元一次方程，故C不符合题意；4x−2故选D【点睛】本题考查分式方程的定义，理解分式方程的定义为解题的关键．【变式12】下列式子：①x−12=1；②xx−2=x+23x−1；③23x+12x；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可．【详解】解：①分母中不含有未知数，是整式方程；②分母中含有未知数，故是分式方程；③不是等式，故不是方程；④分母中含有未知数，故是分式方程．⑤分母中不含有未知数，故不是分式方程；⑥分母中不含有未知数，故不是分式方程；综上所述：分式方程有②④，共2个，故选：B．【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．题型2：解分式方程2.解方程（1）＝；【解答】解：去分母，得x＝2（x﹣2），解得x＝4，经检验，x＝4是原方程的根；（2）＝．【解答】解：方程两边同时乘（x﹣3）（x﹣2），得：3（x﹣3）＝2（x﹣2）化简，得x﹣5＝0解得：x＝5检验：当x＝5时，（x﹣3）（x﹣2）≠0，∴x＝5是分式方程的解．（3）解方程：＝．【分析】根据解分式方程的一般步骤解出方程，检验，即可得到答案．【解答】解：方程两边同乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1，解得：x＝﹣1，检验，当x＝﹣1时，2（x﹣1）＝﹣4≠0，所以原分式方程的解为x＝﹣1．【点评】本题考查的是解分式方程，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，注意解分式方程时，一定要检验．【变式21】解方程：（1）4x（2）2【答案】（1）无解（2）x=【分析】本题考查了解分式方程；（1）方程两边同时乘以xx−2（2）方程两边同时乘以x−1，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】（1）4x2去分母，得4+(x−2)=2x解得：x=2．检验：把x=2代入最简公分母：x(x−2)=2×(2−2)=0．

故x=2是增根，原分式方程无解．（2）2解：去分母，得∶2−(x+2)=3(x−1)去括号，得∶2−x−2=3x−3解得x=检验：当x=34时，∴x=【变式22】解分式方程：（1）3（2）2x【答案】（1）x=−6（2）原分式方程无解【分析】本题主要考查了解分式方程；（1）先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程即可；（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程即可；解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算，注意最后要对方程的解进行检验．【详解】（1）解：3方程两边都乘xx+2，得：3去括号，得：3x+6+x移项，得：3x−2x+x合并同类项，得：x=−6，检验：当x=−6时，x∴x=−6是原分式方程的根，∴原分式方程的解为：x=−6；（2）解：2xx+3方程两边都乘2x+3，得：2×2x+2去括号，得：4x+4x+12=−12，移项，得：4x+4x=−12−12，合并同类项，得：8x=−24，系数化为1，得：x=−3，检验：当x=−3时，2x+3∴x=−3是原分式方程的增根，∴原分式方程无解．题型3：增根（无解）与求字母的值3.若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣2【分析】先解分式方程，得x＝m+1，再将增根代入即可求出m的值．【解答】解：去分母，得x﹣1＝m，∴x＝m+1，将增根x＝2代入，得2＝m+1，解得m＝1，故选：A．【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的含义是解题的关键．【变式31】若关于x的分式方程x−1x+1=ax+1−2A．−1 B．−2 C．1 D．2【答案】B【分析】本题考查了分式方程的解，根据解分式方程的一般步骤解得x=a−13，由于原分式方程有增根得【详解】解：两边同时乘以x+1得：x−1=a−2x+1解得：x=a−1∵原分式方程有增根，∴x=解得：a=−2，故选B．【变式32】若解分式方程kx−2=k−xA．2 B．0 C．1 D．−1【答案】C【分析】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先解分式方程，再根据分式方程的增根的定义解决此题．【详解】解：去分母，得k=x−k−3x−2去括号，得k=x−k−3x+6，移项，得−x+3x=−k+6−k，合并同类项，得2x=6−2k，x的系数化为1，得x=3−k，∵分式方程kx−2∴3−k=2，∴k=1，故选：C【变式33】当m=时，解分式方程13【答案】6【分析】分式方程的增根使分式中分母为0，所以分式方程13+m3(2x−1)=22x−1【详解】解：分式方程13则2x−1=0即x=11去分母得，2x−1+m=6将x=12代入得即当m=6时，原分式方程会出现增根．故答案为：6．【点睛】本题考查了分式方程增根的概念，增根是使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程．题型4：根据文字列方程求值解4.当x为何值时，分式的值和分式的值互为相反数？【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：根据题意得：1x−3去分母得：x+3+2＝0，解得：x＝﹣5，检验：把x＝﹣5代入得：（x+3）（x﹣3）≠0，∴分式方程的解为x＝﹣5．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【变式41】遵化市沙石峪人民创造了“万里千担一亩田，羙石板上创高产”的奇迹，沙石峪人民被周恩来同志誉为“当代愚公”，为激励后人传承和发扬“当代思公”的光荣传统和优良作风，建造了沙石峪纪念馆，2019年沙石峪纪念馆被中宣部授予“全国爱国主义教育示范基地”．五四青年节，学校的八年级学生去距学校10km的沙石峪纪念馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为xkm/hA．10x−102x=15B．102x【答案】C【分析】本题主要考查分式方程的应用，设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度是2x【详解】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度是2x根据题意得，10x故选：C．【变式42】师傅和徒弟两人每小时一共做40个零件，在相同的时间内，师傅做了300个零件，则可列方程为（）A．300x=10040−xB．30040−x=【答案】A【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据在相同的时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．可以列出相应的方程，本题得以解决．解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．【详解】解：设师傅每小时做了x个零件，则徒弟每小时做40−x个零件，由题意可得：300x故选：A．题型5：根据解的正负字母求取值范围5.已知关于x的方程的解为正数，求a的取值范围．【分析】解分式方程求得方程的解，再利用已知条件列出不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：关于x的方程2x−ax−1=1的解为：x＝∵分式方程有可能产生增根x＝1，∴a﹣1≠1，∵关于x的方程2x−ax−1∴a−1>0a−1解得：a＞1且a≠2．∴a的取值范围为：a＞1且a≠2．【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，考虑分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．【变式51】关于x的分式方程2x−mx+1=3的解是负数，则字母mA．m>3B．m<3且m≠−2C．m>−3且m≠−2D．m>−3且m≠2【答案】C【详解】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，正确掌握解分式方程和解一元一次不等式是解题的关键．解分式方程，得到含有m得方程的解，根据“方程的解是负数”，结合分式方程的分母不等于零，得到两个关于m的不等式，解之即可．【分析】解：2x−mx+1方程两边同时乘以x+1得：2x−m=3x+1解得：x=−m−3，∵x+1≠0，∴x≠−1即−m−3≠−1，解得：m≠−2，又∵方程的解是负数，∴−m−3<0，解不等式得：m>−3，综上可知：m>−3且m≠−2，故选：C．【变式52】已知关于x的方程2mx−1x+2=1的解为负数，求m【答案】m<12【分析】此题考查了解分式方程，表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出m的范围；利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【详解】解：依题意，2mx−1则化为整式，得2mx−1=x+2则x=3∵方程有解，且解为负数，∴2m−1≠0解得m≠1则m<12且所以m的取值范围为m<12且题型6：分式方程与新定义问题6.定义一种新运算“⊗”，规则如下：a⊗b＝，（a≠b2），这里等式右边是实数运算，例如：1⊗3＝＝﹣．求x⊗（﹣2）＝1中x的值．【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算求出解即可确定出x的值．【解答】解：根据题中的新定义化简得：1x−(−2)2=1，即去分母得：x﹣4＝1，解得：x＝5，检验：把x＝5代入得：x﹣4≠0，∴分式方程的解为x＝5．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验，弄清题中的新定义是解本题的关键．【变式61】对于实数a，b，定义一种运算“⊗”为：a⊗b=a−12a−ab，方程【答案】x=1【分析】本题考查了新定义以及解分式方程．根据“⊗”的运算规则，可将所求的方程化为：x−1【详解】解：∵x−1∴x−1给方程两边同时乘以x−1得x−3化简得−2x+2=0，解得x=1，经检验：x=1是原分式方程的解．故答案为：x=1．【变式62】已知分式方程▲x−3（1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；（2）小华说“我看到答案是原分式方程的解为x=9”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．【答案】（1）x=5（2）14【分析】（1）把▲=6（2）设▲为m，利用分式方程无解得到增根，解答即可．【详解】（1）解：由题意得，6x−3方程两边同时乘以x−3，得6−(x−1)=x−3，解这个整式方程，得x=5，经检验，x=5是原分式方程的解；（2）解：设“▲”代表的数为m，依据题意得，m9−3解这个方程，得m=14，所以原分式方程中“▲”代表的数为14．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定要注意验根．一、单选题1．下列计算正确的是（

）A．a2⋅a=a2 B．a2−a【答案】B【分析】根据整式的运算法则am【详解】解：A选项a2⋅a=aB选项(aC选项a6D选项(−a故选：B【点睛】本题综合考查了整式的四则运算，熟练掌握这四则运算是解题的关键.2．要使分式1x−1有意义，则x的取值范围是（

A．x>1 B．x≠1 C．x=1 D．x≠0【答案】B【分析】根据分式有意义的条件为分母不为零即可求出结果；【详解】根据题意可知，x1≠0，即x≠1．故选：B．【点睛】本题考查分式有意义的条件，注意分式有意义是分母不为零，不是x不为零.3．化简代数式x2x−1−A．1 B．x−1 C．x+1 D．1−x【答案】C【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：原式=x故选：C．【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．4．下列运算正确的是（

）A．2a+3a=5a2 B．(b−2a)(2a+b)=b2−4a【答案】B【分析】根据同类项的合并法则、乘法公式及单项式除以单项式即可完成．【详解】A、2a+3a=5a≠5aB、(b−2a)(2a+b)=bC、(a+b)2D、a2故选：B【点睛】本题考查了乘法公式、单项式除以单项式、同类项的合并等知识，掌握它们的运算法则、熟记乘法公式是关键．5．龙华地铁4号线北延计划如期开工，由清湖站开始，到达观澜的牛湖站，长约10.770公里，其中需修建的高架线长1700m．在修建完400m后，为了更快更好服务市民，采用新技术，工效比原来提升了25%．结果比原计划提前4天完成高架线的修建任务．设原计划每天修建xm，依题意列方程得（）A．1700x−1700C．1700x−1700−400【答案】C【分析】设原计划每天修建xm，则实际每天修建（1+25%）xm，根据题意可得，增加工作效率之后比原计划提前4天完成任务，据此列方程.【详解】解：设原计划每天修建xm，则实际每天修建（1+25%）xm，由题意得：1700x故选C.二、填空题6．当x时，分式x+1x−1【答案】=1【分析】令分子=0，且分母≠0求解即可.【详解】由题意得x+1=0，且x1≠0，解之得x=1.故答案为=1.【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可.7．|x+2y−3|+|x−y+3|=0，则yx的值是【答案】12或【分析】根据绝对值的非负性得出方程组，求出方程组的解，再求出答案即可．【详解】解：∵|x+2y3|+|xy+3|=0∴x+2y3=0且xy+3=0，即{x+2y=3①①②，得3y=6，解得：y=2，把y=2代入②，得x2=3，解得：x=1，∴yx=2−1=故答案为：12【点睛】本题考查了绝对值的非负性和解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．8．一种纳米材料的厚度是0.000000043米，数据0.000000043用科学记数法表示为．【答案】4.3×【分析】从4开始往前推有8个0，即为4.3×10【详解】数据0.000000043用科学记数法表示为4.3×10故答案为：4.3×10【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，理解n由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定是本题的关键．9．计算(2m2n【答案】n【分析】先算积的乘方、再根据单项式乘单项式的法则计算，再把结果化为只含有正整数指数幂的形式即可求解．【详解】解：(2=(==n故答案为：n13【点睛】考查了积的乘方、单项式乘单项式、负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．三、解答题10．若分式x2【答案】x=−3．【分析】根据分式的值为零的条件得x29=0且x24x+3≠0，然后解方程，再把方程的解代入不等式进行检验．【详解】∵分式x2∴x2−9=0且x2−4x+3≠0，解方程x2−9=0得x=3或−3，当x=3时，x2−4x+3=0，当x=−3时，x2−4x+3≠0，∴x=−3.【点睛】本题考查分式，解题的关键是知道由题意得到x2−9=0且x2−4x+3≠0.11．疫情过后，今年云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年春节租用A、B两种客房，用4800元租到A客房的数量与用4200元租到B客房的数量相同，今年每间A客房的租金比每间B客房的租金多30元，分别求今年该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．【答案】A客房每间客房的租金为240元，则B客房每间客房的租金为210元【分析】设A客房每间客房的租金为x元，则B客房每间客房的租金为(x−30)元．根据题意“用4800元租到A客房的数量与用4200元租到B客房的数量相同，”列出分式方程，解方程即可求解．【详解】解：设A客房每间客房的租金为x元，则B客房每间客房的租金为(x−30)元．根据题意，得4800解得x=240.经检验，x=240是原方程的解，且符合题意，则240−30=210(元)．答：A客房