九年级数学知识点【北师大版】：一元二次方程单元测试（培优强化卷）（解析版）

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【北师大版】专题2.6一元二次方程单元测试（培优强化卷）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022•宁海县校级开学）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．3x﹣1＝0 B．2x2+3＝0 C．（x+1）2﹣x2＝0 D．1x【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解析】A．该方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；C．由已知方程得到：2x+1＝0，该方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B．2．（2022秋•宣州区校级月考）直角三角形两直角边是方程x2﹣8x+14＝0的两根，则它的斜边为（）A．8 B．7 C．6 D．27【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算．【解析】设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．∵直角三角形两直角边是方程x2﹣8x+14＝0的两根，∴a+b＝8，ab＝14．根据勾股定理可得：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝64﹣28＝36，∴c＝6．故选：C．3．（2022•淇滨区开学）一元二次方程（x+1）（x﹣2）＝﹣3x﹣3的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【分析】化为一般形式，求出判别式Δ即可得答案．【解析】将原方程整理得x2+2x+1＝0，∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，故选：A．4．（2022•宿豫区校级开学）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（）A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝10 D．（x﹣2）2＝10【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【解析】x2﹣4x﹣6＝0，x2﹣4x＝6，x2﹣4x+4＝6+4，（x﹣2）2＝10，故选：D．5．（2022•长丰县校级模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣2）x+4＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或6 D．﹣6或2【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出a的值即可．【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣2）x+4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（a﹣2）2﹣16＝0，即（a﹣2）2＝16，开方得：a﹣2＝4或a﹣2＝﹣4，解得：a＝6或﹣2．故选：C．6．（2022•巴中）对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＞−14 B．k＜−14 C．k＞−14且k≠0 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解即可．【解析】根定义新运算，得x2﹣x＝k，即x2﹣x﹣k＝0，∵关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＞0，解得：k＞−1故选：A．7．（2022•新乐市校级模拟）已知m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，则（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝（）A．2008 B．8002 C．2009 D．2020【分析】根据m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，可得m2+2016m+7＝0，n2+2016n+7＝0，m+n＝﹣2016，mn＝7，化简（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝﹣mn﹣m﹣n﹣1，根据根与系数的关系进一步计算即可．【解析】∵m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，∴m2+2016m+7＝0，n2+2016n+7＝0，m+n＝﹣2016，mn＝7，∴m2+2015m+m+7＝0，n2+2017n﹣n+7＝0，∴m2+2015m＝﹣m﹣7，n2+2017n＝n﹣7，∴（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝（﹣m﹣7+6）（n﹣7+8）＝（﹣m﹣1）（n+1）＝﹣mn﹣m﹣n﹣1＝﹣7+2016﹣1＝2008，故选：A．8．（2020秋•东区校级期中）已知三角形的三条边为a，b，c，且满足a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，则这个三角形的最大边c的取值范围是（）A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8≤c＜13 D．5＜c＜13【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【解析】∵a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣16b+64）＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣8）2＝0，∵（a﹣5）2≥0，（b﹣8）2≥0，∴a﹣5＝0，b﹣8＝0，∴a＝5，b＝8．∵三角形的三条边为a，b，c，∴b﹣a＜c＜b+a，∴3＜c＜13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8≤c＜13．故选：C．9．（2021秋•金湖县期末）根据关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：x0.511.11.21.31.4x2+px+q﹣2.75﹣1﹣0.59﹣0.160.290.76则方程x2+px+q＝0的正数解满足（）A．解的整数部分是1，十分位是1 B．解的整数部分是1，十分位是2 C．解的整数部分是1，十分位是3 D．解的整数部分是1，十分位是4【分析】通过观察表格可得x2+px+q＝0时，1.2＜x＜1.3，即可求解．【解析】由表格可知，当x＝1.2时，x2+px+q＜0，当x＝1.3时，x2+px+q＞0，∴x2+px+q＝0时，1.2＜x＜1.3，∴解的整数部分是1，十分位是2，故选：B．10．（2021秋•仪征市期末）已知方程−12（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜A．m＜b＜n＜c B．b＜m＜n＜c C．m＜n＜b＜c D．m＜b＜c＜n【分析】画出函数y=−12（x﹣b）（x﹣c）与函数y＝【解析】由题意，画出函数y=−12（x﹣b）（x﹣c）与函数y＝∴抛物线开口向下，与x轴的交点为（b，0），（c，0），函数y＝x+1随x的增大而增大，且经过点（﹣1，0），∵方程−12（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝∴两函数的交点的横坐标为m和n，∵m＜n．b＜﹣1＜0＜c，由图象可知，m＜b＜n＜c，故选：A．二．填空题（共6小题）11．（2022•玉树市校级一模）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是x＝2，则a的值为5．【分析】把x＝2代入求值即可．【解析】把x＝2代入可得22﹣2a+6＝0，解得a＝5，故答案为：5．12．（2022•南京模拟）若（m﹣2）x2﹣3x+5＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为m≠2．【分析】根据一元二次方程的一般形式，可知二次项系数不为0，根据这一条件列出不等式，求出m的值即可．【解析】由题意，得m﹣2≠0，∴m≠2，故答案为：m≠2．13．（2022•鼓楼区校级开学）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则ab﹣2022a﹣2022b的值是2019．【分析】由a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系即可求出两根之和和两根之积，代入代数式即可求解．【解析】∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣3．∴ab﹣2022a﹣2022b＝ab﹣2022（a+b）＝﹣3﹣2022×（﹣1）＝2019，故答案为：2019．14．（2022春•呼兰区校级期末）某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，每个支干长出小分支的个数是15．【分析】设每个支干长出小分支的个数是x，根据主干、支干、小分支的总数是241，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解析】设每个支干长出小分支的个数是x，依题意得：1+x+x2＝241，整理得：x2+x﹣240＝0，解得：x1＝15，x2＝﹣16（不符合题意，舍去），∴每个支干长出小分支的个数是15．故答案为：15．15．（2022•海门市二模）若关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0有两个实数根，则k2+k+3的最小值为9．【分析】根据一元二次方程根的判别式可得Δ＝（2k）2﹣4（k2+k+3）＝﹣4k﹣12≥0，求出k的取值范围，再将k2+k+3配方成(k+12)【解析】∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0有两个实数根，∴Δ＝（2k）2﹣4（k2+k+3）＝﹣4k﹣12≥0，∴k≤﹣3，∵k2+k+3=(k+1∵k≤﹣3，∴当k＝﹣3时，k2+k+3取得最小值为(−3+1故答案为：9．16．（2022春•拱墅区期中）对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：m⊗n=m2+m+n，当m≥n时n2+m+n，当m＜n时，若x【分析】分两种情况：当x≥﹣2时，当x＜﹣2时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答．【解析】分两种情况：当x≥﹣2时，∵x⊗（﹣2）＝10，∴x2+x﹣2＝10，x2+x﹣12＝0，（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0或x﹣3＝0，x1＝﹣4（舍去），x2＝3，当x＜﹣2时，∵x⊗（﹣2）＝10，∴（﹣2）2+x﹣2＝10，x＝8（舍去），综上所述：x＝3，故答案为：3．三．解答题（共7小题）17．（2022•城厢区校级开学）解方程：（1）x2+8x＝9；（2）3x2﹣5x＝2．【分析】（1）移项后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移项后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；【解析】（1）x2+8x＝9，x2+8x﹣9＝0，（x+9）（x﹣1）＝0，x+9＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝﹣9，x2＝1；（2）3x2﹣5x＝2，3x2﹣5x﹣2＝0，（3x+1）（x﹣2）＝0，3x+1＝0或x﹣2＝0，解得：x1=−13，x18．（2022春•丰城市校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+9＞0，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出关于m的方程，解之可得答案．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+4m+1﹣4m+8＝4m2+9＞0，∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，由x1+x2+3x1x2＝1，得2m+1+3（m﹣2）＝1，解得m=619．（2022春•丰城市校级期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求：（1）2a2﹣4040a﹣3的值；（2）代数式a2﹣2019a+2020【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2020a+1＝0，则a2＝2020a﹣1，然后把a2＝2020a﹣1代入原式即可求解；（2）可化简得原式＝a+1【解析】（1）∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2＝2020a﹣1，∴a2＝2020a﹣1，∴2a2﹣4040a﹣3＝2（2020a﹣1）﹣4040a﹣3＝4040a﹣2﹣4040a﹣3＝﹣5；（2）原式＝2020a﹣1﹣2019a+＝a+1=a=2020a−1+1＝2020﹣1＝2019．20．（2022春•任城区期末）某地蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由．【分析】（1）设平均每次下调x，根据该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元列一元二次方程，求解即可；（2）分别计算出方案一和方案二的总费用，再进行比较即可．【解析】（1）设平均每次下调x，根据题意，得10（1﹣x）2＝6.4，解得x＝20%或x＝180%（舍去），答：平均每次下调20%；（2）方案一更优惠，理由如下：方案一：6.4×0.8×2000＝10240（元），方案二：6.4×2000﹣2000＝10800（元），∵10240＜10800，∴采购员选择方案一更优惠．21．（2022春•辽阳期末）【阅读材料】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1因为（a+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，因此，当a＝﹣3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．【问题解决】利用配方法解决下列问题：（1）当x取何值时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值？最小值是多少？（2）当x＝﹣2时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值为4．【分析】（1）仿照例题的解题思路，配成完全平方即可解答；（2）仿照例题的解题思路，配成完全平方即可解答．【解析】（1）x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2，因为（x﹣1）2≥0，所以x2﹣2x﹣1≥﹣2，因此，当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值是﹣2；（2）2x2+8x+12＝2（x2+4x）+12＝2（x2+4x+4﹣4）+12＝2[（x+2）2﹣4]+12＝2（x+2）2﹣8+12＝2（x+2）2+4，因为（x+2）2≥0，所以2x2+8x+12≥4，因此，当x＝﹣2时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值是4；故答案为：﹣2；4．22．（2022•达川区模拟）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同．（1）今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？（2）今年2月第一周，供应商以100元每个售出雪容融140个，150元每个售出冰墩墩120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m个，最终商家获利5160元，求m．【分析】（1）设今年2月第一周每个冰墩墩的进价为x元，每个雪容融的进价为y元，根据“一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价；（2）利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解析】（1）设今年2月第一周每个冰墩墩的进价为x元，每个雪容融的进价为y元，依题意得：x−y=4020x=30y解得：x=120y=80答：今年2月第一周每个冰墩墩的进价为120元，每个雪容融的进价为80元．（2）依题意得：（100﹣m﹣80）（140+m）+（150﹣120）（120+0.2m）＝5160，整理得：m2+114m﹣1240＝0，解得：m1＝10，m2＝