九年级数学配套课件：垂直于弦的直径

第二十四章圆24.1圆的有关性质

学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练24.1.2垂直于弦的直径

学习目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂径定理的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）思考：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

新课导入

探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

新知探究你能证明你的结论吗？证明：如图,设CD是⊙O的任意一条直径,A为⊙O上点C，D以外的任意一点.过点A作AB⊥CD，交⊙O于点B,垂足为E.连接OA,OB.在△OAB中，∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.又AB⊥CD∴AE=BE.·OABDEC

新知探究即CD是AB的垂直平分线.因此，⊙O关于直线CD对称.如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．因为圆是轴对称图形，以直径CD为对称轴把⊙O折叠，你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE相等线段：AE=BE⌒⌒⌒⌒弧：AC=BC,AD=BD

新知探究即直径CD平分弦AB，并且平分AC，ACB.⌒⌒·OABCDE∵

CD是直径，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.几何语言：

新知探究

归纳总结垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．是不是是不是OEDCAB思考：分析下列图形是否具备垂径定理的条件？

新知探究深入思考：如图，当直径ＣＤ平分弦ＡＢ时，ＣＤ与ＡＢ垂直吗？

AC=BC,AD=BD吗？如果弦ＡＢ也是直径，上述结论是否成立？⌒⌒⌒⌒ABDE

OC推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

新知探究根据垂径定理与其推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.

新知探究你会任选一种情况证明吗？如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）·OABCDE⌒AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.⌒⌒

新知探究想一想：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?

新知探究∴AB=37，CD=7.23.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.

新知探究解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.⌒⌒经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，与AB交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.⌒⌒

新知探究在Rt△OAD中，由勾股定理，得即=18.52+(R-7.23)2

解得

R≈27.3（m）.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.例1如图,⊙

O的弦AB＝8cm

，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA，∵

CE⊥AB于D，∴设OC=xcm，则OD=(x-2)cm,根据勾股定理，得解得x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，

新知探究例2已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒

新知探究归纳总结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.

新知探究垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.

课堂小结1.判断下列说法的正误.

①平分弧的直径必平分弧所对的弦;

②平分弦的直线必垂直弦;

③垂直于弦的直径平分这条弦;

④平分弦的直径垂直于这条弦

;⑤弦的垂直平分线是圆的直径;⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦;

⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧.

课堂训练3.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm.·OABE16

课堂训练4.一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.2cm或12cm2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为

.5cm

课堂训练中考链接1．（2020•广州）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cmC

课堂训练2．（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是

寸．26

课堂训练3．（2020•南通）已知⊙O的半径为1