2022年度湖北省鄂州市寒溪初级中学高三数学文测试题含解析

2022年度湖北省鄂州市寒溪初级中学高三数学文测试

题含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共5()分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.要得到函数/一…s"5’的图明，只需将函数＞=2sm3x的图象()

n7T

A.向左平移5个单位B.向右平移5个单位

nn

C.向左平移记个单位D.向右平移记个单位

参考答案：

D

略

2.对于集合M、N,定义M-N={x|xGM且x?N},M®N=(M-N)U(N-M),设人={丫|丫=

3x,x£R},B={y|y=—(x—1)2+2,xWR},则A㊉B等于()

A.[0,2)B.(0,2]

C.(一8,0]U(2,+°o)D.(-8,0)U[2,+°o)

参考答案：

C

略

3.从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分

布直方图(如图).由图中数据可知体重的平均值为kg；若要从身高在

[60,70),[70,80),[80,90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活

动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人体重不在同一组内的概率

为.

405060708090体重(kg)

参考答案：

64.5,

"Ix+11,x<l

<

2

4.已知mGR,函数f(x)=1g(x-1),x>l,g(x)=x-2x+2m-2,若函数y=f

(g(x))-m有6个零点，则实数m的取值范围是()

3232

A.(1,2)B.(4,1)C.(3,4)D.(0,3)

参考答案：

D

【考点】根的存在性及根的个数判断.

【专题】计算题；作图题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用.

|x+11,x<Cl

4

【分析】作函数f(x)=l1g(x-l)，x〉l的图象，从而可得方程x2-2x+3m-1=0、

x"-2x+m-1=0与x*-2x+2m-3-10m=0都有两个不同的解，从而解得.

'|x+l|,x<Cl

【解答】解：作函数f(X)=1g(x-l),x>l的图象如下，

由图象可知，当0VmV2时，f(u)-m=0有三个不同的解，

即|u+11=m或1g(u-1)=m,

故u=-1-m或u=-1+m或u=l+10ffi,

故g(x)=x2-2x+2m-2=-1-m或x?-2x+2m-2=-1+m或x?-2x+2m-2=l+10m,

故x2-2x+3m-1=0或x，-2x+m-1=0或x?-2x+2m-3-10°=0,

•.•函数y=f(g(x))-m有6个零点，

，方程x2-2x+3m-1=0.x2-2x+m-1=0与x2-2x+2m-3-10"1=0都有两个不同的解,

'△『4-4(3m-1)>0

.A2=4-4(m-1)>0

...△3=4-4(2m-3-l0m)>0,

2

解得，m<3,

2

故0<m<3,

【点评】本题考查了分段函数的应用及二次方程的判别式的应用，难点在于复合函数的应

用.

5,设向好=(2,x-l),6=(x+1,4),则"x=3"是％//『'的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

参考答案：

A

6.执行如图所示的程序框图，则输出$=()

(A)2(B)6(C)15(D)31

参考答案：

C

第一次循环，满足条件，S=1+l=2需=2；第二次循环，满足条件，

S=2+2'=6*=3；第三次循环，满足条件，S=6+32=15*=4；第四次循环，不

满足条件，输出$=15,选c.

1,9

若存在两项a0,a“使得g=4

7.已知正项等比数列｛a„｝满足a7=a6+2a5,〜则mn的最

小值为()

8

瓦3

参考答案：

A

8.设双曲线》的实轴长为2、5，焦距为2亚则双曲线的渐近线方程

为().

A.*仝B.六土缶

丘士5x

D.

参考答案:

D

•易知〜后”企,

Cd-W

二七二土其

，渐近线方程为a1"T1,选择D.

9.在等差数列中，首项生=°•公差dwO,若收=%+%+与+…+%,则上=()

A.22B.23C.24D.25

参考答案：

A

略

10.从(40,30),(50,10),(20,30),(45,5),(10,10)这5个点中任取一

个点，这个点在圆x2+y2=2016内部的概率是()

3214

A.5B.5C.5D.5

参考答案：

B

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

【专题】概率与统计.

【分析】从(40,30)，(50,10),(20,30),(45,5),(10,10)这5个点中

任取一个点，基本事件总数n=5,再用列举法求出这个点在圆x2+y2=2016内部，包含的基

本事件个数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出这个点在圆x2+y2=2016内部的概

率.

【解答】解：从(40,30),(50,10),(20,30),(45,5),(10,10)这5个

点中任取一个点，

基本事件总数n=5,

这个点在圆x2+y2=2016内部，包含的基本事件有：(20,30),(10,10),共2个，

2

这个点在圆x2+y2=2016内部的概率p=5.

故选：B.

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算

公式的合理运用.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.设x,y为正数，且x,a”az,y成等差数列，x,b„b2,y成等比数列，则

(a[+&2)2

blb2的最小值是.

参考答案：

4

【考点】等差数列与等比数列的综合.

【分析】先利用条件得到a,+a产x+y和bh=xy,再对所求都转化为用x,y表示后，在用基

本不等式可得结论.

【解答】解：由等差数列的性质知ai+akx+y；

由等比数列的性质知bb=xy,

(a]+&2)2<+y)2*2+y2+2xy卜x2+y2

所以blb2-xy-xy-xy

当且仅当x=y时取等号.

故答案为：4.

12.A,8,C,。均在同一个球上，且4B,AC,AO两两互相垂直，且AB=14C=2,AO=3,则该球

的表面积为.

参考答案：

14K

13.若对任意xSR,不等式sin2x-2sin°x-mVO恒成立，则m的取值范围是.

参考答案:

(V2-1,+8)

考点：三角函数的最值.

专题：三角函数的求值.

分析：问题转化为m>sin2x-2sin2x对任意x£R恒成立，只需由三角函数求出求

t=sin2x-2sin2x的最大值即可.

解答：解：•对任意x£R,不等式sin2x-2sin?x-mVO恒成立，

.\m>sin2x-2sin2x对任意x£R恒成立，

・••只需求t=sin2x-2sin2x的最大值,

Vt=sin2x-2sin2x=sin2x-(1-cos2x)

_K

=sin2x+cos2x-l=V2sin(2x+4)-1,

K_

...当sin(2X+-T)=1时，t取最大值加-1,

...m的取值范围为(&-1,+8)

故答案为：(、巧-1,+8)

点评：本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题.

3立

14.在区间上随机取一个数上，使直线+爹与圆d+V=l相交的概率

为.

参考答案：

1

2

15.过抛物线--=2Px>0)的焦点F的直线1交抛物线于A,B,两点，交准线于点C

若CB=2BF,则直线AB的斜率为

参考答案：

土石

1md+L...+_l)

16.已知等比数列｛/购前"项和Sa=3"AT),则-4】a3a,

参藕案：

3

4

/(x)-sinl2iI)."

17.函数141在区间2上的最小值是

参考答案：

2

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在的平面相互垂直，AB=2AD=6,点E为线段AB上一

点.

(1)若点E是AB的中点，求证：BM〃平面NDE；

参考答案:

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定.

【分析】（1）连结AM,设AMC1ND=F,连结EF,推导出EF〃BM,由此能证明BM〃平面

NDE.

><AE><-XAD><S

（2）推导出AE=3«,VE.AKK：VE-OT=T0正方形助明3AMDC；由此能求

出结果.

【解答】证明：（1）连结AM,设AMC1ND=F,连结EF,

•••四边形ADMN为正方形，是AM的中点，

又；E是AB中点，；.EF〃BM,

•；EF?平面NDE,BM?平面NDE,

；.BM〃平面NDE.

解：（2）•••正方形ADMN与矩形ABCD所在的平面相互垂直，

AB=2AD=6,点E为线段AB上一点.

直线EM与平面所成角的大小为一『，

...DEM-又...舶=6,DE=3«,

AE=<27-9=3点,

.vv_'x趣Xs正方形颂yXADXSAHDC

••VE-ADMN：VE-CDM-0：V）

_4-X3V2X32VX3X-^-X3X6

二J:Jz

=〃:1.

19.（本小题满分10分）【选修4一5：不等式选讲】

已知函数f(x)=|2x+l|+|2x-3|.

（I）求不等式f（x）W6的解集;

（II）若奖于关的不等式f（x）<|a-l|的解集非空，求实数。的取值范围

参考答案:

解：（I）原不等式等价于

x>2x<--

或《22

(2x+1)+(2r-/6[(2x+l)-(2x-3)<6或(-(2x♦l)-(2x-$W6,

-减-Lwxwl或-ISx

解之得2222,

即不等式的解集为{K|-1WE2}..............................................................................（5

分）

（H）•••/（x）=体+“+m-3对2x+1A（2.小4,

解此不等式得a<_磁r>5..............................................................（10

分）

20.某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练，从中抽出N名学生，其数学成绩

的频率分布直方图如图所示.已知成绩在区间内的学生人数为2人.

（1）求N的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数；

参考答案：

解答：解：（1）由频率分布直方图可知，成绩在区间内的频率为0.005X10=0.05,所以

N=0.05=40,利用中值估算抽样学生的平均分：

45X0.05+55X0.15+65X0.2+75X0.3+85X0.25+95X0.05=72.

所以，估计这次考试的平均分是7.

由频率分布直方图可知，成绩分布在间的频率最大，所以众数的估计值为区间的中点值

7-

(注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分)

【题文】

己知f(x)=ex-alnx-a,其中常数a>0.

(1)当a=e时，求函数f(x)的极值；

1<Y<1<Y

12

(2)若函数y=f(x)有两个零点x“.xz(0<x.<x2),求证：a<a；

(3)求证：e2*'2-ex''lnx-x>0.

【答案】

【解析】

考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最

值.

专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用.

分析：(1)求出a=e的函数的导数，求出单调区间，即可求得极值；

0<x4工

(2)先证明：当f(x)20恒成立时，有0<aWe成立.若e,则f(x)=e*-a

X>1

(lnx+1)显然成立；若e,运用参数分离，构造函数通过求导数，运用单调性，

结合函数零点存在定理，即可得证；

h(x)=工(x>0)

(3)讨论当a=e时，显然成立，设ex,求出导数，求出单调区间可得

最大值，运用不等式的性质，即可得证.

解答：解：函数f(x)的定义域为(0,+8),

(x)=x--

(1)当a=e时，f(x)=e'-elnx-e,ex,

X

F(x)=P-

而ex在(0,+8)上单调递增，又呈(1)=0,

当0<x<l时，f'(x)<f'(1)=0,则f(x)在(0,1)上单调递减;

当x>l时，f'(x)>f((1)=0,则f(x)在(1,+8)上单调递增，

则f(x)有极小值f(1)=0,没有极大

值;

(2)先证明：当f(x)20恒成立时，有0<aWe成立.

若0y

则f(x)=ex-a(lnx+1)20显然成立;

1x

若xe,由f(x)20得a“lnx+l,

ex(lnx+1-2)

。(x)二上(X)=...........-

令lnx+1,则(lnx+1)2,

g(x)=lnx+l--(x>-)

令Axe,

g’(x)=l+2>°(-1+8)

由X，得g(x)在e上单调递增，

(11)

又g(1)=0,所以4)z(x)在e*上为负，在(1,+8)上为正，

(11)

因此6(X)在巳'上递减，在(1,+8)上递增，即有(|)(X)(1)=e,

从而OVaWe.因而函数y=f(x)若有两个零点，则a>e,即有f(1)=e-a<0,

由f(a)=ea-alna-a(a>e)得f'(a)=ea-Ina-2,

则f'(a)=ea-Ina-2在(e,+8)上单调递增,

即有f'(a)>f(e)=ee-3>e2-3>0,

则有f(a)=ea-alna-a在(e,+°°)上单调递增，

则f(a)>f(e)=ee-2e>e2-2e>0,贝！Jf(1)f(a)<0,则有l〈X2〈a；

1111

i-1——一

f(-=-)=ain，-a二已安alna-a>eA-alne-a二小〉。

由a>e得aa,则

f(1)f(-)<0

a

所以《<X1<1沪<x<1<x<a

(-®ai2

，练上传a

(3)证明：由(2)知当a=e时，f(x)20恒成立，所以f(»x)=ex-elnx-e^O,

即f(x)=ex-elnx>e,

h(x)=工(x>0)hz(x)=—

设ex,则ex,

当0<x<l时，h'(x)>0,所以h(x)在(0,1)上单调递增；

当x>l时，h'(x)<0,所以h(x)在(1,+8)上单调递减，

h(x)(x>0)h(1)=——~

所以eX的最大值为e,即e、e,因而e**,

f(x)=eX-elnx»—

所以eX"，即f(x)=e-2-blnx-x》。.

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，

以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题.

21.设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.

(I)讨论f(x)在其定义域上的单调性；

(II)当xG［0,1］时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.

参考答案：

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性.

专题：导数的综合应用.

分析：(I)利用导数判断函数的单调性即可；

(II)利用(I)的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在［0,1］时的单调性，得

出取最值时的x的取值.

解答：解：(I)f(x)的定义域为(-8,+oo),f'(x)=l+a-2x-3xz,

-1--4+3a-l+W+3a

由f'(x)=0,得x尸3,x2=3,xi<x2,

-1--4+3a-l+44+3a

.,.由f'(x)<0得x<3，x>3

1.4+3a-l+U4+3a

由f'（x）>0得3<x<3

-1-W+3a-1+W+3a

故f（X）在（-8,3）和（3,+8）单调递减,

1」4+3a-1+W+3a

在（3,3）上单调递增;

,

(II)Va>0,..xl<0,x2>0,

①当a、4时，X22l,由(I)知，f(x)在［0,1］上单调递增，...f(x)在x=0和x=l

处分别取得最小值和最大值.

②当0<a<4时，x2<l,由(I)知，f(x)在［0,X2］单调递增，在［xz,1］上单调递

减，

-l+\/4+3a

因此f(x)在x=X2=3处取得最大值，又f(0)=1,f(1)=a,

.,.当OVaVl时，f(x)