23.3.3相似三角形的性质学案华东师大版九年级数学上册

相似三角形的性质【学习目标】1.掌握相似三角形的对应高、中线、角平分线、周长的比与相似比的关系2.掌握相似三角形的面积比与相似比的关系3.能利用相似三角形的性质进行有关的计算【学习重点】了解相似多边形的概念，探索相似多边形的周长比，面积比与相似比的关系.【学习过程】一、课前热身1.两个三角形相似的简便判定方法有哪些？（1）（2）（3）2.在△ABC与△A′B′C′中，AB=10cm，AC=6cm，BC=8cm，A′B′=5cm，A′C′=3cm，B′C′=4cm，两个三角形相似吗？说明理由.如果相似，请写出他们的相似比.二、自主学习如果两个相似三角形的相似比为3:5，那么其对应边上的高之比为；对应角的平分线之比为;对应边上的中线之比为;周长之比为;面积之比为.三、阅读探究知识点1：相似三角形对应边上的高与相似比之间的关系已知：如图,△ABC∽△A′B′C′且相似比为K，CD和C′D′是它们的对应高.求证：=K证明：∵△ABC∽△A′B′C′（已知）∴________=________（相似三角形对应角相等）又∵________=________=90°（三角形高的定义）∴_________∽________（两角对应相等的两个三角形相似）∴=________=K（相似三角形对应边成比例）★★结论：相似三角形对应边上的高之比等于相似比知识点2：相似三角形对应角平分线与相似比之间的关系已知:如图,△ABC∽△A′B′C′，相似比是K,CD和C′D′是它们的对应角的角平分线.求证：=K证明：知识点3：相似三角形对应中线与相似比之间的关系如图,△ABC∽△A′B′C′,相似比为K,AD,A′D′分别为△ABC和△A′B′C′的中线.求证：AD：A′D′=K证明：知识点4：相似三角形对应面积与相似比之间的关系如图,△ABC∽△A′B′C′,相似比为=K，AD,A′D′分别为△ABC和△A′B′C的高，求证:Ｓ△ABC：Ｓ△A′B′C′=K证明：★★结论：1.相似三角形对应边上高的比等于_________.2.相似三角形的对应角平分线的比等于相似比.3.相似三角形对应边上中线的比等于相似比.4．相似三角形的周长比等于相似比5．相似三角形的面积比等于相似比的平方.核心提示：1.相似三角形的性质适用于相似三角形，一般三角形不具有此性质2.相似三角形的性质揭示的是它们的对应线段，周长，面积与相似比的关系，在解决问题是要灵活运用3.利用相似三角形的这些性质可以求线段长或求周长或求三角形的面积四、点例分析例1在△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于E,若AB=10，BC=6,DE=2,求四边形DEBC的面积.例2三角形ABC是一块钝角三角形余料，边BC＝160mm,高AD＝80mm,要把它加工成长方形零件，长是宽的2倍，长方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个长方形零件的面积是多少？变式练习：如图△ABC是一块直角三角形余料，AC=60cm，BC=80m，现要把它加工成正方形零件，试说明下面两个加工方法中的哪一种的利用率较高？五、小结1.本节课你学了那些知识：2.在学习中运用了那些数学思想和方法：六、当堂检测1.△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们对应角的角平分线，已知AD=8cm，A′D′=3cm，则△ABC与△A′B′C′的相似比是_________，对应高之比为_________,周长之比为_________,面积之比为_________.2.在一张比例尺为1：100000的地图上，面积为1cm2的多边形表示的实际面积是（）A.1000cm2B.100m2C.1000m2D.1000000m2两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2,则较小三角形的周长是cm，面积cm2.4.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14厘米（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是.（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分别是.第5题图5.如图在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上的一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=.△ADE与△ABC的周长之比为，△CFG与△BFD的面积之比为.第5题图.6.在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE=CD.（1）求证：△ABF∽△CEB；（2）若△DEF的面积为2，求ABCD的面积.课后作业基础过关知识点一:相似三角形对应角平分线、中线、高之比如图(1)，在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，BM⊥CE，则Rt△BEM与Rt△BCM斜边上的高之比是()A．1:1 B．1:2 C．1: D．1:4图(4)图(3)图(2)图(1)图(4)图(3)图(2)图(1)如果两个相似三角形对应高的比是1:2，那么它们的相似比是；对应的角平分线的比是；对应的中线的比是。如图(2)，梯形ABCD中，AD∥BC，两腰BA与CD的延长线相交于P，PF⊥BC，AD＝2，BC＝5，EF＝6，则PF＝．知识点二:相似三角形周长之比△ABC的三边分别为3㎝，4㎝，6㎝，与其相似的△的最大边的长为18㎝，那么△的周长为。如果两个相似三角形的相似比为2:1,周长之差为12㎝，则两个相似三角形的周长分别为。知识点三:相似三角形面积之比在一张比例尺为1:40000的地图上，1的面积所表示的实际面积是。如图(3)，已知:△ABC∽△DBE，AB＝6，DB＝8，则＝。如图(4)，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，BD＝4，则△ADE与△ABC的面积比为。如图(5)，在□ABCD中，E为AB延长线上一点，AB:AE＝2:5，若＝12，则＝。如果两个相似三角形的面积比为1:2，那么它们的周长比为。图(5)图(8)图(7)图(6)图(5)图(8)图(7)图(6)如图(6)，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果AD:BC＝1:3，那么下列结论错误的是()A．＝ B．＝3 C．＝9 D．＝9能力提升如图(7)，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，且＝1:4，则DE:BC＝。如图(8)，△ABC中，FG∥DE∥BC，且FG和DE把△ABC的面积三等分，则FG:DE:BC＝。如图，在平行四边形ABCD中，AE:EB＝1:2， (1)求△AEF和△CDF的周长比；(2)如果＝6，求思维拓展如图，在△ABC中，AM与BN相交于D，BM＝3MC，AD＝DM，求:(1)BD:DN的值； (2)的值；一开发商拍得一块三角形土地，如图△ABC。测得：△ABC是锐角三角形，BC＝120，高