2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第三十八讲指数幂及其运算性质

第三十八讲：指数幂及其运算性质【教学目标】1.理解n次方根、根式的概念；2.能正确运用根式运算性质化简求值；3.会对分式和分数指数幂进行转化；4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质；5.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质．【基础知识】1．n次方根的定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．n次方根的性质n为奇数n为偶数a∈Ra>0a＝0a<0x＝eq\r(n,a)x＝±eq\r(n,a)x＝0不存在3.根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．4．根式的性质(1)负数没有偶次方根．(2)0的任何次方根都是0，记作eq\r(n,0)＝0.(3)(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．(4)eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数)．5．根式与分数指数幂的互化(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．6．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．7．实数指数幂的运算法则(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．(4)拓展：eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈R)．【题型目录】考点一：简单根式的化简求值考点二：分数指数幂考点三：实数指数幂的简单运算法则考点四：实数指数幂的复杂运算法则考点五：配凑指数运算考点六：实际问题中的指数运算【考点剖析】考点一：简单根式的化简求值例1．化简：（） A．0 B． C．或0 D．【答案】A【详解】因为所以，故，故选：A变式训练1．是实数，则下列式子中可能没有意义的是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，的偶次方根无意义.故选：D变式训练2．（） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时，【答案】D【详解】当为奇数时，；当为偶数时，.故选：D变式训练3．（多选）下列各式正确的是（） A． B． C． D．【答案】BD【详解】当n为偶数时，故A，C选项中的式子不正确；当n为奇数时，则，故B，D选项中的式子正确.故选：BD.考点二：分数指数幂例2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】对于A选项：，，故A错误；对于B选项：，故B错误；对于C选项：，故C正确；对于D选项：当时，，而当时，没有意义，故D错误.故选：C变式训练1．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】A.，故A错误；B.，故B错误；C.，故C错误；D.，故D正确.故选：D变式训练2．下列各式中成立的是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项正确.故选：D.变式训练3．下列各式中正确的是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】A.，故A错误；B.，故B错误；C.，故C错误；D.，故D正确.故选：D考点三：实数指数幂的简单运算法则例3．下列计算正确的是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】A选项，，A错误；B选项，，B错误；C选项，，C正确；D选项，，D错误.故选：C变式训练1．下列各式计算正确的是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】对于A，，A对；对于B，，B错；对于C，，C错；对于D，，D错.故选：A变式训练2．设，则下列等式恒成立的是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】由指数幂运算法则可知：，，BC错误，D正确，当时，，故，A错误.故选：D变式训练3．化简（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由.故选：C考点四：实数指数幂的复杂运算法则例4．求值：(1)(2).【答案】(1)110；(2).【详解】（1）（2）.变式训练1．计算，结果是（） A．1 B． C． D．【答案】B【详解】.故选：B变式训练2．化简的结果为（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由分数指数幂的运算可得：，故选：.变式训练3．（1）计算（2）化简：.【答案】(1)；(2)；【详解】(1)(2)考点五：配凑指数运算例5．若，求的值．【答案】14【详解】由题意得，得，同理，故变式训练1．已知，则的值为（） A．2 B．－2 C． D．±2【答案】D【详解】，所以故选：D变式训练2．已知，则的值是（） A．15 B．12 C．16 D．25【答案】A【详解】因为，所以，又由立方差公式，，故选：A．变式训练3已知：，求的值.【答案】【详解】因为，则，所以，，所以，，可得，，因此，.考点五：实际问题中的指数运算例6．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（）【答案】D【详解】由题意可得，则，即存期，本利和为，则存期，则利息为万元.故选：D变式训练1．碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为（） A． B．25730 C． D．【答案】C【详解】设碳14的年衰变率为m，原有量为1，则，故，所以碳14的年衰变率为.故选：C变式训练2．的价格不断降低，若每隔半年其价格降低，则现在价格为2560元的，两年后价格可降为（） A．1440元 B．900元 C．1040元 D．810元【答案】D【详解】根据题意，计算机的价格降了4次，每次价格降低，即降一次后价格变为价格不变前的，故降价4次以后的价格为2560×=810元，即两年后价格可降为810元．故选：D．变式训练3，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（） A． B． C． D．【答案】A【详解】设地球的公转周期为，则火星的公转周期为.设地球､火星运行轨道的半长轴分别为，，则，于是.故选:A.【课堂小结】1．知识清单：(1)n次方根的概念、表示及性质．(2)根式的概念及性质．(3)分数指数幂与根式的相互转化．(4)无理数指数幂的运算．(5)实际问题中的指数运算．(6)实数指数幂的综合运用．2．方法归纳：转化法，整体代换法．3．常见误区：(1)对于eq\r(n,a)，当n为偶数时，a≥0.(2)混淆(eq\r(n,a))n和eq\r(n,an).(3)在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．【课后作业】1．下列计算正确的是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】A选项，，A错误；B选项，，B错误；C选项，，C正确；D选项，，D错误.故选：C2．，下列各式一定有意义的是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】对于A，当时，无意义，A不是；对于B，当时，无意义，B不是；对于C，对任意实数都有意义，C是；对于D，当时，无意义，D不是.故选：C3．下列等式一定成立的是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：D4．下列各式计算正确的是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】对于A，，A对；对于B，，B错；对于C，，C错；对于D，，D错.故选：A5．的值为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】原式＝.故选：D．6．下列各式中成立的是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项正确.故选：D.7．计算，结果是（） A．1 B． C． D．【答案】B【详解】.故选：B8．化简的结果为（） A． B． C． D．【答案】C【详解】故选：C.9．化简（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由.故选：C10．化简算式等于（） A．1 B． C． D．【答案】B【详解】原式.故选：B.11．化简的结果为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】=======故选：B12．化简（a，b为正数）的结果是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C.13．（） A． B． C． D．【答案】B【详解】.故选：B14．若，则（） A．5 B．7 C． D．【答案】C【详解】因为，两边平方得，即，所以原式.故选：C.15．化简与求值．(1)；(2)(3)；(4)＋.【答案】(1)；(2)3；(3)π－3；(4)【详解】（1））；（2）；（3）；（4）原式=，当时，原式；当时，原式.所以原式=16．计算下列各式．(1)；(2).【答案】