必要条件与充分条件 高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

1.2.1-1必要条件与充分条件导入新课

当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈.”那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中类似地是层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题——充分条件与必要条件.复习回顾问题1：什么是命题？（可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题）问题2：命题有什么样的基本结构？（一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论）问题3：我们初中学习的数学定理都是命题吗？如果是命题，它们都是真命题吗？（我们初中学习的数学定理都是命题，并且都是真命题）探究新知探究新知必要条件与性质定理问题4：阅读教材第14页“实例分析”的内容，回答“思考交流”中的问题.（以定理2为例，定理为对顶角的性质定理，两个角相等是两个角为对顶角必有的性质.也就是说，如果能确定两个角是对顶角，那么一定可以得出这两个角相等.而旦某两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角）问题5：在初中数学中，我们还学过哪些重要的平面几何图形的性质定理，你能举出一些定理并进行分析吗？（找几名学生举例并分析）探究新知问题6：“对角线互相垂直是菱形必有的性质”，如何理解“必有”？（“必有”：必须具备的，不可或缺的；如果没有就不可以，结论就不成立）设计意图：通过对初中学习的一些性质定理的分析与研究，深化学生对必要条件的理解，为抽象概括出必要条件的定义做好铺垫，体现了从特殊到一般的研究问题的方法.问题7：什么是必要条件？（一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的）探究新知问题8：你能用必要条件的语言表述前面“实例分析的3个定理吗？（定理1：“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件.定理2：“两个角相等”是“两个角是对顶角”的必要条件.定理3：“两个三角形的对应角相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件）问题9：你能总结判断必要条件的基本思路方法吗？（①分清命题的条件与结论，转化为命题的基本结构：“若p，则q”；②判断命题“若p，则q”的真假；③在“若p，则q”是真命题的前提下，称q是p的必要条件）设计意图：通过实例抽象概括出必要条件的概念，用概念分析表述前面“实例分析”的3个定理，并总结判断必要条件的基本思路方法，加深对概念的理解和认识.典例剖析例1、将下面的性质定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述：（1）平面四边形的外角和是360°；（2）在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同.（找两名学生回答，教师点评后给出答案）解析

（1）“平面四边形的外角和是360”可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角和为360°”，所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必要条件.（2）“在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“在平面直角坐标系中，若两个点关于x轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于x轴对称”的必要条件.探究新知问题10：你们能独立完成教材第15页练习第1，2题吗？（学生先独立完成，再讨论交流后回答，教师给出评价）设计意图：必要条件的定义是由平面几何图形及其性质之间的关系得到的，因此，例题和练习题的设计需要考虑解析几何的性质定理和代数性质定理.探究新知充分条件与判定定理问题11：阅读教材第15页“实例分析”的内容，回答教材第16页“思考交流”中的问题.（以定理5为例，定理5：若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形定理5是说：如果一个四边形满足了条件“对角线互相平分”，一定有结论“这个四边形是平行四边形”）探究新知问题12：在初中数学中，我们还学过哪些重要的平面几何图形的判定定理，你能举出一些定理并进行分析吗？（找几名学生举例并分析）设计意图：通过对初中学习的一些判定定理的分析与研究，深化学生对充分条件的理解，为抽象概括出充分条件的定义做好铺垫，体现了从特殊到一般的研究问题的方法.问题13：你能类比必要条件的定义，给出充分条件的定义吗？（一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称是q的充分条件）探究新知

探究新知问题15：你能总结判断充分条件的基本思路方法吗？（①分清命题的条件与结论，转化为命题的基本结构：“若p，则q”；

②判断命题“若p，则q”的真假；

③在“若p，则q”是真命题的前提下，称p是q的充分条件）典例剖析

解析

设计意图：通过实例抽象概括出必要条件的概念，用概念分析表述前面“实例分析”的3个定理，并总结判断充分条件的基本思路方法，加深对概念的理解和认识.探究新知问题16：你们能独立完成教材第16页练习第1，2题吗？（学生先独立完成再讨论交流后回答，教师给出评价）课堂小结引导学生共同小结：（1）试回顾本节课的基本研究过程，归纳其中的基础知识、基本技能及基本思想；（2）谈一谈必要条件与充分条件的定义的学习对你有什么启发；（3）判断必要条件与充分条件的思路方法.设计意图：巩固必要条件与充分条件定义的得出过程，提升学生对数学抽象素养的认识，学会从特殊到一般进行数学抽象，得出一般性结论的研究方法，渗透逻辑