4.6图形的位似变换（重难点突破＋AB分层训练）

4.6图形的位似变换（重难点＋AB分层训练）【知识点一、位似多边形定义】如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点0，且每组对应点与点0点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA'k·OA(k0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点0叫做位似中心，注意:位似图形与相似图形的区别:位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.【知识点二、位似图形的性质】(1)位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心;(2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比;(3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【知识点三、平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同】图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的;而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的.【知识点四、作位似图形的步骤】第一步:在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心;第二步:作位似中心与各关键点连线:第三步:在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例:第四步:顺次连接各对应点.注意:位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，【知识点五、坐标系中的位似图形】在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k#0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k.注意:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以《或除以)k或k.考点1位似图形相关概念辨析【例1】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“

”均是相似图形，其中不是位似图形的是（

）A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④【答案】B【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得．【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意；B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意；C、①和④是位似图形，则此项不符合题意；D、②和④是位似图形，则此项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键．【变式训练11】（2022秋·九年级单元测试）如图，下面三组图形中，位似图形有（）A．0组 B．1组 C．2组 D．3组【答案】C【分析】根据位似图形的性质逐一进行判断即可得到答案．【详解】解：∵三组图形都是相似图形，第一组和第三组图形的对应点连线所在的直线经过同一点，第二组图形的对应点连线所在的直线不经过同一点，∴第一组和第三组图形是位似图形，第二组不是位似图形，故选：C．【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形必须同时满足两个条件：①两个图形是相似图形；②两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，二者缺一不可．【变式训练12】（2023秋·福建漳州·九年级统考期末）如图，已知△ABC与△DEF是位似图形，DE=2AB，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，则下列说法错误的是（

）A．直线AD一定经过点O B．∠EDF=2∠BACC．B为OE的中点 D．S【答案】B【分析】根据位似图形的性质即可进行解答．【详解】解：A、∵位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，∴直线AD一定经过点O，故A正确，不符合题意；B、∵△ABC与△DEF是位似图形，∴∠EDF=∠BAC，故B错误，符合题意；C、∵△ABC与△DEF是位似图形，DE=2AB，∴OE=2OB，即B为OE的中点，故C正确，不符合题意；D、∵DE=2AB，∴OBOE=OC∴△BOC∽△EOF，∴S△OEFSΔOBC=∴S四边形BCFE=3故选：B．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，位似图形对应边成比例，对应角相等，面积比等于位似比的平方．【变式训练13】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考开学考试）下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据位似图形的定义判断即可.【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，所以A，B，D中的两个图形是位似图形，C中的两个图形不是位似图形.故选C.【点睛】本题考查了位似图形的的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形.【变式训练14】（2022春·九年级课时练习）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为1∶2，下列结论不正确的是（）A．AC∥DFB．ABC．BC是△OEF的中位线D．S△ABC：S△DEF=1：2【答案】D【分析】根据位似图形的性质、中位线的定义、相似多边形的性质判断即可；【详解】解：∵位似图形的对应线段平行且比相等；位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比；∴AC∥DF，AB∶DE=OA∶OD=1∶2，即A、B选项正确；∵BC∥EF，BC∶EF=1∶2，∴BC是△OEF的中位线；即C选项正确；∵位似图形是相似图形，∴△ABC∽△DEF，∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，∴S△ABC：S△DEF=1：4，即D选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质和中位线的定义；掌握位似图形的性质是解题关键．考点2判断位似中心【例2】（2023秋·九年级课时练习）如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是(

)A．(1，0) B．(－5，－1) C．(1，0)或(－5，－1) D．(1，0)或(－5，－2)【答案】D【详解】试题分析：考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．本题应分两种情况讨论，一种是E和C是对应点，G和A是对应点；二种是A和E是对应点，C和G是对应点．解：∵正方形ABCD和正方形OEFG中A和点F的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），∴E（﹣1，0）、G（0，﹣1）、D（5，2）、B（3，0）、C（5，0），（1）当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点时，位似中心就是EC与AG的交点，设AG所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得．∴此函数的解析式为y=x﹣1，与EC的交点坐标是（1，0）；（2）当A和E是对应顶点，C和G是对应顶点时，位似中心就是AE与CG的交点，设AE所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），，解得，故此一次函数的解析式为y=x+…①，同理，设CG所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），，解得，故此直线的解析式为y=x﹣1…②联立①②得解得，故AE与CG的交点坐标是（﹣5，﹣2）．故答案为（1，0）、（﹣5，﹣2）．考点：位似变换．【变式训练21】（2023春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点D2，2，点GA．(-2，0) B．(-1，0) C．【答案】A【分析】根据两个位似图形对应顶点所在的直线相交于一点，交点就是位似中心，可得连接DG并延长，其与x轴交点即为位似中心，用待定系数法求出直线DG解析式，即可求解．【详解】解；连接DG并延长交x轴于M，∵点D与点G是一对对应点，则可知两个位似图形在位似中心的同旁，位似中心就是点M，设直线DG解析式为；，将D2，22k+b=2b=1解得：k=12∴直线DG解析式为y=12令y=0，可得：x=-2，∴M(-2，即位似中心的坐标是(-2，故选A．【点睛】考题考查了判断位似中心和求解位似中心，待定系数法求一次函数，熟练掌握位似中心的定义是解题的关键．【变式训练22】（2023秋·福建泉州·九年级泉州五中校联考期末）如图，正方形网格图中的△ABC与△A'BA．点O B．点P C．点Q D．点【答案】A【分析】连接AA',C【详解】解：如图，连接AA',C∴位似中心是点O．故选：A．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．【变式训练23】（2023春·河北唐山·九年级统考开学考试）如图，若△ABC与△DEF是位似图形，则位似中心可能是（）A．O1 B．O2 C．O3【答案】A【分析】根据位似中心的定义判断即可．【详解】如图所示，连接CF和BE并延长，相交于O1点，∴可能的位似中心为O1点，故选：A．【点睛】本题考查位似图形的概念，掌握位似中心是对应点连线的交点是解题关键．【变式训练24】（2023秋·九年级课时练习）如图，点O是等边三角形的中心，P'、Q'、R'分别是OP、、的中点，则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形，此时A．2、点P B．12、点P C．2、点O D．12【答案】D【分析】一般地，如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线都相交于同一点：这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形就叫做位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心．位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比，位似比等于相似比．因而位似中心是点O，△P'Q'R【详解】∵点O是等边三角形的中心，P'、Q'、R'分别是OP、、的中点，∴各对应点的连线交于点O，∴位似中心是点O，∵△P'Q'R'与△PQR是位似三角形，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比，∴△P'Q'R故选：D．【点睛】本题考查了位似的相关知识，理解掌握位似中心和位似比的定义是解题的关键．考点3画已知图形的位似图形【例3】（2023·湖北武汉·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考模拟预测）如图是一个6×6的正方形网格和平面直角坐标系，网格的每个小正方形边长为l，顶点都为格点的三角形我们称作格点三角形．如图△ABC是格点三角形．(1)将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到对应图形△AB(2)在网格中，以B为位似中心，同侧将△BAC按2:1放大，对应得到△BA2C2，画出【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析，点C2坐标为4,0【分析】（1）将线段AB、AC分别绕点A顺时针旋转90°，然后连接成线，得到对应图形△AB（2）根据位似比将线段AB、BC进行同侧放大，进而连接成线即可．【详解】（1）解：如图所示（2）解：如图所示由图可知点C2的坐标为4,0【点睛】本题考查了旋转图形以及位似图形，能够根据变换规则画出对应后的图形是解决本题的关键．【变式训练31】（2023·安徽池州·校联考二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）及平面直角坐标系xOy．(1)将△ABC绕O点逆时针旋转90°得到△A1B(2)以点O为位似中心，在第四象限将△ABC放大2倍得到△A2B2C【答案】(1)见解析(2)作图见解析，15【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1，然后描点即可；（2）把A、B、C点的坐标都乘以2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可，再由割补法求面积即可得到答案．【详解】（1）如图，△A（2）如图，△ASΔ【点睛】本题考查了旋转变换、割补法求面积及位似变换，即在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k．【变式训练32】（2023春·广东深圳·九年级专题练习）如图，已知点B-3,6，C-3,0，以坐标原点O为位似中心，在第四象限将△OBC缩小为原来的三分之一（即新图形与原图形的相似比为(1)画出缩小后的图形；(2)写出B点的对应点坐标；(3)如果△OBC内部一点M的坐标为x,y，写出点M经位似变换后的对应点坐标．【答案】(1)见详解(2)1,-2(3)-【分析】（1）将OC、BC缩小为原来的后，找出对应点，作出图形即可．（2）根据（1）所作的图可以找出B点的对应点坐标．（3）根据位似变换中坐标变换规律即可求出．【详解】（1）解：如图，△ODE为所求作的图形．（2）解：由（1）得B点的对应点坐标：1,-2．（3）解：Mx,y由第二象限变换到第四象限为-x,-y，∵新图形与原图形的相似比为1:3∴-【点睛】本题考查了位似变化作图及坐标变换，掌握位似变化作图方法及坐标在位似变换中的规律是解题的关键．【变式训练33】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点的坐标分别为O0,0，A6,3，(1)画出△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△OA(2)连接AA1，∠OAA1(3)以原点O为位似中心，相似比为12，在第一象限内将△ABO缩小得到△A2B2O【答案】(1)见解析(2)45(3)图见解析，A【分析】（1）将点A、B分别绕点O逆时针旋转90°得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可得出答案；（2）根据旋转的性质、等腰直角三角形的性质可得答案；（3）根据位似变换的概念作出点A、B的对应点，再与点O首尾顺次连接，根据位似比可得为OA的中点，即可求得点的坐标．【详解】（1）解：如图，△OA（2）如图，∵OA=OA1，且∴∠OAA故答案为：45；（3）如图，△OA∵A6,3，OA2=1∴A【点睛】本题主要考查作图：旋转变换与位似变换，解题的关键是掌握旋转变换与位似变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．【变式训练34】（2023·全国·九年级专题练习）在坐标平面内，△ABC的顶点位置如图所示．(1)将△ABC作平移变换，使得点（x，y）(2)以点O为位似中心，在网格中画出与△A1B1C1位似的图形△A2B【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）点（x，y（2）把A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2【详解】（1）如图，△A（2）如图，△A【点睛】本题考查作图，解题的关键是掌握以原点为位似中心的对应点的坐标变换规律．考点4求位似图形的相似比【例4】（2023春·福建福州·九年级校考阶段练习）已知△ABC与△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的周长比为14，则△ABC与△DEF的相似比是（

A．12 B． C．14 D．【答案】C【分析】根据周长比等于相似比直接可以得到答案．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比为14∴△ABC与△DEF的相似比等于周长之比，即等于14故选C．【点睛】此题重点考查学生对位似图形的理解，掌握周长比等于相似比是解题的关键．【变式训练41】（2023·重庆·模拟预测）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，△ABC面积为1，△DEF面积为9，则OCCF的值为（

A． B．12 C． D．2【答案】B【分析】根据位似图形的概念得到BC∥EF，进而得到△OBC∼△OEF，根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∼△DEF，BC∥EF，∴△OBC∼△OEF，∴OC：∵S△ABC∵OC∴OC故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【变式训练42】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，△ABC面积为4，△DEF面积为25，则的值为（

）A． B．425 C．25 D．【答案】C【分析】根据位似图形的性质得出位似比，根据位似比等于相似比，根据面积比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，△ABC面积为4，△DEF面积为25，∴OAOD∴，故选：C．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【变式训练43】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校联考阶段练习）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AC:DF的值为（

）A．2:3 B．2:5 C．4:9 D．4:13【答案】A【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质即可求得△ABC的面积：△DEF面积=4：9【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∼△DEF，∴△ABC的面积∴AC:DF=2:3，故选：A．【点睛】此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．【变式训练44】（2023·广西梧州·统考二模）如图，已知△OAB，作射线OA，OB，分别在射线OA，OB上取点A1，B1，使OAOA． B． C．2 D．3【答案】A【分析】根据位似图形的定义，即可求解．【详解】解：∵OAO∴△OAB与△OA1B故选：A．【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．考点5求位似图形的坐标【例5】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣43，﹣1） C．（﹣1，﹣43） D．（﹣2，﹣【答案】B【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以-1【详解】解：∵以点O为位似中心，位似比为，而A（4，3），∴A点的对应点C的坐标为（-43，﹣故选：B．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k．【变式训练51】（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为原点O，位似比为1:2，若点A．(4,-6) B． C．(3,-6) D．【答案】A【分析】根据位似图形的性质解答即可．【详解】解：∵点C（−2，3），C'与C在原点两侧，且位似比为1：2∴C'坐标为[−2×（−2），2×（−3）]，即C'（4，故选：A．【点睛】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的有关性质是解题的关键．【变式训练52】（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A1,2,B2,1,C3,2，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2A．2,4 B．4,2 C．6,4 D．5,4【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC的位似比为2的位似图形是△A'B∴C'2×3,2×2故选：C．【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．【变式训练53】（2023秋·山东日照·九年级日照港中学校联考期末）如图，△ABO缩小后变为△A'B'O，其中A、B的对应点分别为A'、B'，点A、B、A'、B'均在图中格点上，若线段AB上有一点P(m,n)A．m2,n B．m,n2 C．【答案】C【分析】先确定好点A、B、A'、B'的坐标，再根据△ABO缩小后变为△A'B'O【详解】解：由题意得点A的坐标为4,6，点A'的坐标为2,3、点B的坐标为6,2，点B'的坐标为∵△ABO缩小后变为△A'B'O，其中A、B∴线段AB上有一点P(m,n)，则点P在A'B'上的对应点P故选：C【点睛】本题考查了位似图形的性质，根据已知对应点的坐标变化发现位似变换规律是解题关键．【变式训练54】（2023·山西长治·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点均在格点处，点A的坐标为(4,-1)，点D的坐标为(6,3)，以原点O为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，则点B的对应点B'的坐标为（）A． B．(-4,-3C．4,-32或(-4，-3【答案】D【分析】先根据图形和正方形的性质求出点B的坐标，根据以原点O为位似中心的位似图形的性质计算．【详解】解：过点A作x轴的垂线EF，过点B作BE⊥EF于E，过点D作DF⊥EF于F，∵∠DAB=90°，∴∠DAF+∠BAE=90°，∵∠ABE+∠BAE=90°，，在ΔDAF和中，∠AFD=∠BEA∠DAF=∠ABE∴ΔDAF≅，，∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标为(4,-1)，点D的坐标为(6,3)，∴点B的坐标为(8,-3)，∵以原点O为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，∴点B的对应点B1的坐标是，-3×12)或(-8×12，3×故选：D．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．考点6求位似图形的周长【例6】（2023·重庆·九年级专题练习）如图所示，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心．若AD=3OA，△ABC的周长为5，则△DEF的周长为（

）A．10 B．15 C．25 D．125【答案】A【分析】根据位似图形的概念得到AB∥ED，进而证明，根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∼△DEF，∴AB∥ED，∴，∴ABDE∴△ABC与△DEF的周长比为1:2，∵△ABC的周长为5，∴△DEF的周长为10．【点睛】本题考查的是位似变换的概念，相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．【变式训练61】（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是（）A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1【答案】A【分析】由以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝10cm，OA′＝20cm，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20＝1：2，然后由相似多边形的性质进一步求解即可.【详解】∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝10cm，OA′＝20cm，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20＝1：2，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是：1：2．故选：A．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.【变式训练62】（2023·山西忻州·模拟预测）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．18【答案】B【分析】由△ABC与△DEF是位似图形，且OA:OD=1:3知△ABC与△DEF的位似比是1:3，从而得出△ABC周长：△DEF周长=1:3，由此即可解答．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，且OA:OD=1:3，∴△ABC与△DEF的位似比是1:3．则△ABC周长：△DEF周长=1:3，∵△ABC的周长为2，∴△DEF周长=2×3=6故选：B．【点睛】本题考查了位似变换：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比．【变式训练63】（2023·四川成都·统考二模）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'，已知OAA'【答案】28【分析】根据位似的性质，得到AB∥A'B'，推出△OAB∽△OA【详解】∵OAA∴OAO∵四边形ABCD与四边形A'∴四边形ABCD∽四边形A'B'∴△OAB∽△OA∴ABA'∴四边形ABCD的周长∶四边形A'B'∵四边形ABCD的周长是8，∴四边形A'B'故答案为：28．【点睛】本题考查位似图形，相似三角形的判定和性质．熟练掌握位似图形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．【变式训练64】（2023秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期末）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为点O，且OA'=2A【答案】6【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．【详解】∵OA∴OA∵△ABC与△A∴△ABC∼△A'B∴△OAB∼△OA∴O∴△ABC与△A'B∵△ABC的周长为9，∴△A'B故答案为：6．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．考点7求位似图形的面积【例7】（2023秋·广西百色·九年级统考期末）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为点O，OA'=2AA'，△ABC的面积为9，则△A'B'C'面积为（

）A．4 B．6 C．92 D．【答案】A【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A'B'C'，AB∥A'B'，可得△OAB∽△OA'B'，根据相似三角形的性质得到ABA'B【详解】解：∵△ABC与△A'B'C'位似，∴△ABC∽△A'B'C'，AB∥A'B'，∴△OAB∽△OA'B'，∴ABA∴△ABC的面积：△A'B'C'的面积＝9：4，∵△ABC的面积为9，∴△A'B'C'的面积为：4，故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【变式训练71】（2023秋·山东临沂·九年级统考期末）如图，△ABC与△A1B1C1位似，A1，B1，C1分别为OA，OB，OCA．4 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】由△ABC和△A1B1C1是位似三角形，C1【详解】解：∵△ABC和△A1B1C1是位似三角形，A1，B1，∴△ABC∼△A1∵相似三角的面积比等于相似比的平方，又∵△A1B∴△ABC的面积为：4×4=16，故选：C．【点睛】本题考查位似图形，相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟练掌握位似图形的定义是解题的关键．【变式训练72】（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA=2，AD=3，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（

）A．6 B．9 C．10 D．25【答案】D【分析】先根据位似图形性质得到，然后根据位似图形的面积比等于位似比的平方计算即可解答．【详解】解：∵OA＝2，∴OD=OA+AD=5，∵△ABC与△DEF是位似图形，∴，∴S∵△ABC的面积为4，∴△DEF的面积为25．故选：D．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似的面积比等于位似比的平方是解答本题的关键．【变式训练73】（2023·江苏·九年级专题练习）如图，点在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1//A2B2//A．8 B．9 C．10 D．【答案】D【分析】由题意得S△B1A2B2S△B2A3B【详解】解：由已知得：△B∴B1设A1B1,A2∴A∴S∴S同理有S△∴图中三个阴影三角形面积之和为：S△故选D．【点睛】本题考查三角形相似的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题关键．【变式训练74】（2023春·重庆·九年级校联考期中）如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，则OA:OA1=1:2【答案】12【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A1B1C【详解】解：∵△ABC与△A∴△ABC∽△A1B1C∴△AOC∽△A∴，∴△ABC与△A1B1C∵△ABC的面积为3，∴△A1B故答案为：12．【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．考点8求位似图形的线段长度【例8】（2023·陕西西安·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF是位似图形，原点O是位似中心，位似比OA:OD=1:3，若，则DE的长为（

）．A．5 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，∴AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴ABDE=OA解得：DE＝9，故选：C．【点睛】本题考查位似图形的概念和性质，掌握位似图形的对应边平行和相似三角形的性质是解题的关键．【变式训练81】（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心将△OAB放大得到△OCD．若点A、C的横坐标分别为1、2，且AB＝5，则线段CD的长为（

）A．2 B．5 C．4 D．25【答案】D【分析】根据两三角形位似，可通过两点横坐标之比得到两个图形的相似比，根据相似比和AB长度可知CD长度．【详解】解∵以原点O为位似中心将△OAB放大得到△OCD，点A、C的横坐标分别为1、2，∴△OAB与△OCD的相似比为1:2，∵AB＝5，∴CD=2AB=25故选：D．【点睛】本题考查位似图形的性质，以及相似比，能够根据相似比求出图形的边长是本节课的重点．【变式训练82】（2023·浙江温州·校考三模）如图，矩形ABCD与矩形位似，点O是位似中心，已知OH:HD=1:2，，则AD的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】先由OH:HD=1:2可得OH:HD=1:2，再由矩形ABCD与矩形位似可得EHAD=【详解】解：∵OH:HD=1:2，∴OHOD∵矩形ABCD与矩形位似，∴EH∵，∴AD=6．故选C．【点睛】本题主要考查了位似的性质，根据题意得到EHAD【变式训练83】（2023秋·山西大同·九年级大同市第二中学校校考期末）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2:3，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若AB=6，则A'A．8 B．9 C．10 D．15【答案】B【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案．【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2:3，∴ABA∵AB=6，∴6A∴A故答案为：B．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．【变式训练84】（2023秋·九年级课时练习）如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2:3，已知AB=10，则DE的长为．【答案】15【分析】根据相似比，列出比例式即可求解．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2:3，∴△ABC∽△DEF∴DE:AB=3:2，∵AB=10，∴DE=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了位似图形，相似三角形的性质,属于简单题,列出比例式是解题关键．1．（2022·河北唐山·校考一模）如图所示是利用图形变换设计的一个美术字图案，这样设计的美术字更富有立体感，则该图案在设计的过程中用到的图形变换是（）A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似【答案】D【分析】根据位似图形的定义，即可解决问题．【详解】解：根据位似的定义可知：该图案在设计的过程中用到的图形变换是位似．故选：D．【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似图形的定义．2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，△ABC与△A'BA．点M B．点N C．点Q D．点P【答案】D【分析】根据位似中心是位似点连线的交点判断即可．【详解】如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心，故选D．【点睛】本题考查了三角形的位似，清楚位似中心是位似点连线的交点是解题的关键．3．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法中，正确的是（

）A．两个多边形相似，则它们一定是位似图形 B．两个位似图形的位似中心可能不止一个C．位似图形一定是相似图形 D．两个多边形相似，面积比一定是相似比【答案】C【分析】根据位似图形的概念和相似多边形的性质判断即可．【详解】A.两个多边形相似，则它们不一定是位似图形，，故该选项说法错误；B.两个位似图形的位似中心只有一个，故该选项说法错误；C.位似图形一定是相似图形，故该选项说法正确；D.两个多边形相似，面积比是相似比的平方，故该选项说法错误；故选：C．【点睛】本题考查的是位似图形的概念，相似多边形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．4．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为1：4，若OA=2，则OD的长为()A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根据对应点到位似中心距离之比等于位似比即可解答．【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为1:4，∴OAOD∵OA=2，∴OD=4OA=8，故选：C．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形中“对应点到位似中心距离之比等于位似比”是解答本题的关键．5．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为2，3，点E的横坐标为，则点P的坐标为（

A．0，-2 B．-2，0 C．【答案】B【分析】由四边形OABC是矩形，点B的坐标为2，3可得AB=CO=3，OA=2，由矩形OABC与矩形ODEF是位似图形可得EF∥OC，DE∥OP，从而得到△CDE∽△CPO，△POD∽△PAB，由相似三角形的性质可得CDCO【详解】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为2，∴AB=CO=3，∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，∴EF∥OC，DE∥OP，∴△CDE∽△CPO，△POD∽△PAB，∴CDCO=∵点E的横坐标为，四边形ODEF是矩形，∴DE=1，即3-OD3=1解得：PO=2，∴P-2故选：B．【点睛】本题主要考查了位似图形的概念，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出EF∥OC，DE∥OP是解题的关键．6．（2023秋·九年级课时练习）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的周长之比为（

）A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:2【答案】D【分析】根据题意求出△ABC与△DEF的位似比，得到相似比，周长之比等于相似比．【详解】解：以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，∴AB∥DE，∵AD=OA，∴AB:DE=OA:OD=1:2，∴△ABC与△DEF的位似比为1:2，∴△ABC与的周长之比为1:2．故选：D．【点睛】本题考查的是位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长之比等于相似比．7．（2023·广东佛山·校联考三模）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'，已知OAOAA．3 B．6 C．9 D．18【答案】D【分析】直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．【详解】解：∵以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'∴S∵四边形ABCD的面积是2，∴四边形A'B'故选：D．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确得出面积比是解决此题的关键．8．（2023·重庆·三模）如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，点O是它们的位似中心，若OA：OA'＝A．1：2 B．2：3 C．【答案】B【分析】根据位似变换的概念得到CD∥C'D【详解】解：∵四边形ABCD与四边形A'∴CD∥C∴△OCD∼△OC∴CDC故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的对应边互相平行是解题的关键．9．（2023秋·江西吉安·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，ΔABC与ΔODE是位似图形，则位似中心的坐标为．【答案】4,2【分析】根据位似图形的对应顶点的连线交于一点并结合网格图中的格点特征确定位似中心．【详解】解：连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心∴M点坐标为4,2故答案为：4,2．【点睛】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键．10．（2023秋·湖北十堰·九年级统考期末）如图，以点O为位似中心，将ΔOAB放大后得到ΔOCD，若OA=2，ABCD=25，则【答案】3【分析】利用位似性质得到△OAB∽△OCD，然后根据相似三角形的性质求解．【详解】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，∴△OAB∽△OCD，∴ABDC解得：AC=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．11．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1:2，则△ABC与△DEF的面积之比是．【答案】1:4【分析】根据两三角形位似，面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1:2，∴△ABC与△DEF的面积之比是1:4，故答案为：1:4．【点睛】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键．12．（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：OD＝．【答案】4:3/4【分析】根据位似图形具有相似三角形的性质即可得出结果．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，∴AO：OD=4：3，故答案为：4：3．【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似变换的性质是解题的关键．13．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若B0,1，D0,3，则△OAB与△OCD的面积比为【答案】1：9【分析】根据信息，找到OB与OD的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案．【详解】解答：解：∵B（0，1），D（0，3），∴OB＝1，OD＝3，∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD＝1：3，∴△OAB与△OCD的面积的比是1：9．故答案是：1：9．【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，解题的关键在于找到相似比就是对应边的比．14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点A(2,0)，点C(a,b)，∠C=90°．则点C'的坐标为【答案】(6-2a,-2b)【分析】过点C,C'分别作x轴的垂线CD,C'D'垂足分别为D,D【详解】解：如图所示，过点C,C'分别作x轴的垂线CD,C∵△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2∴A∵C(a,b)，∴AD=a-2,CD=b,∴A'∴D∴C故答案为：(6-2a,-2b)．【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．15．（2023·全国·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：(1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可．【详解】（1）解：如图，△A；（2）解：如图，△A【点睛】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键．16．（2023·吉林白城·统考一模）图①．图四、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，故段AB的端点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．(1)在图①中画△ABC，使△ABC的面积是10；(2)在图②中画四边形ABDE，使四边形ABDE是轴对称图形；(3)在图③中的线段AB上找一点P，使AP=2BP．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】（1）以AB为底，根据面积可确定高，即可求作；（2）以AB为一边，作出矩形即可；（3）取，BN=1，连接MN交AB于P，即可求作．【详解】（1）解：如图，△ABC为所求作答案不唯一．（2）解：如图，矩形ABDE为所求作答案不唯一．（3）解：如图，取，BN=1，连接MN交AB于P，∵△AMP∽△BNP，∴AP∴AP=2BP，∴P点为所求作．【点睛】本题考查了根据要求作图，掌握图形特征，找出作法是解题的关键．17．（2023春·山东东营·八年级统考期末）如图，点A的坐标为3,2，点B的坐标为3,0①以点A为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB②以点1,0为位似中心，将△ABO放大，使相似比为1:2，且点在第三象限．（1）在图中画出△AB1O（2）请直接写出点的坐标：（______，______）（3）在上面的（2）问下，直接写出在线段OA上的任意动点的对应点P2的坐标：（______，______）．【答案】（1）见解析；（2）3，4；（3）32a，2b【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、O的对应点B1、O1得到△AB1O1；把△OAB向左平移1个单位，再把平移后的各顶点的坐标都乘以2后向右平移1个单位得到△A2B2O2各顶点的坐标，然后描点即可；（2）（3）由（1）中的图形变换规律写出A2和P2的坐标．【详解】解：（1）如图，△AB1O1和△A2B2O2为所作；（2）点A2的坐标：（3，4）；故答案为3，4；（3）点P2的坐标为（32a，2b）．故答案为32a，2b．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k．18．（2023·全国·九年级专题练习）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图①，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC与△AFG成自位似轴对称．(1)如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC，CD⊥AB，垂足为D，下列3对三角形：①△ABC与△ACD；②△BAC与△BCD；③△DAC与△DCB．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条件的序号）；(2)如图③，已知△ABC经过自位似轴对称变换得到△ADE，Q是DE上一点，用直尺和圆规作点P，使P与Q是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；(3)如图④，在△ABC中，D是BC的中点，E是△ABC内一点，∠ABE=∠C，，连接DE，求证：DE∥AC．【答案】(1)①②(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据题中定义作出图形，即可得出结论；（2）先根据题意和轴对称性质作出△ADE轴对称前的，即△ABC以点A为位似中心缩小的，在D'E'作出Q对应的Q'，进而作出点Q'（3）延长交AC于点F，证明△ABE∽△ACD和△ABF∽△ACB得到，进而得到BEBF=BDBC，证明△BDE∽△BCF得到【详解】（1）解：①△ABC与△ACD成自位似轴对称，对称轴为∠BAC的角平分线所在的直线，如图；②△BAC与△BCD成自位似轴对称，对称轴为∠ABC平分线所在的直线，如图，

，③△DAC与△DCB不成自位似轴对称，故答案为：①②；（2）解：如图，1）分别在AC和AB上截取AE'=AE2）连接D'E'，在D3）连接AQ'并延长交BC于P，则点（3）证明：延长交AC于点F，∵∠ABE=∠C，，∴△ABE∽△ACD，∴，∵，∴△ABF∽△ACB，∴ABAC∴，∵D是BC中点，∴BD=CD，∴BEBD∴BEBF又∵∠DBE=∠CBF，∴△BDE∽△BCF，∴，∴DE∥AC．【点睛】本题考查位似和轴对称的性质、相似三角形的判定与性质，理解题中所给定义，熟练掌握轴对称性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．19．（2023春·四川成都·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O0,0，A1,2，B3,1(1)将△OAB先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到△O1A(2)请以O为位似中心，在y轴右侧画出△OAB的位似图形△OA2B2，使△OA2B2与△OAB的相似比为2∶1，则点的坐标为（__________，__________【答案】(1)见解析(2)图见解析，2，4，6，2【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案．【详解】（1）解：如图，△O；（2）解：如图，△OA，点的坐标为2,4；点B2的坐标为6,2．【点睛】本题主要考查了位似变换、平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．20．（2023·内蒙古鄂尔多斯·三模）（1）【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD（AB>BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC请证明△PBC（2）【数学思考】如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤（3）【问题解决】已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm．对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）由旋转的性质和位似的性质即可得出答案；（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可；【详解】解：（1）由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，∴PB=PC，PB=CB，∴PB=PC=CB，∴△PBC是等边三角形．（2）以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P再以点B为位似中心，将△P1BC1放大，使点C1的对应点如图⑤所示；（3）矩形的一边长为3cm，等边三角形边上的高为边长的32倍，根据题意，如图所示（答案【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，位似的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．1．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知A1,0，B2,1，D3,0，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则EA．7,4 B．7,3 C．6,4 D．6,3【答案】D【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，求出ABDE【详解】解：∵A（1，0），D（3，0），∴OA＝1，OD＝3，∵△ABC与△DEF位似，∴AB∥DE，∴ABDE＝＝，∴△ABC与△DEF的位似比为1：3，∵点B的坐标为（2，1），∴E点的坐标为（2×3，1×3），即E点的坐标为（6，3），故选：D．【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出△ABC与△DEF的位似比是解题的关键．2．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2:3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（

）A．4 B．6 C．9 D．16【答案】B【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．【详解】设△DEF的周长是x，∵△ABC与△DEF位似，相似比为2:3，△ABC的周长为4，∴4：x=2：3，解得：x=6，故选：B．【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．3．（2023春·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC与△DEF是位似图形，则△ABC与△DEF的面积比是（

）A．4：1 B．2：1 C．2：1 D．9：1【答案】A【分析】△ABC与△DEF是位似图形，所以△ABC∽△DEF，根据勾股定理求出AB和DE算出他们的比值，则面积之比也就解出来了．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，由图可知AB=22+22=22∴ABDE∴S△ABC∴△ABC与△DEF的面积比为4：1故选：A．【点睛】本题考查位似图形的性质和相似三角形的的性质，熟练的运用似图形的性质是解题的关键．4．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC与△DEF的周长之比为4∶9，则AO∶OD的比为（）A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶13【答案】C【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△AOB∽△DOE，∴ABDE∵△ABC与△DEF的周长之比为4∶9，∴AB:DE=4:9，∴AB∶DE=4∶9．故选：C．【点睛】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的性质是解题的关键．5．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6） B．（9，6） C． D．（10，6）【答案】B【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴，∵BC＝2，∴EF＝BE＝6，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴，解得：OB＝3，∴EO＝9，∴F点坐标为：（9，6），故选：B．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB的长是解题关键．6．（2023秋·浙江杭州·九年级翠苑中学校联考阶段练习）如图四个图中，△ABC均与△A'B'C'相似，且对应点交于一点，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】直接利用位似图形的性质分析判断得出答案．【详解】解：图1中，△ABC与△A图2中，∵AB与A'B'不平行，AC与不平行，∴△ABC与△A'图3中，△ABC与△A图4中，△ABC与△A综上，△ABC与△A'B'C'成位似图形的有图1、图故选：C．【点睛】本题主要考查了位似变换，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点所在直线的交点是位似中心．7．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，点E是△ABC的重心，△EFG和△ABC是以点D为位似中心的位似图形．则△EFG与△ABC的面积之比为（）A． B． C．19 D．【答案】C【分析】由E是△ABC的重心得到DE=13AD，△EFG和△ABC是以点D为位似中心的位似图形，得到△EFG∽△ABC，EG∥AC，推出△DEG∽△DAC，得到S【详解】解：∵点E是△ABC的重心，∴DE=1∴DE=13AD∵△EFG和△ABC是以点D为位似中心的位似图形，∴△EFG∽△ABC，EG∥AC，∽△DAC，∴S△DEGS同理可得S△DEF∴△EFG与△ABC的面积之比为19故选：C．【点睛】本题考查位似图形，三角形的重心，相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．8．（2023·山东德州·统考一模）如图，△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），AP为△AOC中线，以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到△A'OP'A．54 B．52 C．54或154 D【答案】D【分析】根据勾股定理求出OC，然后根据直角三角形的性质求出OP，进而分△A【详解】解：∵△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），∴OA=4,AC=3，∴由勾股定理可得OC=O∵AP为△AOC中线，∴OP=1当以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到△A①当△A∴OP∴PP②当△A∴OP∴PP综上所述：PP'=故选D．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及位似，熟练掌握直角三角形斜边中线定理及位似是解题的关键．9．（2023春·四川达州·九年级校联考期中）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA:AD=2:3，则△ABC与△DEF的周长比是．【答案】2:5【分析】根据位似图形的性质，得到ΔOCA∼ΔOFD，根据OA:AD=2:3得到相似比为CAFD【详解】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，∴ΔOCA∼ΔOFD，CAFD=∵OA:AD=2:3，CAFD=∴根据△ABC与△DEF的周长比等于相似比可得CΔABC故答案为：2:5．【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．10．（2023秋·江西宜春·九年级校考期末）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为2,4，点E的坐标为-1,2，则点P的坐标为．【答案】-2【分析】根据位似变换的性质得POPA=ODAB=【详解】解：∵点B的坐标为2,4，点E的坐标为-1,2，∴AB=4，∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，∴POPA∴PO=OA=2，∴P点坐标为-2，故答案为：-2，【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．11．（2023·河北衡水·衡水桃城中学校考模拟预测）如图，在△ABP中，B、P两个顶点在x轴上，点A在x轴的上方，以点P为位似中心作△ABP的位似图形△CDP，其中点B、P、D在x轴上对应的数分别为-3、和3．​（1）△ABP与△CDP的位似比为；（2）若点A的纵坐标为a，则点C的纵坐标为．​【答案】12【分析】（1）由题意可得，再结合相似三角形的性质可得答案．（2）由题意，作出△CDP，过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，则可得ANCM=12，即【详解】解：（1）∵点B、P、D在x轴上对应的数分别为-3、和3，∴，PD=4，∴，∴△ABP与△CDP的位似比为12故答案为：12（2）根据题意，作出△CDP如图所示，过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，由（1）可知，△ABP与△CDP的位似比为12∴ANCM∵点A的纵坐标为a，∴AN=a，∴CM=2a，∵点C在第四象限，∴点C的纵坐标为-2a．故答案为：-2a．【点睛】本题考查作图﹣相似变换、点的坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．12．（2023秋·广东佛山·九年级西樵中学校考期末）如图，在直线上摆放着三个等边三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=12CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC，设图中三个平行四边形的面积依S1、S2、S3，若S1+S3=10，则S2【答案】4【分析】根据题意，可以证明S1与S2两个平行四边形的高相等，S2长是S1的2倍，S3与S2的长相等，高S3的一半，这样就可以把S1和S3用S2来表示，从而计算出S2的值．【详解】解：根据正三角形的性质，∠ABC=∠HFG=∠DCE=60°，∴AB∥HF∥DC∥GN，设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，∴△PFC、△QCG和△NGE是正三角形，∵F、G分别是BC、CE的中点，∴MF=12AC=12BC，PF=12AB=又∵BC=12CE=CG=GE∴CP=MF，CQ=BC，QG=GC=CQ=AB，∴S1=12S2，S3=2S2∵S1+S3=10，∴12S2+2S2=10∴S2=4；故答案为：4；【点睛】本题主要考查了面积及等积变换，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，掌握面积及等积变换，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质是解题的关键．13．（2023·江苏南通·九年级专题练习）如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形，若点A和点E的坐标分别为，(1,-1)，则两个正方形的位似中心的坐标是．【答案】(14,0)【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是点A和E是对应顶点，B和F是对应顶点；另一种是点A和G是对应顶点，C和E是对应顶点．【详解】解：∵平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形，点A和点E的坐标分别为，(1,-1)，∴B(-2,0)，，G(2,0)，（1）当点A和E是对应顶点，B和F是对应顶点时，位似中心就是AE与的交点，如图所示：连接AE，交x轴于点N，点N即为两个正方形的位似中心，设AE所在直线解析式为：，把A(-2,3)，E(1,-1)代入得：故3=-2k+b-1=k+b解得：k=-4故y=-4当y=0时，即0=-43x+13，解得x=∴两个正方形的位似中心的坐标是：，．（2）当点A和G是对应顶点，B和是对应顶点时，位似中心就是AG与BH的交点，如图所示：连接AG，DF，BH，CE并延长交于点M，设AG所在直线解析式为：，把A(-2,3)，G(2,0)代入得：故3=-2k+b0=2k+b解得：k=-3故y=-3设BH所在直线解析式为：y=mx+n，把B(-2,0)，代入得：m=-1故，联立直线BH、AG得方程组：y=-3解得：x=4y=-故M(4,-3综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：，或．故答案为：，或．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及函数交点求法以及位似变化中对应点的连线一定经过位似中心．注意：本题应分两种情况讨论．根据点的对应关系利用一次函数求直线的交点是解题关键．14．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）下图是用12个相似的直角三角形组成的图案.（1）与△AOB位似的三角形是；（2）已知△OKL的面积是3，则△OLM的面积为．【答案】△GOH4【分析】（1）先根据垂直的定义和直角的性质即可解答；（2）先说明∠OML=60°，设KL=x，则OL=2x、OK=3x，由S△OKL=12x⋅3x=3可得x【详解】解：∵在△AOB和△GOH中，∴∠AOB=∠HOG,∠OAB=∠HGO=90°，∴△AOB∼△GOH，故答案为△GOH．∵12个相似的直角三角形，∴∠OML=360°∴∠OML=60°，设KL=x，则OL=2x、OK=3∵S∴x再设ML=a，则OM=2a、OL=3∴3a=2x，即∴S故答案为4．【点睛】本题主要考查了位似的判定、直角三角形的性质、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键15．（2023春·四川达州·九年级四川省万源中学校考阶段练习）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)将△ABC向左平移5个单位长度后再向下平移3个单位长度，请画出经过两次平移后得到的△A(2)以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1：【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析，A【分析】（1）根据平移变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可；（2）找出位似变换后各顶点的对应点，然后顺次连接即可；根据位似变换的规律即可写出点平移后的坐标．【详解】（1）解：如图所示，△A（2）解：如图所示，即为所求；∴A2【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形变化—位似，灵活运用所学知识是解题的关键．16．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考二模）图①、那②，图③积是6×6的间格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC顶点A、B、C均在格点上，在图①，图②，图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．(1)网格中∠B的度数是___________°；(2)在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD；(3)在图②中确定一点E，使得点E在AC边上，且满足BE⊥AC；(4)在图③中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在BC、AB边上，位似比为．【答案】(1)45(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）直接根据网格的性质求解即可；（2）找到BC的中点D，连接AD即可；（3）根据网格的性质画出AC的垂线，与AC交于点E即可；（4）在BC上找到点M，使得BMBC=13，再过点M画AC的平行线，与【详解】（1）解：由图可知：∠B的度数是45°（2）在图①中，中线AD即为所求；（3）在图②中，点E即为所求；（4）在图③中，△BMN即为所求．【点睛】本题考查了作图-位似变换，解决本题的关键是掌握位似变换．17．（2023·湖北武汉·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考模拟预测）如图是由小正方形组成的5×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图1中，先