计算机数据库实验报告13w6

第二章极限与连lim第二章极限与连limyn§2.1§2.2§2.62函数的连续函数的连续在很短的时间内它们的变化都是很微小的。即：可以用极限来给出其定义中南财大周月3一、函数的增设函fx)在Ux0一、函数的增设函fx)在Ux0内有定义,xUx0xxx0yf(x)y称为自变量在点x0的增量fx0称为函fx)相应于x的增量.yyfyfx0x0xx00x,可正可负还可为中南财大周月4二连续函数的定图1(连续)y当x时y二连续函数的定图1(连续)y当x时yoxxx10而图2中的函数曲线却间断当x时y不一定趋于yox中南财大周月51、在x0处连定义设函数ƒ(x)x0x一个增量Δ1、在x0处连定义设函数ƒ(x)x0x一个增量Δ当x0时,有y0.即limylim[f(x0x)f(x0)]则称函数ƒ(x)x0处连续x0为连续点yoxx0中南财大周月6例证ysinxx0x0x例证ysinxx0x0x一个增量Δxysin(x0x)sin2sinxcos(x022xcos(02limyysinxycosxx0中南财大周月7注因lim[fx0xf注因lim[fx0xfx00limfx0xfx0xx0x当x0时,有xx0，从而limy0f(x)f(x0x从而有函数在一点连续的等价定定义设函数ƒ(x)x0limf(x)f(x0x则称函数ƒ(x)x0处连续x0为连续点中南财大周月8运用《》语言描述它:定义设函数f(运用《》语言描述它:定义设函数f(x)在x0的某邻域内有定义如果00,使得xfxfx0则称函数f(x)在x0处是连续的中南财大周月9yf(x)f(x0xxlimf(x)Alimf(x)limf(x)因xxx00 limf(x)Alimf(x)limf(x)因xxx00 limf(x)limf(x)f(xf(x)f(x0xxx002、左、右连limf(x)f(x0定义若xx0则称函数ƒ(x)在x0处左连续limf(x)f(x)f(x00x0limfxfx0处右连续。记为ƒ(x)0x0limf(x)f(x)f(x0中南财大周月0x0结论函数ƒ(x)在x0处连续的充要条件是ƒ(x)x0处既左连续又右连续。即：结论函数ƒ(x)在x0处连续的充要条件是ƒ(x)x0处既左连续又右连续。即：limf(x)f(xlimf(x)limf(x)f(x00xxx003、在区间内连若函数ƒ(x)(ab)内的每一点都连续定义则称函数ƒ(x)在开区(ab)内连续若函数ƒ(x)在开区间(ab)内连续a右连续在右端点b左连续则称函数ƒ(x)在闭区间[a,b]内连续。中南财大周月例1yx2(例1yx2(-∞∞)证明(-∞∞)内任意一yxx22xxx2limyyx2(-∞∞连续中南财大周月例2x0(1).f(x)xylim|例2x0(1).f(x)xylim|x|limxy=|xlim|x|limxlim|x|Ox0|x|x0xyy|x|x0连续中南财大周月x2sin,xx(2).x2sin,xx(2).f(x)x,limf(x)limx2sinx又f(0)fx)x中南财大周月0x1x例0x1x例在xf(2limfxlimlimf(x)lim(2x)故limf(x)f(1)fx)在x1处连续中南财大周月3x2xxf(x)x3x2xxf(x)xx例4.ksinxkƒ(x)x0f(0)limfxlim(3x2x1)解f(x)lim(sinx1)xf(x)f(x)f(0k1时fx)在x0处连续中南财大周月ax2例 确定常数a,使f(x)ax21xax2例 确定常数a,使f(x)ax21x1xxf(x)解2(abx1(abxƒ(x)连续，则ƒ(x)x±1f(x)f由,limf(x)limf(x)f中南财大周月ab11(aab11(abab2即ab121ab(aba0ba0b1ƒ(x)连续。中南财大周月三连续函数的连续函数的四则运定理若函fg(x)在点x0处连续f(则三连续函数的连续函数的四则运定理若函fg(x)在点x0处连续f(则f(x)g( f(x)g(在点x0处也连续(g(x)0g(x3的连续区求函例并f(x)xlimf(limf(f(3x2x(x3)(f(x)xx(x3)(xxtanx,cotx,secx,csc因此，有理分式201 们的定义域内皆大周月反函数与复合函数的连定理严格反函数与复合函数的连定理严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数ysinx在[]上单调增加且连例如 故yarcsinx在[1,1]上也是单调增加且连同理yarccosx在[1,1]上单调减少且连反三角函数在其定义域内皆连续yarctanxyarccotx在[,]上单调且连中南财大周月yyxff1(yyxff1(xf1( yfyfxOyf1(x)的图形只yf(x)的图形绕直线翻转1800而成，故单调性、连续性仍保持中南财大周月yfu(定理 yf(xfyfu(定理 yf(xf(x)在x0连证明f(x0(x0lim(x)(x0)xlimf(u)f(u)f[(x000limf[(x)]limf(u)f[lim(x)]f[(x0注1、由此可知连续函数符号可与极限符号交换位(内函数的极限存在即可2.变量代(u月梅理论依3、初等函数的连续★三角函数及反三角函数在它们的3、初等函数的连续★三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的指数函数yax(aa★在(,)内单调且连对数函数yloga★(aa在(0,)内单调且连续uayauyxaloga★讨论不同值在(0)内连续(均在其定义域周月初等函数的连续性结论注1.初等函数初等函数的连续性结论注1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定ycosxD:x例如这些孤立点的邻域内没有定义D:x及xyx2(x1)3在0点的邻域内没有定义函数在区间[1,)上连续注初等函数求极限的方法代入法中南财大周月例7coscose(1lim(11sin 22limsin2e求limx例7coscose(1lim(11sin 22limsin2e求limx原式e解1x21x1x1x2(原式解1x2x1x1大周月(4).limx[lnxln(xx解原式limxx22limxln(1)limln1xx2x2x222limln(4).limx[lnxln(xx解原式limxx22limxln(1)limln1xx2x2x222limln1x22xxx2lnlim122x2可不要这3 2 x2ln1x222lne x2x2xlnlne2中南财大周月(5).limln1xx1原式(5).limln1xx1原式limln(1x)x解1ln[lim(1x)xln中南财大周月1x，x1ln1解令11x，x1ln1解令1x1=u1x1uln1x1x ln1原式ln1xxlim ln1xx1ln1uln1x1ln1:11~中南财大周月无穷小量代换原理及应回顾定理(等价代换如果~（xx~（xxlim110无穷小量代换原理及应回顾定理(等价代换如果~（xx~（xxlim11010x1limlim,limlimlim,1xxxxxx11（自变量的变化过程可以是任意的1 11注1:由此定理可知求两个无穷小量积或商的极限如果分子（或分子的乘积因子）或分母（分母的积因子）的等价无穷小量存在,则就可用它们各自的价无穷小量来代换原来的分子分母（或分子分的乘积因子使计算简中南财大周月例8.求下列函数的极(1).limtan2xsin3tan2xsin3x3x(x例8.求下列函数的极(1).limtan2xsin3tan2xsin3x3x(x解limtanlim2x23ex(2)..2x x x解：2xlimx中南财大周月13limsinlimtan2xlim2xsin33limsinlimtan2xlim2xsin3解：令xt，则x时tlimtan2xlimtan2(sin3(tansintsint3t中南财大周月1x23(4).;1cos1x21~1cosx(x解3321x213 31x23(4).;1cos1x21~1cosx(x解3321x213 31cosx32lim x(1cos ;1)sin(etan1~tanx~sinx2~x2(xetan解x x(1cos 1221)sinxxxtan中南财大周月(6).limtanxsinxlimtanxsinxlimxx错啦注1(6).limtanxsinxlimtanxsinxlimxx错啦注1sinlimtanxsinxlimsinx(1coscos解x2cosxlimx2xcos12cos2中南财大周月sin(7)a【分析】本题属于已知sin(7)a【分析】本题属于已知极限求参数的反问题sin(cosxb)解alimsinx(cosxb)lim(exa)alimsinx(cosxxx1bexb中南财大周月注2：请记住以下几个常用的等价无穷小当x0注2：请记住以下几个常用的等价无穷小当x0sinx~ln(1+x)~tanx~arcsinx~6.ex1~8.(1x)1~arctanx~07.1cosx;2例如sinx~x(当x时1f(x),limf(x)ef(x中南财大周梅五闭区间上连续函数的性ƒ(x)在闭区五闭区间上连续函数的性ƒ(x)在闭区(最大值与最小值定理)若函定理[a,b]上连续则在[a,b]上ƒ(x)一定有最大值与最小值如右图中的ξ1ξ2便分别是最小值点与最大值点yobxa中南财大周月注定理中的连续性与闭区间条件缺一不可y注定理中的连续性与闭区间条件缺一不可yx在(01)10xx1xf(x)13在闭区间[02]x1,在[0,2]上却无最大值、最小值.而函数yº•1ox2中南财大周月 (有界性定理)若函数ƒ(x)在闭区间[a,b]上连续 (有界性定理)若函数ƒ(x)在闭区间[a,b]上连续,则ƒ(x)在[a,b]上一定有界.显然有m≤f(x)≤M定理6(介值定理)若函数ƒ(x)[a,b]上连续 且m与M分别为ƒ(x)yM[a,b]上的最小值与最大值则对于任Cm介于m与M之间的实数C少存在一至axb12f()(a,b),使几何意义:(如上图)介于[a,b]内的连续曲线的最高点最低点之间的任意直线y=y=ƒ(x)相交于一点至少与该曲中南财大周月定理(零点存在定理)若函数ƒ(x)y闭区间[a,b定理(零点存在定理)若函数ƒ(x)y闭区间[a,b且ƒ(a)与ƒ(b)b(即ƒ(a)ƒ(b)••3aox1(a,b使得f(几何意义(如右图)在[a,byƒ(x)的两x轴的两侧,则在(a,b)内,此曲线必与X轴至少有一个交点.代数应用:零点存在定理给了大家一个判定方程在中南财大周月证明方程xasinx证明方程xasinxb0(a,b间0aF(x)xasinxF(0)bF(ab)abasin(ab)ba1sin(a(1).若sin(ab证ab是方程的一根F(ab)(2).若sin(ab)F(ab)由零点定理得存在0,ab,使F即是方程的一根中南财大周月例10.证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个实根,求出根的近似值设ƒ(x)=x3-4x2+1=0,则ƒ(x)在闭区间[0,1]上满足零点例10.证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个实根,求出根的近似值设ƒ(x)=x3-4x2+1=0,则ƒ(x)在闭区间[0,1]上满足零点证4210(0故方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个实根近似根的求法:(对分区间法0111)f ) f21而f313f( ) 0 在 )22421而f34)515f()0.320 )内方程至少有一根28中南财大周月继续下去，可求出满足精度要求的近似根。若令近根为（15）9继续下去，可求出满足精度要求的近似根。若令近根为（15）9，则它与精确值的误差的绝02 1(51)1值不超过区间长的一半，02 或ƒ(x)在[a,b]则,mMmfxiM(i1,nmf(x1)f(x2)f(xn)n中南财大周月五、函数的间断ƒ(x)在五、函数的间断ƒ(x)在x0(2)fx)存在且fx)存在00(3)f(x)f(x)f(x000其中有一个条件不满足就称ƒ(x)中南财大周月1、定定如果函数ƒ(x)x0处满足下述条件中的任何一个1、定定如果函数ƒ(x)x0处满足下述条件中的任何一个ƒ(x)x0处没有定义ƒ(x)x0处虽有定义ƒ(x)x0处虽有定义x但fx)fx)存在x且limf(x)f(x0但x为函数的间断点则称ƒ(x)x0处间断中南财大周月（1）跳跃间断右极限都fx)在点x0处左存在,（1）跳跃间断右极限都fx)在点x0处左存在,但fx00f(则称点x0为函数fx)的跳跃间断点讨论函fxx在x0处的连续性例1xyf(00)f(00)解f(00)f(0x0为函数的跳跃间断ox（2）可去间断点如fx)在点x处的极限存在0或fx)在点（2）可去间断点如fx)在点x处的极限存在0或fx)在点x0处无定但limfxAf(x0x义则称点x0为函fx)的可去间断点例讨论函数yy10xxxf(x)21yx在x1处的连续性xo1f(1)解f(10)f(10)flimf(x)注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,yf(1)如例中21o0xxfx)1x1在x1处连续跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断函数在点x0处的左、右极限都存中南财大周月特（3）第二类间断如果fx)在点x0处的（3）第二类间断如果fx)在点x0处的左、右极限至少有一个不存在f(x)的第二类间断点则称点x0为函数xx例讨论函fx在x0处的连续性y解f(00)f(00)这种情况称为无穷间断点ox中南财大周月limf(x)limsin例xlimsinlimsinnxx1limf(x)limsin例xlimsinlimsinnxx1limsin1x1xlimsin2n但2x 2n2x0ysinxy1O中南财大周月x3、如何找间断点3、如何找间断点ƒ(x)在x0 f(x0),f(x0)是否存在 (3)f f f(x0)注意1、初等函数在其定义区间内2、分段函数在其定义域内不一定连续中南财大周月01(0,x(1)f(x)xx01(0,x(1)f(x)xx解 (,limf(x)lim1xlimf(x)lim1limf(x)x1是跳跃间断limf(x)lim1limf(x)limx2xx(2)f(x)tan2xo,xkxkxlimfx(2)f(x)tan2xo,xkxkxlimf(x)xxta