测试技术-第一章-信号的描述

2023/12/212023/12/2测试技术与信号处理1学习目的

通过对信号的描述与分析，了解信号的频域构成以及时域与频域特性的内在联系。

测试技术与信号处理1

信号频率不同，对所用测试装置的要求就不同，相应的分析和处理的方法也不同，测试结果的误差直接与信号的频率结构有关。

第一章信号的描述2023/12/22023/12/222023/12/2测试技术与信号处理2本章内容及要求

主要内容:周期信号和非周期信号的频谱分析方法和频谱特征。

本章要求:了解信号的分类，掌握将确定信号的时域描述变换为频域描述的数学方法，掌握对周期信号与非周期信号进行频谱分析的步骤与作图方法，熟知其频谱特点。

本章重点:确定性信号的频谱分析方法.

本章的难点:频域概念的建立与理解。测试技术与信号处理22023/12/22023/12/232023/12/2测试技术与信号处理3第一节信号分类与描述一、信号的分类1、确定性信号和随机信号确定性信号：可表示为一个确定的时间函数，因而可确定其任何时刻的量值。随机信号：具有不能被预测的特性，无法用数学关系式来描述，只能通过统计观察来加以描述的信号。2023/12/242023/12/2测试技术与信号处理4(1)确定性信号又分为周期信号和非周期信号。

①

周期信号可分为简谐信号和复杂周期信号周期信号可以用明确的时间函数表示的信号。

定义：x(t)=x(t+T)式中，T——周期。

例如x(t)=sin(ωt+φ)周期T=2π/ω=1/f2023/12/24测试技术与信号处理2023/12/252023/12/2测试技术与信号处理5式中振幅固有圆频率初相角

简谐信号简谐振动简谐信号为单一频率的正弦或余弦信号。例如单自由度无阻尼质量-弹簧振动系统的位移信号:2023/12/25测试技术与信号处理2023/12/262023/12/2测试技术与信号处理6

复杂周期信号是由两种以上的频率比为有理数的简谐信号合成的。叠加后存在公共周期。例如周期方波、周期三角波等。例如一种周期方波：2023/12/26测试技术与信号处理2023/12/272023/12/2测试技术与信号处理7②非周期信号：

定义：不具有周期重复性确实定性信号。

非周期信号又可分成准周期信号和瞬态信号两类。准周期信号由多个频率成分叠加，频率之比不是有理数。例如:瞬变信号在有限时间段有非零值，或随着时间的增加衰减至零。瞬变信号2023/12/27测试技术与信号处理2023/12/282023/12/2测试技术与信号处理8(2)非确定性信号〔随机信号〕螺纹车床主轴受环境影响的振动波形不能用精确的数学关系式描述时间函数；不能预测未来任何时刻的准确值；可用概率统计方法进行描述和研究;所描述的物理现象是一种随机过程。例如分子热运动，环境的噪声，随机相位正弦波等。2023/12/28测试技术与信号处理特点2023/12/292023/12/2测试技术与信号处理9测试技术与信号处理9信号

确定性信号

非确定性信号（随机信号）

周期信号非周期信号简谐信号(正余弦信号)复杂周期信号准周期信号瞬变信号平稳随机信号非平稳随机信号各态历经信号非各态历经信号按其随时间变化的特点分：

2023/12/22023/12/2102023/12/2测试技术与信号处理102、连续信号和离散信号分类依据：自变量〔即时间t〕是连续的还是离散的。信号的幅值是连续的还是离散的；连续信号：自变量和幅值均为连续的信号称为模拟信号；自变量是连续、但幅值为离散的信号，那么称为量化信号。

离散信号：信号的自变量为离散值、但其幅值为连续值时，那么称该信号为被采样信号。信号的自变量及幅值均为离散的，那么称为数字信号；2023/12/2112023/12/2测试技术与信号处理11按独立变量取值情况的不同：测试技术与信号处理11

连续信号

离散信号信号

信号

模拟信号

数字信号2023/12/22023/12/2122023/12/2测试技术与信号处理122023/12/2测试技术与信号处理12信号幅值的连续和离散信号自变量的连续和离散2023/12/2132023/12/2测试技术与信号处理13二.信号的描述方式测试技术与信号处理13

时域描述:以时间t为自变量，用一个时间函数来表示信号；反映信号的幅值随时间变化的关系。

频域描述:以频率f作为自变量建立信号与频率之间的函数关系；反映信号的频率结构和各频率成分的幅值、相位关系。2023/12/2幅值频谱图相位频谱图时域描述时域图

傅里叶级数，傅里叶变换频域描述频谱图2023/12/2142023/12/2测试技术与信号处理14a、时域描述揭示的信号特征：周期、幅值、均值，反映信号变化的快慢和波动情况。b、频域描述揭示的信号特征：信号的频率组成，各频率分量的幅值及相位信息。C、关系：同一信号在不同域中的表示方法，揭示信号不同方面的特征。测试技术与信号处理142023/12/22023/12/2152023/12/2测试技术与信号处理15信号的时域描述频域的描述

测试技术与信号处理152023/12/22023/12/2162023/12/2测试技术与信号处理16三、信号的频域分析方法：①信号分解：将复杂信号分解为根本信号〔简谐信号〕之和，因简谐信号的频率是固定的，即可获得构成信号的频率结构。②绘制幅值频谱图、相位频谱图。测试技术与信号处理162023/12/22023/12/2172023/12/2测试技术与信号处理17周期信号简谐信号复杂周期信号一、概述测试技术与信号处理17第二节周期信号的频谱2023/12/22023/12/2182023/12/2测试技术与信号处理18时域描述频域描述测试技术与信号处理18正弦信号2023/12/2特点：最简单的周期信号；单频结构且时域描述和频域描述合二为一；可以作为根本信号。2023/12/2192023/12/2测试技术与信号处理19方波信号时域描述测试技术与信号处理192023/12/2特点：复杂周期信号；时域描述未能反响出方波的频域构成情况；多频率结构。2023/12/2202023/12/2测试技术与信号处理20能否用正弦信号描述方波信号？问题提出：简谐信号复杂周期信号解决方法：利用数学工具傅里叶级数。测试技术与信号处理202023/12/22023/12/2212023/12/2测试技术与信号处理21一个周期为T的周期函数x(t)，如果满足狄里赫利条件,那么此函数x(t)可以展开为傅里叶级数。狄里赫利条件：在一个周期内，处处连续或只存在有限个间断点；在一个周期内，极值点的个数是有限的；在一个周期内，函数是绝对可积。测试技术与信号处理21二、傅里叶级数与应用2023/12/22023/12/2222023/12/2测试技术与信号处理22合并正余弦项得：测试技术与信号处理222023/12/2三角傅里叶级数2023/12/2232023/12/2测试技术与信号处理23各参数分别为：测试技术与信号处理232023/12/2其中，常值分量：余弦分量的幅值：

正弦分量的幅值：

式中T0——周期2023/12/2242023/12/2测试技术与信号处理24测试技术与信号处理24欧拉公式：

2023/12/22023/12/2252023/12/2测试技术与信号处理25令：测试技术与信号处理252023/12/22023/12/2262023/12/2测试技术与信号处理26n的偶函数n的奇函数当n取-n时：测试技术与信号处理262023/12/22023/12/2272023/12/2测试技术与信号处理27测试技术与信号处理27复数傅里叶级数2023/12/22023/12/2282023/12/2测试技术与信号处理28说明：测试技术与信号处理28n=1，a1cosω0t、b1sinω0t

或A1sin(ω0t+φ)ω0n=2，a2cos2ω0t、b2sin2ω0t2ω0基频基波二次谐波ancosnω0t、bnsinnω0tnω0n次谐波2023/12/22023/12/2292023/12/2测试技术与信号处理29偶函数和奇函数的傅里叶级数定理：测试技术与信号处理29当偶函数x(t)在区间[-T/2，T/2]上展开时，其系数：2023/12/22023/12/2302023/12/2测试技术与信号处理30当奇函数x(t)在区间[-T/2，T/2]上展开时，其系数：测试技术与信号处理302023/12/22023/12/2312023/12/2测试技术与信号处理31测试技术与信号处理31例1周期方波信号的傅里叶级数。2023/12/22023/12/2322023/12/2测试技术与信号处理32解：由图可得：1〕测试技术与信号处理322023/12/22023/12/2332023/12/2测试技术与信号处理332〕3〕测试技术与信号处理332023/12/22023/12/2342023/12/2测试技术与信号处理34此方波展开的傅里叶级数如下：

测试技术与信号处理342023/12/2分析：方波各次谐波的幅值衰减的较慢：第19次谐波的幅值为基波的1/19，第21次谐波的幅值才小于基波的5%。2023/12/2352023/12/2测试技术与信号处理35例2周期三角波的傅里叶级数。2023/12/235测试技术与信号处理2023/12/2362023/12/2测试技术与信号处理36解：由图可得：2023/12/236测试技术与信号处理2023/12/2372023/12/2测试技术与信号处理371)波形全在横坐标的上方，所以在一个周期内的平均值a0≠0

2023/12/237测试技术与信号处理2023/12/2382023/12/2测试技术与信号处理38此函数是偶函数，所以正弦项的系数:

余弦项的系数:

2023/12/238测试技术与信号处理2023/12/2392023/12/2测试技术与信号处理39采用分部积分法2023/12/239测试技术与信号处理2023/12/2402023/12/2测试技术与信号处理40该三角波的傅里叶级数展开式如下：

2023/12/240测试技术与信号处理分析：三角波各次谐波的幅值衰减的很快：第5次谐波的幅值为基波的1/25，相当于方波的25次谐波。因此：三角波比方波更接近正、余弦函数波形。2023/12/2412023/12/2测试技术与信号处理41傅里叶级数把一个复杂周期信号表示成为许多正〔余〕弦信号之和的形式，级数中的每一项对应一个频率分量，即是该分量的时域描述又是频域描述。*傅里叶级数是复杂周期信号的频域描述。

测试技术与信号处理412023/12/2方波和三角波的傅里叶级数说明两信号都是多频结构。两者的频率结构中，分量的幅值、初相位与频率的对应关系不同。需要进一步的频谱分析。2023/12/2422023/12/2测试技术与信号处理42由傅里叶级数得到周期信号的频谱直流分量各次谐波分量之和测试技术与信号处理42三、周期信号的频谱分析1、物理意义2023/12/22023/12/243讨论：式中第一项a0为周期信号中的常值或直流分量；从第二项依次向下分别称信号的基波或一次谐波、二次谐波、三次谐波、……、n次谐波；傅里叶级数式中An和θn是两个自变量n变化的函数序列。它们分别代表各次谐波分量的幅值和初相角。当离散变化时，An和都有确定的值与之对应。将信号的角频率ω0作为横坐标，可分别画出信号幅值An和相角随频率ω0变化的图形，分别称之为信号的幅值频谱和相位频谱。由于n为整数，各频率分量仅在nω0的频率处取值，因而得到的是关于幅值An和相角的离散谱线。

★周期信号的频谱是离散的!2023/12/243测试技术与信号处理θnθnθn2023/12/2442023/12/2测试技术与信号处理44频谱图

幅值频谱图

相位频谱图

2．周期信号的频谱实例

例3做出例1中周期方波的频谱图解：该方波的傅里叶级数式：

测试技术与信号处理442023/12/22023/12/2452023/12/2测试技术与信号处理45测试技术与信号处理452023/12/2仅含奇次谐波，其an=0，2023/12/2462023/12/2测试技术与信号处理46

周期方波的频谱图

测试技术与信号处理462023/12/22023/12/2472023/12/2测试技术与信号处理47周期方波前4个谐波成分的叠加2023/12/2482023/12/2测试技术与信号处理48*方波时域描述和频域描述的比较测试技术与信号处理482023/12/2时域描述是从外部反响信号的整体变化；频域描述是从内部揭示信号的局部构成时域幅频相频2023/12/249为什么要对信号进行频域描述：信号的时域描述反映了信号瞬时值随时间变化的情况，频域描述反映了信号的频率组成及其幅值、相角的大小。为解决不同问题，需掌握信号不同方面的特征，因而可采用不同的描述方式。例如：评定机器振动烈度〔时域描述〕和寻找振源〔频域描述〕。两种描述方法能互相转换，而且包含同样的信息量。2023/12/249测试技术与信号处理2023/12/250例如某大型水电站在某一发电工况下，其厂房产生强烈振动。按理论分析和经验估计，振源可能来自水轮机或发电机的机械振动，或来自流道某一部份〔如引水管、涡壳、导叶、尾水管〕的水体振动。为查找振源及振源向厂房传递的路径，在水轮发电机组和厂房的多处安置拾振器，在流道多处安置压力传感器。试验时，用多台磁带记录仪同步记录近百个测点的振动及压力波动。试验完后，对记录的信号进行频谱分析，查找出强振振源来自导叶与尾水管间的局部水体共振。2023/12/250测试技术与信号处理2023/12/2512023/12/2测试技术与信号处理51例4做出例2中周期三角波的频谱图。解：根据该三角波的傅里叶级数式：它含有一个静态分量，且也含奇次谐波,其bn=0

2023/12/251测试技术与信号处理2023/12/2522023/12/2测试技术与信号处理52周期三角波的频谱图

2023/12/252测试技术与信号处理2023/12/2532023/12/2测试技术与信号处理53

3.由傅里叶级数的复指数函数表示信号的频谱

测试技术与信号处理53(a)单边频谱(b)双边频谱2023/12/22023/12/2542023/12/2测试技术与信号处理54与傅里叶级数复指数展开式相应的频谱式中幅值谱相位谱Cn是复数，可写成2023/12/255绘制复指数形式的频谱：幅值频谱图和相位频谱图实频谱图和虚频谱图2023/12/255测试技术与信号处理2023/12/2562023/12/2测试技术与信号处理56例对如下图周期方波，以复指数展开形式求频谱，并做频谱图。图

周期方波2023/12/2572023/12/2测试技术与信号处理57解：2023/12/2582023/12/2测试技术与信号处理58幅值频谱

相位频谱2023/12/2592023/12/2测试技术与信号处理59

复指数函数形式的频谱为双边谱(-

,+)，三角函数形式的频谱为单边谱(0,+)。双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数，即：两种频谱的各谐波幅值之间,有三角函数展开式与复指数展开式的关系2023/12/2602023/12/2测试技术与信号处理60周期信号的频谱特点测试技术与信号处理602023/12/2

离散性：周期信号的频谱是离散的；

谐波性：每个谱线只出现在基波频率的整数倍上；

收敛性：谐波幅值随谐波次数的增高而减小。因此，可以忽略高次谐波分量。用有限宽的装置或仪器，测量频域无限宽的周期信号

4．小结

2023/12/2612023/12/2测试技术与信号处理61第三节非周期信号的频谱测试技术与信号处理61

非周期信号准周期信号瞬变信号2023/12/2

一、概述

2023/12/2622023/12/2测试技术与信号处理62准周期信号

:两个或两个以上的正、余弦信号叠加，如果任意两个分量的频率比不是有理数，或者说各分量的周期没有公倍数

瞬变信号

:除了准周期信号以外的非周期信号称为瞬变信号。

瞬变信号的波形图

a)电容放电时电压的变化b)初始位移为A质量块的阻尼自由振动c)受拉的弦突然拉断2023/12/2632023/12/2测试技术与信号处理63问题提出：周期信号的频域描述测试技术与信号处理63非周期信号的频域描述当周期信号的时，周期信号离散频谱非周期信号连续频谱傅里叶级数傅里叶积分2023/12/22023/12/2642023/12/2测试技术与信号处理64二、傅里叶积分与变换

测试技术与信号处理64周期信号傅里叶级数的复指数表达式为：

2023/12/22023/12/2652023/12/2测试技术与信号处理65当T→∞，上式有两个变化：积分限从（-T/2，T/2）（-∞，∞）。由于1/T=Δω/2π，Δωdω，nω0ω，测试技术与信号处理652023/12/22023/12/266定义傅里叶变换傅里叶逆变换那么为对傅里叶积分式2023/12/2672023/12/2测试技术与信号处理67傅里叶变换对

傅里叶逆变换傅里叶〔正〕变换测试技术与信号处理672023/12/2分别记为X(ω)=F[x(t)],x(t)=F－1[X(ω)]。x(t)和相应的频域函数X(ω)为傅里叶变换对，记为：2023/12/2682023/12/2测试技术与信号处理68代入，有X(t)为时域描述，X(ω)或者X(f)是为频域描述2023/12/2692023/12/2测试技术与信号处理69三、非周期信号的频谱分析测试技术与信号处理691．物理概念当周期信号的时，周期信号离散频谱非周期信号连续频谱傅里叶级数傅里叶变换2023/12/22023/12/2702023/12/2测试技术与信号处理70周期信号分解后是谐波的离散和；非周期信号分解后是谐波的连续和；谐波在幅值上存在差异。周期信号非周期信号2023/12/2712023/12/2测试技术与信号处理71当无法用周期信号的频谱来描述非周期信号，但从物理概念上考虑，信号必然含有一定的能量，无论信号如何分解，其所含能量不变，所以不管周期增大到什么程度，频谱分布依然存在。测试技术与信号处理712023/12/2幅值差异2023/12/2722023/12/2测试技术与信号处理722．频谱密度函数测试技术与信号处理72两边同乘T得：当有限值，且为一连续函数2023/12/22023/12/2732023/12/2测试技术与信号处理73傅里叶变换频谱密度函数处的谐波幅值谱线间隔，频率宽度单位频带上的幅值测试技术与信号处理732023/12/22023/12/2742023/12/2测试技术与信号处理74通常X(ω)是复变函数，可以写成：

幅值密度频谱：

相位频谱：

频谱密度函数：

测试技术与信号处理742023/12/2物理意义：傅里叶变换得到的非周期函数的频域描述是频谱密度函数，其值是指单位频带上的幅值2023/12/2752023/12/2测试技术与信号处理75或者代入，有一般X(f)是实变量的复函数，可以写成

频谱密度函数：

幅值密度频谱：

相位频谱：

2023/12/2762023/12/2测试技术与信号处理76

周期信号幅值谱|cn|的量纲即为信号幅值的量纲，瞬变信号幅值谱|X(ω)|或者

|X(f)|为信号在单位频宽上的幅值。所以|X(ω)|或者

|X(f)|是频谱密度函数，工程测试中仍称为频谱。|cn|是离散的，|X(ω)|或者|X(f)|是连续的。周期信号与瞬变信号幅值谱的区别：2023/12/2772023/12/2测试技术与信号处理77例5求单边指数脉冲的频谱。

其时域波形如图(a)解：该非周期信号的频谱函数为：

3、实例2023/12/277测试技术与信号处理2023/12/2782023/12/2测试技术与信号处理78其幅值频谱函数为：

其相位频谱函数为：

频谱图如图〔b〕、〔c)所示2023/12/278测试技术与信号处理2023/12/2792023/12/2测试技术与信号处理79例6求单个矩形脉冲〔矩形窗函数〕的频谱。测试技术与信号处理79其时域波形如图〔a〕所示2023/12/22023/12/2802023/12/2测试技术与信号处理80解：该矩形脉冲的频谱函数为：

抽样函数测试技术与信号处理802023/12/2其中森克函数：sincx=sinx/x。随着x的增加，森克函数以2

为周期作衰减振荡；它是偶函数，并且在n

(n=

1,

2,…)处为0。2023/12/2812023/12/2测试技术与信号处理81幅值频谱函数为：

相位频谱函数为：

当当测试技术与信号处理812023/12/22023/12/2822023/12/2测试技术与信号处理82图形表示如图1-12〔c〕所示。测试技术与信号处理822023/12/22023/12/2832023/12/2测试技术与信号处理83矩形脉冲的频谱函数X(f)的波形如图〔d〕所示。测试技术与信号处理832023/12/2瞬变信号频谱的特点：瞬变信号的频谱是连续的，幅值随着频率的增加而衰减。矩形窗函数及其频谱2023/12/2842023/12/2测试技术与信号处理844．小结

测试技术与信号处理84非周期信号的频谱是连续的。非周期信号中含有从0∞的所有频率成分,是无穷多不可列的。非周期信号的幅值频谱具有收敛性〔高频分量可以忽落不计〕。2023/12/22023/12/2852023/12/2测试技术与信号处理85*确定性信号频谱分析总结

测试技术与信号处理85以时域描述为依据，运用傅氏级数〔对周期信号〕或傅氏变换〔对非周期信号〕进行时域至频域的转换，得到频域描述；对频域描述做数学处理，从中提取幅值与相位频谱函数；作出两者的图形即获得频谱图。理论上:2023/12/22023/12/2862023/12/2测试技术与信号处理86实际中:由若干装置、仪器构成系统对信号进行测试得到时域描述；将所测得的时域信号送入频谱分析仪，或者将时域信号数字化，送入计算机由软件进行频谱分析；通过记录仪器自动绘出信号的频谱图。测试技术与信号处理862023/12/2为什么要研究信号频谱：1、信号的频谱是选择频率特性适宜的装置或仪器的依据；2、对测试结果进行误差分析的依据。2023/12/287第四节傅里叶变换的性质及应用一、傅里叶变换的常用性质

882023/12/2显然，可以根据函数的奇偶性判断实频谱和虚频谱的奇偶性。第四节傅里叶变换的性质及应用一、傅里叶变换的常用性质

1、奇偶虚实性x(t)为实偶函数，X(f)为实偶函数；x(t)为实奇函数，X(f)为虚奇函数；x(t)为虚偶函数，X(f)为虚偶函数；x(t)为虚奇函数，X(f)为实奇函数；2023/12/2测试技术与信号处理2023/12/2设测试技术与信号处理892、线性叠加性分量和的频谱等于分量频谱之和。2023/12/2式中：—为常数。89902023/12/23、对称性质那么有假设证明：以-t替换t，有将t与f互换，得的傅里叶变换912023/12/2对称性质说明傅里叶变换与傅里叶逆变换之间存在对称关系，即信号的波形与信号频谱函数的波形有互相置换的关系。利用这个性质，可根据的傅里叶变换得出相应的变换对。922023/12/24、时间尺度改变性质即时域时间压缩k倍，那么频域的扩展和幅值的降低均为k倍。假设信号在时域中扩展〔0<k<1〕，等效于在频域中压缩,频带变窄、幅值增高；反之，信号时域中压缩〔k>1〕等效于在频域中扩展，频带变宽、幅值降低。证明：当信号x(t)的时间尺度变为kt时，有：在信号x(t)幅值不变的条件下，有：932023/12/2时间扩展k=1/2

k=1时间压缩k=2942023/12/25、时移和频移性质当时域信号延迟t0时，其频谱函数乘因子，因此会改变相频谱，而幅频谱不变。,时移性质假设F[x(t)]=X(f)，并且t0为常数，那么有：证明：952023/12/22023/12/2测试技术与信号处理95测试技术与信号处理95若则2023/12/2

时域中信号乘以虚指数函数，等效于其频谱X(f)沿频率轴平移，或者说在频域中将频谱沿频率轴右移f0等效于时域中信号乘以因子

。

962023/12/2频移性质与时移性质同理，有：证明:972023/12/2-f0f0X(f)y(t)Y(f)若则982023/12/26、微分和积分特性微分特性:假设积分特性:假设微分与积分特性在信号处理中很有用。在振动测试中，如果测得位移、速度或加速度中任一参数，便可用傅里叶变换的微分或积分特性求其它参数的频谱。992023/12/27、卷积性质

两个函数x1(t)和x2(t)的卷积定义为

卷积定理：时域的卷积对应于频域的乘积；时域的乘积对应于频域的卷积。2023/12/21002023/12/2测试技术与信号处理100二、典型信号的频谱1．单位脉冲信号δ(t)

测试技术与信号处理100单位脉冲信号

单位脉冲定义(狄拉克定义)为：

且δ(t)的性质：在其作用的瞬时函数值为无穷大，而在其余时间函数值为0。对冲击力等物理变量的抽象。

2023/12/22023/12/21012023/12/2测试技术与信号处理101单位脉冲信号的特性：

〔1〕抽样特性测试技术与信号处理101任一信号x(t)与δ(t)相乘的广义积分等于此信号在零点处的函数值x(0)，即：

任一信号与具有向左或向右时移t0的单位脉冲信号δ〔t±t0〕乘积的广义积分等于在t0点处的函数值x(t0)，即：借助于δ〔t〕，通过以上运算可以将任一信号在任一点处的函数值抽样出来。2023/12/22023/12/21022023/12/2测试技术与信号处理102〔2〕卷积特性测试技术与信号处理102任一信号x(t)与δ〔t〕的卷积仍是此信号本身。即：任一信号x(t)与单位脉冲函数δ〔t±t0〕的卷积是时移后的该信号x(t±t0)。即：2023/12/22023/12/21032023/12/2测试技术与信号处理103〔3〕均匀频谱