第03讲角（知识解读真题演练课后巩固）（原卷版）

第03讲角1.掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2.借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；握钟表上有关夹角问题及运算；5．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；6.掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算7.掌握余角、补角的性质及有关运算。知识点1角的概念角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图2图1图2图1（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．知识点2角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．知识点3钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．知识点4方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．知识点5角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．知识点6：角的运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB∠2．注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知识点7：余角和补角（1）余角：

如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。

∠A+∠C=90°,∠A=90°∠C,∠C的余角=90°∠C即:∠A的余角=90°∠A

（2）补角：

如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角

∠A+∠C=180°,∠A=180°∠C,∠C的补角=180°∠C即:∠A的补角=180°∠A（3）补角的性质：

同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。

等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。

（4）余角的性质：

同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。

等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。

注意：

①钝角没有余角；

②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角；

③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。【题型1角的概念及表示】【典例1】（2022秋•绥宁县期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（）A．B． C．D．【变式11】（2023•兰溪市模拟）“直角”在几何学习中无处不在，如图图中的∠AOB一定是直角的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【变式12】（2022秋•曲靖期末）下列图形中，能用∠AOB，∠O，∠1三种表示方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．【变式13】（2022秋•马尾区期末）下列四个图中，能用∠1、∠O、∠MON三种方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．【题型2钟面角】【典例2】（2022秋•梁山县期末）如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（）A．75° B．120° C．135° D．150°【变式21】（2022秋•金凤区校级期末）钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（）A．110° B．75° C．105° D．90°【变式22】（2023春•招远市期中）已知本学期某学校下午上课的时间为14时20分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为_____度．（）A．40° B．50° C．60° D．70°【变式23】（2023春•东平县期末）在9：30这一时刻，时钟上的时针和分针之间的夹角为（）A．105° B．100° C．90° D．85°【变式24】（2023春•龙口市期中）从8：13分到8：37分，时钟的分针转过的角度是（）A．148° B．144° C．136° D．108°【题型3方位角】【典例3】（2022秋•汉台区期末）如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东30°方向，∠AOB＝100°，则B地在灯塔O的（）A．南偏东40°方向 B．南偏东50°方向 C．南偏西50°方向 D．东偏南30°方向【变式31】（2023•芝罘区一模）如图，点B在点A的北偏西50°方向，点C在点B的正东方向，且点C到点B与点A到点B的距离相等，则点A相对于点C的位置是​（）A．北偏东25° B．北偏东20° C．南偏西25° D．南偏西20°【变式32】（2022秋•下陆区期末）如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（）A．85° B．160° C．125° D．105°【变式33】（2022秋•泗水县期末）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA成90°角，则OB的方位角是（）A．北偏西30°方向 B．北偏西60°方向 C．南偏东30°方向 D．南偏东60°方向【题型4度分秒换算】【典例4】（2022秋•六盘水期末）34.37°＝34°′″．【变式41】（2023春•无锡月考）单位换算：20°30'＝°．【变式42】（2022秋•梁子湖区期末）120.76°＝度分秒．【变式43】（2022秋•新抚区期末）计算：18°42′+42°58′＝．【题型5角平分线的定义】【典例5】（2022秋•榕城区期末）如图，点O在直线AB上，射线OD是∠AOC的平分线，若∠COB＝40°，则∠DOC的度数是（）A．20° B．45° C．60° D．70°【变式51】（2022秋•内江期末）如图，点A、O、B在同一条直线上，OC平分∠DOB，已知∠DOC＝65°，则∠DOA的度数是（）A．45° B．50° C．55° D．65°【变式52】（2022秋•新华区校级期末）如图，∠AOB是直角，OD是∠AOB内的一条射线，OE平分∠BOD，若∠BOE＝24°，则∠AOD的度数（）A．46° B．54° C．42° D．67°【变式53】（2022秋•鸡泽县期末）已知∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，则∠AOD的度数为（）A．20° B．80° C．20°或80° D．10°或40°【题型6角的基本运算】【典例6】（2023春•河口区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．【变式61】（2022秋•大足区期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度数；（2）过点O作射线OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度数．【变式622】（2022秋•市北区校级期末）已知如图，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE＝12°，求∠DOE的度数．【变式63】（2023春•烟台期末）如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．（1）当∠BON＝60°时，求∠COM的度数；（2）若∠AOM＝2∠COM，求∠AON的度数．【题型7余角概念及及性质】【典例7】（2023秋•乐亭县期中）若∠α与∠β互余，∠α＝72°30'，则∠β的大小是（）A．17°30' B．18°30' C．107°30' D．108°30'【变式71】（2023春•禅城区校级期中）已知∠1与∠2互余，若∠1＝25°，则∠2＝（）A．35° B．45° C．55° D．65°【变式72】（2022秋•宁波期末）已知一个角的余角等于40°，则这个角的补角等于（）A．130° B．140° C．150° D．160°【变式73】（2022秋•南浔区期末）已知∠1与∠2互余，若∠2＝29°20'，则∠1的度数等于（）A．61°40' B．60°80' C．60°40' D．29°20'【题型8补角及性质】【典例8】（2023春•雨城区校级期中）如果一个角的补角是这个角余角的2.5倍，那么这个角的度数是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【变式81】（2022秋•金平区期末）已知∠1＝50°，则∠1的补角的度数是（）A．130° B．140° C．40° D．60°【变式82】（2023秋•乐亭县期中）若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系满足（）A．∠1﹣∠3＝90° B．∠1+∠3＝90° C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠3【变式83】（2022秋•绵阳期末）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（）A．30° B．60° C．120° D．150°1．（2023•北京）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（）A．36° B．44° C．54° D．63°2．（2023•河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（）A．南偏西70°方向 B．南偏东20°方向 C．北偏西20°方向 D．北偏东70°方向3．（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．160°4．（2023秋•长安区期中）下列图形中，能用∠O和∠1表示同一个角的是（）A． B． C． D．5．（2023秋•硚口区期中）如图，A处在B处的西北方向，A处在C处的南偏西80°方向，从A处观测B，C两处的视角∠BAC的大小是（）A．50° B．55° C．60° D．65°6．（2022秋•防城港期末）如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（）A．90°＜α＜180° B．0°＜α＜90° C．α＝90° D．α随折痕GF位置的变化而变化7．（2023•乐山）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为．8．（2022•湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝．9．（2022•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝°．1．（2023秋•乐亭县期中）若∠α与∠β互余，∠α＝72°30'，则∠β的大小是（）A．17°30' B．18°30' C．107°30' D．108°30'2．（2023秋•乐亭县期中）已知本学期某学校下午上课的时间为14时20分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为（）A．40° B．50° C．60° D．70°3．（2023秋•裕华区期中）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，且∠DOC＝20°，则∠AOB＝（）A．160° B．150° C．140° D．165°4．（2023秋•济南期中）科技馆在博物馆的北偏西30°方向，那么博物馆在科技馆的（）方向．A．北偏西30° B．南偏东30° C．西偏北60° D．东偏南30°5．（2022秋•兴山县期末）如图，∠AOB是平角，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC平分线，∠DOE等于（）A．105° B．100° C．90° D．80°6．（2022秋•韩城市期末）把40°12′36″化为用度表示，下列正确的是（）A．40.11° B．40.21° C．40.16° D．40.26°7．（2022秋•仙居县期末）如图，点O在直线AB上，∠COD＝90°，若∠BOD＝32°，OE平分∠A