2.4线段角的轴对称性课件苏科版八年级数学上册

2.4线段、角的轴对称性（1）

如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ABC线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点.求证：PA=PB．ACBPMN证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．

性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．PAB∟数学符号语言温馨提示：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.∵P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB.你能写出下面这个定理的逆命题吗？如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．定理的逆命题到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.ABP已知：如图，PA=PB.求证：点P在AB的垂直平分线上.分析：要证明点P在线段AB的垂直平分线上，可以先作出过点P的AB的垂线(或AB的中点)，然后证明另一个结论正确.想一想：若作出∠P的角平分线，结论是否也可以得征？逆定理到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.ACBPMN如图，∵PA=PB（已知），∴点P在AB的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.老师提示：这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结果出发，你还能联想到什么？

例如图：直线MN是线段AB的垂直平分线，点C为垂足，请问在图形中哪些线段相等？为什么？如图,AB=AD,BC=DC,E是AC上的一点.试说明:BE=DE解:因为AB=AD,BC=DC,所以点A、C在线段BD的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上).因为两点确定一条直线,所以直线AC是线段BD的垂直平分线.又因为点E在AC上,所以BE=DE.逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.小结定理

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.ACBPMN2.4线段、角的轴对称性（2）探究角平分线的性质

(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

(2)猜想:角平分线上的点到角两边的距离相等.同学甲、乙谁的画法是正确的?按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC,过点P的垂线段PE，PF

，并度量所画PE，PF是否等长？CC角平分线上的点到角两边的距离相等．议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．

求证：PD=PE．证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠1=∠2，∠PDO=∠PEO=90°.又∵OP=OP，

∴△PDO≌△PEO(AAS)．

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).AOCB12PDE你能证明这个结论吗？角平分线上的点到角两边的距离相等.定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).图形语言数学符号语言AOCB12PDE∵如图，AD平分∠BAC（已知），

∴

=

，()角平分线上的点到角两边的距离相等.BDCD（×）例判断1.ABCD∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB

（已知），∴

=

.（）

DBDC角平分线上的点到角两边的距离相等不必再证全等2.ABCD

反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？（前提条件）已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．AOCB12PDE已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D，E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△ODP和Rt△OEP中，

OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等).

∴点P在∠AOB的角平分线上．AOCB12PDE判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),且PD=PE,

∴点P在∠AOB的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).