专题24.6直线与圆的位置关系-【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【人教版】

【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题24.6直线与圆的位置关系【名师点睛】直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．【典例剖析】【例1】．（2020秋•崇川区月考）在△ABC中，AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm．（1）若以点C为圆心，2cm长为半径画⊙C，则直线AB与⊙C的位置关系如何？（2）若直线AB与半径为r的⊙C相切，求r的值．（3）若线段AB与半径为r的⊙C有唯一公共点，求r的取值范围．【分析】（1）由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于D，由△ABC的面积得出CD＝＝＞2，即可得出结论；（2）由切线的性质和三角形面积求出CD＝2.4cm即可；（3）分两种情况：①圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；②点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．即可得出答案．【解答】解：（1）∵AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于D，如图所示：由△ABC的面积得：CD＝＝＞2，∴若以点C为圆心，2cm长为半径画⊙C，则直线AB与⊙C的位置关系是相离；（2）若直线AB与半径为r的⊙C相切，设切点为D，则CD⊥AB，由△ABC的面积得：CD＝＝＝2.4，即r＝2.4cm；（3）∵BC＞AC，∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．分两种情况：①圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；②点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．∴r的取值范围时3＜r≤4或r＝2.4．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022•六盘水）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．平行【分析】直接利用直线与圆的位置关系的定义进行判断．【解答】解：根据直线与圆的位置关系可得，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系相交，故选：B．2．（2022•灌阳县一模）圆的半径是7cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切【分析】欲确定直线与圆的位置关系，关键是把圆心距6.5cm与半径7cm进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：∵圆的半径是7cm，圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，∴d＜r，∴直线与圆相交，故选：C．3．（2022•东明县一模）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相离【分析】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系．【解答】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：C．4．（2021秋•信都区期末）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（）A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4【分析】根据直线与圆的位置关系解答即可．【解答】解：∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4是四个半径为5的等圆，∴圆心到直线l的距离为4是⊙O3，故选：C．5．（2022春•金山区校级月考）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．6．（2022•金山区二模）在直角坐标系中，点P的坐标是（2，），圆P的半径为2，下列说法正确的是（）A．圆P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点 B．圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点 C．圆P与x轴、y轴都有两个公共点 D．圆P与x轴、y轴都没有公共点【分析】点P到x轴的距离是，到y轴的距离为2，圆P的半径是2，所以可判断圆P与x轴相交，与y轴相切，从而确定答案即可．【解答】解：∵P（2，），圆P的半径为2，∴以P为圆心，以2为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切，∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个．故选：B．7．（2021秋•韶关期末）已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（）A．直线l与⊙O相交 B．直线l与⊙O相切 C．直线l与⊙O相离 D．无法确定【分析】根据“若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离”即可得到结论．【解答】解：∵⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，3＜5，∴直线l与⊙O相离．故选：C．8．（2022•余杭区一模）如图，若⊙O的直径为6，点O到某条直线的距离为6，则这条直线可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l4【分析】根据直线与圆的位置关系判断即可．【解答】解：∵若⊙O的直径为6，∴圆O的半径为3，∵点O到某条直线的距离为6，∴这条直线与圆相离，故选：A．9．（2021秋•无为市期中）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝3．则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离或相切 D．相交或相切【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，∴x1＝3，x2＝4，∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣7x+12＝0的根，∴r＝3或r＝4，∵d＝3，∴当r＝3时，d＝r，∴直线l与⊙O的位置关系是相切，当r＝4时，d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交，故选：D．10．（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤ B．≤r≤3 C．≤r≤4 D．3≤r≤4【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，当直线与圆如图所示也可以有交点，∴≤r≤4．故选：C．二．填空题（共8小题）11．（2022•金平区校级模拟）在平面直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（3，5），半径为方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，那么⊙A与x轴的位置关系是相切．【分析】解方程x2﹣2x﹣15＝0得到⊙A的半径为5，于是得到⊙A的半径＝圆心A到x轴的距离，即可得到结论．【解答】解：解方程x2﹣2x﹣15＝0得，x1＝5，x2＝﹣3，∴⊙A的半径为5，∵⊙A的圆心坐标为（3，5），∴点A到x轴的距离为5，∴⊙A的半径＝圆心A到x轴的距离，∴⊙A与x轴的位置关系是相切，故答案为：相切．12．（2021秋•绵阳期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙D与y轴相交的弦长为6，圆心D（2，4），则过点B（2，3）的所有弦中最短的弦长为4．【分析】设圆D与y轴的交点为E，A，连接DE，过D作DC⊥y轴于C，根据勾股定理得到DE＝＝＝，根据D（2，4），B（2，3），得到DB∥y轴，推出过点B（2，3）的所有弦中最短的弦是垂直于DB的弦，过B作MN⊥DB交⊙D于M，N，连接DN，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：设圆D与y轴的交点为E，A，连接DE，过D作DC⊥y轴于C，∵⊙D与y轴相交的弦长为6，∴AE＝6，∴CE＝3，∵D（2，4），∴CD＝2，∴DE＝＝＝，∵D（2，4），B（2，3），∴DB∥y轴，∴过点B（2，3）的所有弦中最短的弦是垂直于DB的弦，过B作MN⊥DB交⊙D于M，N，连接DN，在Rt△DBN中，∠DBN＝90°，DB＝1，DN＝，∴BN＝＝2，∴MN＝2BN＝4，故过点B（2，3）的所有弦中最短的弦长为4，故答案为：4．13．（2021秋•南沙区期末）已知⊙O的直径为8cm，如果直线AB上的一点与圆心的距离为4cm，则直线AB与⊙O的位置关系是相切或相交．【分析】分OM⊥AB、OM与AB不垂直两种情况，根据直线和圆的位置关系判断即可．【解答】解：设直线AB上与圆心的距离为4cm的点为M，当OM⊥AB时，OM＝⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切，当OM与AB不垂直时，圆心O到直线AB的距离小于OM，∴圆心O到直线AB的距离小于⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相交，综上所述：直线AB与⊙O的位置关系是相切或相交，故答案为：相切或相交．14．（2021秋•崆峒区期末）以平面直角坐标系原点O为圆心，半径为3的圆与直线x＝3的位置关系是相切．【分析】根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．【解答】解：原点O到直线x＝3的距离为3，∴以原点O为圆心，半径为3的圆与直线x＝3的位置关系是相切，故答案为：相切．15．（2021秋•南开区期末）已知⊙O的半径为10，直线AB与⊙O相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范围是0≤d＜10．【分析】根据直线AB和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径即可得问题答案．【解答】解：∵⊙O的半径为10，直线L与⊙O相交，∴圆心到直线AB的距离小于圆的半径，即0≤d＜10；故答案为：0≤d＜10．16．（2022•鞍山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为r＝或2＜r≤2．．【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC，即可得出答案．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△BCA中，∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠B＝30°，∴AB＝4，∴BC＝＝＝2，根据三角形的面积公式得：AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝＝，当圆与时AB相切时，r＝，当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2，综上所述：r的取值范围是r＝或2＜r≤2，故答案为：r＝或2＜r≤2．17．（2021秋•凉山州期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是．【分析】根据勾股定理用OP表示出PA，根据垂线段最短解答即可．【解答】解：∵∠POA＝90°，∴PA＝＝，当OP最小时，PA取最小值，由题意得：当OP⊥MN时，OP最小，最小值为3，∴PA的最小值为：＝，故答案为：．18．（2021秋•信都区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为r＜；若⊙C与AB边只有一个公共点，则r的取值范围为6＜r≤8或r＝．【分析】如图，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH即可判断．【解答】解：如图，作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB＝＝＝10，∵S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CH，∴CH＝，∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，∴r的取值范围为r＜，∵⊙C与AB边只有一个公共点，∴r的取值范围为6＜r≤8或r＝，故答案为：r＜，6＜r≤8或r＝．三．解答题（共4小题）19．在△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝4，以点C为圆心，下列r为半径的圆与AB有怎样的位置关系，为什么？（1）r＝2；（2）r＝2.4；（3）r＝2.8．【分析】①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．利用上述结论判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝3，b＝4，∴c＝＝＝5，设点C到AB的距离为d，∵ab＝cd，∴d＝，（1）∵r＝2，d＝，又∵＞2，∴直线与圆相离．（2）∵r＝2.4＝，d＝，又∵＝，∴直线与圆相切．（3）∵r＝2.8，d＝，又∵＜2.8，∴直线与圆相交．20．（2020秋•崇川区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝﹣2x+与⊙O的位置关系怎样？【分析】过O作OC⊥直线AB，垂足为C，作出直线y＝﹣2x+，令x＝0求出y的值，确定出B的坐标，得到OB的长，令y＝0求出x的值，确定出A的坐标，得到OA的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出斜边上的高OC，得到OC的长等于圆的半径1，可得出直线与圆相切．【解答】解：如图所示，过O作OC⊥直线AB，垂足为C，在直线y＝﹣2x+中，令x＝0，解得：y＝；令y＝0，解得：x＝，∴A（，0），B（0，），即OA＝，OB＝，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB＝＝＝，又S△AOB＝AB•OC＝OA•OB，∴OC＝＝＝1，又圆O的半径为1，则直线y＝﹣2x+与圆O的位置关系是相切．21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，若要以C为圆心，r为半径画⊙C，根据下列条件，求半径r的值或取值范围．（1）直线AB与⊙C相离．（2）直线AB与⊙C相切．（3）直线AB与⊙C相交．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理得到AB＝10cm，再根据三角形的面积公式得到CD的长，然后