新教材2023年秋高中数学第1章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理课件新人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理学习任务1．了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽象)2．掌握空间向量的正交分解．(直观想象)3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(逻辑推理、数学运算)必备知识·情境导学探新知01在平面内，任意给定两个不共线的向量a，b，根据平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb．特别地，当a，b为直角坐标平面内的向量时，向量p就与坐标(x，y)建立了一一对应关系，从而将向量运算用坐标表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便．那么，对于空间向量，有没有类似平面向量基本定理的结论呢？如图所示，设a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，是否可以用向量a，b，c来表示向量p?知识点1空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________．其中{a，b，c}叫做空间的一个____，a，b，c都叫做基向量．xa＋yb＋zc基底思考

对于基底{a，b，c}，三个基向量a，b，c中能否有一个为0?提示：因为向量0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此三个基向量均不为0．提醒

空间中任意三个不共面向量都可作为一组基底．知识点2空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量__________，且长度都为__，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个_________的向量，叫做把空间向量进行正交分解．两两垂直1两两垂直1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间向量的基底是唯一的． (

)提示：任意三个不共面向量都可以作为空间的一个基底．(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量． (

)提示：若a，b，c中有一个零向量，则a，b，c三向量共面不能构成基底．×√

√√(5)空间的单位正交基底是唯一的． (

)提示：不唯一．(6)单位正交基底中每一个基向量是单位向量． (

)提示：由单位正交基底的定义可知正确．(7)对于单位正交基底{i，j，k}，2j＝0i＋2j＋0k． (

)提示：由向量正交分解知正确．×√√

关键能力·合作探究释疑难02类型1空间的基底类型2用基底表示空间向量类型3空间向量基本定理的应用

反思领悟

基底判断的基本思路和注意问题(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)注意问题：对于三个向量，若其中存在零向量，则这组向量不能作为基底；若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．[跟进训练]1．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底？[解]

假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c．∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．

反思领悟

用基底表示向量时：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行；(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．

类型3空间向量基本定理的应用考向1

证明空间直线、平面的位置关系【例3】如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明：(1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C．

反思领悟

(1)当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零．利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定．(2)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题，利用向量共线的充要条件证明．[跟进训练]3．如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°．求证：BD⊥平面ADC．

[跟进训练]4．如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．

考向3

求两直线的夹角【例5】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．

学习效果·课堂评估夯基础031．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的一个基底的向量组有(

)A．1个

B．2个C．3个

D．0个1234B

[①中，a，b，x＝a＋b共面，不可作为空间的一个基底；②中，z＝c＋a与向量b，c不共面，可作为空间的一个基底；③中，x，y与a＋b＋c不共面，故②③正确．故选B．]√1234

√1234

√1234

1234

1234

回顾本节知识，自主完成以下问题：1．若{a，b，c}是空间的基底，则a，b，c满足什么条件？提示：a，b，c不共面．2．叙述空间向量基本定理的内容．提示：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb