新教材2023年秋高中数学课时分层作业9用空间向量研究距离问题新人教A版选择性必修第一册

课时分层作业(九)用空间向量研究距离问题一、选择题1．已知直线l的一个方向向量n＝(－2，－2，1)，直线l过点A(－1，3，0)，则点P(－2，1，4)到直线l的距离为()A．10B．3C．83D．2．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝95，则点P到斜边AB的距离是(A．1B．2C．3D．43．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为()A．513B．1213C．1354．(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1上靠近B点的三等分点，则P到各顶点的距离的取值有()A．3 B．6C．22 D．235．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN与平面ACD1间的距离是()A．12B．22C．13二、填空题6．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则点D到A1C1的距离为________．点D到平面EFD1B1的距离为________．7．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．8．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，G为线段DD1上的点，且DG＝13DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则A1D1到平面EFGH的距离为________三、解答题9．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1．(1)求|BF|．(2)求点C到平面AEC1F的距离．10．如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD．若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为()A．135B．137C．15711．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，点P在该正方体内部且满足AP＝34AB+12A．点A到直线BE的距离是5B．点O到平面ABC1D1的距离为2C．平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为3D．点P到直线AB的距离为2512．在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．13．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为________．14．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离．15．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQ课时分层作业(九)1．D2．C3．B4．ABD[建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为3，则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，所以BD1＝(－3，－3，因为BP＝13BD1＝(－1，－所以DP＝DB+BP＝(2，2，所以|PA|＝|PC|＝|PB1|＝12+2|PD|＝|PA1|＝|PC1|＝22+2|PB|＝3，|PD1|＝22+22故P到各顶点的距离的不同取值有6，3，3，23．]5．D6．629．解：如图，以D为原点，DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，AE＝(0，4，1)，(1)设F(0，0，a)，由AF＝EC1，得(－2，0，a)＝(－2，0，所以a＝2，所以F(0，0，2)，BF＝(－2，－4，2)，所以|BF|＝26．(2)设n＝(x，y，z)为平面AEC1F的法向量，AF＝(－2，0，2)由n·AE取z＝1，则n＝1，-14，1，又CC所以C到平面AEC1F的距离d＝CC1·10．A11．BC[如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，E12，0，所以AB＝(1，0，0)，BE＝-1所以点A到直线BE的距离d1＝AB2-AB·BEBE易知C1O＝-12，-12，0，平面ABC1D则点O到平面ABC1D1的距离d2＝DA1·C1OD易知A1B＝(1，0，－1)，A1D＝(0，1，－1)，A1D1设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1，1，1)，所以点D1到平面A1BD的距离d3＝A1D1·n因为平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为33，故C易知AD＝(0，1，0)，AA1＝(0，0，且AP＝34AB＋12所以AP＝34所以点P到直线AB的距离d4＝AP2-AP·ABAB212．214．解：(1)证明：如图所示，由条件知，BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz．则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，设BA＝a，则A(a，0，0)．∴BA＝(a，0，0)，BD＝(0，2，2)，B1D＝(0，2，－∴B1D·B1D·BD＝0＋4－∴B1D⊥BA，B1D⊥BD，又∵BD∩BA＝B，BD，BA⊂平面ABD，∴B1D⊥平面ABD．(2)证明：由题意知E(0，0，3)，Ga2，1，4，F(0∴EG＝a2，1，1，EF∴B1D·EG＝0＋2－2＝0，B1D·EF＝∴B1D⊥EG，B1D⊥EF，又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EFG，∴B1D⊥平面EFG，结合(1)可知，平面EGF∥平面ABD．(3)由(1)，(2)知，BF＝(0，1，4)，B1D＝(0，2，－2)是平面∴点F到平面ABD的距离为d＝BF·B1DB由(2)知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离，∴两平面间的距离为3215．解：取AD的中点O，在△PAD中，∵PA＝PD，∴PO⊥AD．又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD．建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，则CP＝(－1，0，1)，CD＝(－1，1，0)．假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为32设Q(0，y，0)(