新教材2023年秋高中数学第1章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第1课时用空间向量研究距离问题学生用书无答案新人教A版选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时用空间向量研究距离问题学习任务能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算)空间中的距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距离、点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、平行平面之间的距离、异面直线的距离等．空间两点间的距离即为以这两点为起点和终点的向量的模长．本节主要研究点到直线、点到平面、平行线之间、平行平面之间的距离，这些距离都可以通过求向量的投影长得到．知识点1点P到直线l的距离如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设AP＝a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u．在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝________________．点到直线的距离与两条平行直线之间的距离有什么关系？知识点2点P到平面α的距离如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度．因此PQ＝AP·nn＝AP1．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为s＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离d为()A．322B．22C．1022．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为________．类型1点到直线的距离【例1】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O到直线A1E的距离．[尝试解答]用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)求直线的方向向量．(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．[跟进训练]1．(源自湘教版教材)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点，求点E到直线AF的距离．类型2点、直线、平面到平面的距离【例2】如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．[思路导引](1)建系写出求出相关点的坐标P，A，C，E，F求出相关向量的坐标EF，PE，DE→设平面PEF的法向量为n→求(2)易知AC∥EF转化点A到平面PEF的距离即为AC到平面PEF的距离→求AE→利用AE·nn求A到平面[尝试解答]1．用向量法求点面距离的步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．(4)求距离d＝AP·2．线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．[跟进训练]2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点O为A1B的中点，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AA1＝23．(1)证明：BC∥平面AOC1；(2)求点B到平面AOC1的距离．1．已知直线l上一点A(2，3，1)，直线l与平面α平行，平面α上有一点P(4，3，2)且平面α的法向量为s＝(0，1，1)，则直线l到平面α的距离为()A．322B．22C．1022．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是()A．66B．63C．363．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是()A．32B．22C．3D．4．如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1＝3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为________．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？2．用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？3．如何用空间向量求直线和平面、平面和平面的距离？异面直线间的距离设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？如图1所示，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β．由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β．于是，异面直线a，b的距离就转化为平行平面α，β的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，