2022-2023学年人教版八年级数学上学期期末复习通关练第十三章 轴对称复习讲义(解析版)

2022-2023学年人教版八年级上册期末复习精选题考点讲义

第十三章轴对称

会维导图

,「轴对称图形定义I

13.1.1轴对称「对称轴定义I

对称轴向18I

13.4课题学习一一坂短路径问题13.1轴对称,垂近年分我的定区I

13.1.2线段的垂—-上----_____------工—

直平分线的性质I线段的垂直平分线的性质定理和逆定理I

第十三章1:线段的垂真平分线的做法

•等腰三角形而性质轴对称

13.3.1等腰三角形,轴对称图形特点|

等腰三角形的判定,赢而祢函质准)________________

13.3等腰三角形画轴对称图吃

等症标的有『13.3.2等边三角形住?面直猫巫标示市找点的轴对称点)

•包三角形的判苣『;在平面直角坐标系中做轴对称图形】

知识点1：轴对称

1.轴对称图形和轴对称

(1)轴对称图形

如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重佥，这个图形就叫做轴对称图形,这条

直线就是它的对威典.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

(2)轴对称

定义：把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条

直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：

①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形;

②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;

③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上.

(3)轴对称图形与轴对称的区别和联系

区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的二仝图形；轴对称涉及两个

图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两仝图形，那么这两

个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.

2.线段的垂直平分线

线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的范离相等.反过来，与一条线

段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.

知识点2：作轴对称图形

1.作轴对称图形

（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些点,就

可以得到原图形的轴对称图形;

（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点（如线段通1）的对称点，

连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

2.用坐标表示轴对称

点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,—y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（一x,

:点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,—y）.

知识点3：等腰三角形

1.等腰三角形

（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形性质

①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”:

②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称"三线合”）.特别

地，等腰直角三角形的每个底角都等于英二.

（3）等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对■等边”）.

2.等边三角形

（1）定义：三条边都相等的三角形,叫做等边三角形.

（2）等边三角形性质：等边三角形的三个鱼相等，并且每个角都等于60°.

（3）等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个兔都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.

3.直角三角形的性质定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于跑二，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

6

W寸点典例分说

考点1:角平分线的性质

【例题1】（2019秋•曹县期末）如图，A4O8的外角NOW,/DS4的平分线AP,3P相交于点P,PELOC

于E,PFLOD于F,下列结论：（1）PE=PF;（2）点P在NCOD的平分线上；（3）ZAPB=90°-ZO,

其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解答】解：(1)证明：作于，，

•.•”是NC4B的平分线，

：.ZPAE=ZPAH

在APE4和APHA中，

ZPEA=ZPHA=90°

-NPAE=NPAH,

PA=PA

:.\PEA=APHA(AAS),

;.PE=PH,

同理，PF=PH,

:.PE=PF,

：.(1)正确；

(2)与(1)可知I：PE=PF,

又YPELOC于E,PFLOD于F,

•••点P在N8D的平分线上，

（2）正确;

(3);NO+NOEP+ZEPF+NOFP=360°,

XZ.OEP+Z.OFP=900+90°=180°，

J.NO+Z£P尸=180°，

即NO+NEPA+NHPA+NHPB+NFPB=180°>

由(1)知：APE4SAPH4.

:.ZEPA=ZHPA,

同理：ZFPB=ZHPB.

Z0+2(/HPA+NHPB)=180°,

即ZC*+2ZAPB=180°,

ZAPB^90°~—,

2

•1•(3)错误：

【变式1T】（2O2O春•碑林区校级期末）如图，已知AABC的周长是16,MB和MC分别平分ZABC和ZACB,

过点M作3c的垂线交3c于点O,且MD=4,则A4BC的面积是（）

【解答】解：连接40，过M作ME_LA5于E,M尸，AC于尸,

•.•M3和MC分别平分NABC和ZACB，MD工BC,MD=4,

:.ME=MD=4,MF=MD=4,

•.•AA8C的周长是16,

/.AB+BC+AC=16,

AABC小川"积S=5AAMc+5MCM+SMBM

^-xACxMF+-xBCxDM+-xABxME

222

=-xACx4+-xBCx4+-xABx4

222

=2(AC+8C+M)

=2x16=32,

故选：C.

【变式l-2］（2020春•太原期末）如图，在AABC中，ZAC13=90°,4）平分N&4c交8c于点£）,8=3,

。8=5,点E在边钻上运动，连接。E,则线段DE长度的最小值为.

【解答】解：当DEL反时，线段。E的长度最小（根据垂线段最短）,

平分NC4B，ZC=90°,DE1AB.

DE=CD，

・・・C£>=3,

:.DE=3,

即线段QE的长度的最小值是3,

故答案为：3.

【变式1-3](2019春•雁塔区校级期末)如图，在AA8C中，ZC=9O°.4)平分NBAC,于点E,

点F在AC上，且BD=DF.

(1)求证：CF=EB;

(2)请你判断北、"与班之间的数量关系，并说明理由.

【解答】证明：（1）•JA£＞平分ZBAC,DELAB,ZC=90°.

DC=DE,

在RtADCFffRtADEB中，

DC=DE

DF=DB'

RtADCFsRtADEB,

CF=EB;

（2）AF+BE=AE.

•.RtADCFsRtADEB,

AC=AE»

..AF+FC=AE

即+=

【变式l-4］（2017春•工业园区期末）如图，在AABC中，AD平分ZBAC,Z）E_LAC,垂足为点£,ZC=48°,

:.ZDEC=90°

/.ZCDE=90°-ZC=42°,

・・・AD平分ZBAC,

・・Zfi/LD=NG4D，又乙\DE=NB,

ZADC=ZAED=90°,

/.ZADE=90°-ZCDE=48°,

\ZB=48°.

【变式「5】（2016秋•孟津县期末）如图，在A/WC中，NH4C=9O。，A£>_L6c于点。，ZA8C的平分线

即交4。于点E,交AC于点尸，FH工BC于点、H,求证：AE=FH.

【解答】证明：・・・M平分NA5C，FA±AB,FH上BC,

:.FH=FA,

・・・NAE6+NA6F=90。，ADEB+AEBD=90。，且ZABF=NEBD，

:.ZAFB=ZDEB,

・；ZAEF=ZDEB,

:,ZAFB=ZAEF>

:.AE=FA,

:.AE=FH.

考点2：等腰三角形的判定与性质

【例题2］（2019秋•道外区期末）如图，在AABC中，AB=AC.BO、CO分别平分ZABC、ZAC3,DE

经过点O,豆DE3BC,/无分别交他、AC于。、E,则图中等腰三角形的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：・.・AB=AC,

.•.A43C是等腰三角形,

;.ZABC=ZACB，

■.DE//BC,

:.ZADE=ZAED.

」.AM坦是等腰三角形，

BO>CO分别为ZABC和ZAC8的平分线，

NDBO=ZOBC=-ZABC,NECO=NOCB=-ZACB,

22

■.DE//BC,

:.NDOB=NOBC,ZEOC=/OCB,

vZABC=ZACB.

ZDBO=NOBC=4DOB=NOCB=Z.OCE=4EOC，

..OD=BD,OE=EC,OB=OC,

:.^OBD.NOEC、AOBC是等腰三角形，

,图中有5个等腰三角形.

故选：D.

【变式2-1］（2019秋•新泰市期末）如图，AABC中，Z4BC与NACB的平分线交于点尸，过点尸作OE//BC

交他于点。，交4c于点E,那么下列结论，其中正确的有（）

①是等腰三角形；②DE=BD+CE;③若ZA=50。，则ZBFC=115。；④DF=EF.

【解答】解：是/4B的角平分线,

ZDBF=Z.CBF,

.DEIIBC,

:.ZDFB=NCBF,

:.ZDBF=ZDFB,

：.BD=DF,

.•.MZ)F是等腰三角形：故①正确；

同理，EF=CE,

DE=DF+EF=BD+CE，故②正确；

•.•NA=50°,

/.ZABC+ZACB=130°>

,.•8尸平分ZABC,C尸平分ZACB,

NFBC=；ZABC,NFCB=；ZACB,

NFBC+NFCB=；(ZABC+ZACB)=65°,

/.ZBFC=180°-65°=1150,故③正确；

当AABC为等腰三角形时，DF=EF,

但AABC不一定是等腰三角形，

不一定等于£F,故④错误；

故选：C.

【变式2-2](2019秋•富阳区期末)如图，CD是AABC的角平分线，AE_LC£>于£,BC=6,AC=4,

AA8C的面积是9,则A4EC的面积是.

【解答】解：延长M交8c于尸，

CD是AABC的角平分线，

:.ZACE=Z.FCE,

“人口于石，

ZAEC=Z.CEF=90°,

•;CE=CE，

:.MCE=\FCE(ASA),

.-.CF=AC=4,

•.•8C=6，

:.BF=2,

•.•△ABC的面积是9,

=9x—=6,

AAEC的面积=gS^CF=3，

故答案为：3.

【变式2-3］（2019秋•镇原县期末）如图，已知点A、C分别在NG8E的边BG、BE上,且"=AC,

ADUBE,NG3E的平分线与4）交于点O,连接8.

（1）求证：®AB=AD；②CZ）平分ZACE.

（2）猜想N8DC与㈤C之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明.

【解答】解：(1)®\-AD//BE,

:.ZADB=ADBC,

•;BD平分ZABC，

.-.ZABD=ZDBC,

：.ZABD^ZADB,

AB=AD；

②•••AD//3E，

:.ZADC=ADCE,

由①知45=AD,

又•.•AB=AC,

AC=AD，

.\ZACD=ZADC9

/.ZACD=ZDCE.

CD平分ZACE;

(2)NBDC=L/BAC,

2

BD>8分别平分ZABE,ZACE,

ZDBC=-ZABC,ZDCE=-ZACE,

22

ZBDC+ZDBC=NDCE,

ZBDC+-ZABC=-ZACE,

22

ABAC+ZABC=ZACE,

ZBDC+-ZABC=-ZABC+-ABAC,

222

ZBDCABAC.

2

【变式2-4](2020春•岱岳区期末)如图，在AABC中，A3=AC,点DE、产分别在AB、BC、AC

边上，且3E=C户，BD=CE.

(1)求证：ADEF是等腰三角形；

(2)当NA=4O。时，求ND石厂的度数.

A

A

B

E

【解答】证明：VAB=AC>

:.ZABC=ZACB<

在ADBE和ACEF中

BE=CF

-ZABC=ZACB，

BD=CE

:.ISDBE=NCEF，

：.DE=EF,

.•.ADEF是等腰三角形；

(2)-.^DBE=^CEF,

Z1=Z3.Z2=Z4,

•.•ZA+ZB+ZC=180°.

=；(180。-40。)=70。

Zl+Z2=l10°

.■.Z3+Z2=110°

;.ZDEF=7O°

考点3:等边三角形的判定与性质

【例题3】（2019秋•勃利县期末）如图，在A4BC中，4cB=90。，。是AB上的点，过点。作DELA8

交8c于点尸，交AC的延长线于点E,连接CD,ZDCA=ZDAC,则下列结论正确的有（）

①ZDCB=NB；®CD=-AB；③AADC是等边三角形；④若NE=30。，则+

2

E

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【解答】解：:在AABC中，ZACB=90°,DELAB.

・・.ZADE=ZACB=90°，

.•.ZA+N3=90。，ZACD+ZDCB=90°，

・・・ZDG4=ZZMC,

.\AD=CD,ZJDCB=NB；故①正确；

;.CD=BD,

•・•AD=CD，

：.CD=^-AB；故②正确；

2

ZDCA=ZDAC,

；.AD=CD,

但不能判定AAOC是等边三角形；故③错误；

•・,若NE=30。，

・•.ZA=60。，

/.AAC£）是等边三角形，

/.ZAZ>C=60°,

・・•ZADE=ZACB=90°，

.\AEDC=ZBCD=ZB=30°,

/.CF=DF,

：.DE=EF+DF=EF+CF.故④正确.

故选：B.

【变式3-1］（2018秋•道里区期末）下列说法：①有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形；②如果三角

形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点

与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形.其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：①有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形；正确.

②如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；正确.

③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等：正确.

④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形；错误.

故选：C.

【变式3-2］（2017秋•巢湖市期末）已知如图等腰AABC,AB=AC,ZBAC=120°,AD_L3c于点O,

点P是84延长线上一点，点。是线段4）上一点，OP=OC,下面结论：®ZAPO+^DCO=30°;②

△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP;④四边形A。”；其中正确的有（填上所有正确结论

①连接OB,

■.AB=AC,BD=CD,

.♦.AT＞是8c垂直平分线,

..OB=OC=OP，

：.ZAPO=ZABOADBO=ADCO>

・・•ZABO+ADBO=30°，

ZAPO+Z.DCO=30°.故①正确；

②・.△OB尸中，ZBOP=180°-Z.OPB-Z.OBP，

/SBOC中，ZBOC=180O-NOBC-NOCB，

ZPOC=360°-NBOP-ZBOC=NOPB+NOBP+ZOBC+NOCB，

•・•ZOPB=NOBP，Z.OBC=ZOCB,

.•."OC=2ZABD=600,

・.・PO=OC,

.•.△QPC是等边三角形，故②正确；

③在A3匕找到。点使得AQ=04,则AAOQ为等边三角形，

则/即。=/以。=120。，

在AB0。和“49中，

ZBQO=ZPAO

<ZABO=ZAPO，

OB=OP

:.^BQO=\PAO(AAS)f

:.PA=BQ,

AB=BQ+AQ,

：.AC=AO+AP>故③正确；

④作CHA.BP,

・・・ZHC8=60。，ZPCO=60。，

:.NPCH=NOCD,

在AS9和△CAP中，

ZODC=ZP//C=90°

<NOCD=/PCH

OC=CP(等边三角形边长相等)

，ACDO=ACHP(AAS),

S&OCD~S&CHP

：.CH=CD,

・.・CD=BD,

:.BD=CH,

在RtAABD和RtAACH中，

[AB=AC

[BD=CH'

/.RtAABD=RtAACH(HL),

-Q=q

四边形OAPC面积-S4OAC+S/MiC+S^CHP,SMBC=^MOC+S：D+Sf£)CD

四边形OAPC面积=Swc-故④错误•

故答案为：①②③.

【变式3-3](2019秋•南昌期末)如图，点O是等边AABC内一点，。是AABC外的一点，ZAOB110°,

NBOC=a,ABOC合AADC,Z(9CD=60°,连接。£).

(1)求证：是等边三角形；

(2)当&=150。时，试判断A4QD的形状，并说明理由：

(3)探究：当a为多少度时，AAO。是等腰三角形.

【解答】解：(1)三AADC,

;.OC=DC，

・・・NOCO=6G。，

「.△08是等边三角形.

（2）AAQ£＞是直角三角形.

理由如下：

,「△OCD是等边三角形，

NODC=60。,

•••△BOCMAWC，a=1500，

NADC=NBOC=a=150。,

ZADO=ZAZX：-ZODC=150°-60°=9（T，

.•.AAOD是直角三角形.

（3）•.•△OCD是等边三角形，

Z.COD=ZODC=60°.

・・・ZAQ3=110。，ZADC=NOC=a，

.­.ZAOD=360o-ZAOB-ZBOC-ZCOD=360o-1100-a-60o=190o-a，

ZADO=ZADC—NODC=aS。,

.\ZO/lD=1800-ZA（?D-ZA/）0=1800-（1900-a）-（6Z-600）=500.

①当ZAOD=ZAZX?时，190°—a=a—60。,

/.a=125°.

②当ZA8=NO4E）时，190。一0=50°，

.-.a=140°.

③当NADO=NO4。时，

a-60°=50°，

.­.a=110°.

综上所述：当a=U0。或125。或140。时，AAOD是等腰三角形.

【变式3-41（2017秋•凉州区期末）如图.在等边AA3c中，ZA&?与ZAC8的平分线相交于点。，且8//A8,

OE//AC.

(1)试判定AODE的形状，并说明你的理由；

(2)线段跳＞、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程.

【解答】解：(1)ACOE是等边三角形，

其理由是：•.•△ABC是等边三角形，

.'.ZABC=ZACB=60°.(2分)

.OD//AB,OE!1AC,

Z.ODE=ZABC=60°,NOED=ZACB=60。

.1△OOE是等边三角形；(4分)

(2)答：BD=DE=EC,

其理由是：,.•。8平分ZABC，且NABC=60。，

ZABO=/LORD=30°.(6分)

.OD//AB,

ABOD=ZABO=30°,

；.NDBO=NDOB,

:.DB=DO,(7分)

同理，EC=EO,

■.DE=OD=OE,

:.BD=DE=EC.(8分)

考点4：等边三角形的判定与性质

【例题4】(2014秋•寿光市期末)如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以钻、BC为边,在直线AC

的同侧作等边和等边MCE,连接交班)于点M,连接CD交BE于点N,连接MN得ABMN.

(1)求证：AAJBE=M)BC.

(2)试判断用从加的形状，并说明理由.

D

E

ABc

【解答】解：(1)证明：•••等边AM，。和等边ABCE，

AB=DB<BE=BC,ZABD=ZEBC=60°,

ZABE=NDBC=120°,

在AABE和AD8C中，

'AB=DB

VIzABE-ZDBC,

BE=BC

:.MBE^ADBC(SAS).

(2)MMN为等边三角形,理由为：

证明：,:MBE三NDBC'

:.ZAEB=ADCB,

又ZABD=NEBC=60°,

.­.ZA®E=1800-60o-60o=60°.

即ZMBE=ZNBC=60°，

在^MBE和A/V8c中，

'NAEB=NDCB

\EB=CB,

NMBE=NNBC

:.^MBE=ANBC(ASA),

;.BM=BN,ZMBE=6O°-

则MA/V为等边三角形.

考点5:轴对称的性质

【例题5】(2020春•富平县期末)如图，若AA8C与△AEC关于直线MN对称，BB'交MN于点、O,则

下列说法不一定正确的是（）

C.AA!±MND.AB=B'C

【解答】解：,.•AABC与△AB77关于直线MN对称，

:.AC=AC.AAA.MN,BO=ffO,故A、B、C选项正确，

43=?。不一定成立，故。选项错误，

所以，不一定正确的是O.

故选：D.

【变式5T】（2020春•成华区期末）如图，在A48c中，AB=AC,ZC=70°,△与A4BC关于直线

AD对称，NCW=1O。，连接BB',则的度数是（）

C.35°D.30°

【解答】解：•.•Afi=AC,

.­,ZABC=ZC=70°.

/.ZBAC=180°-70°-70°=40°，

,/△AB'C'与AABC关于直线AD对称，

.•.Za4C=Zfi,AC=4O°.ZG4Z)=ZCAD=10°.

r.NBA?=40°+10°+10°+40°=100°,

■：AB=AS,

ZABB1=g(180°-100°)=40°,

故选：B.

【变式5-2］（2020春•青川县期末）如图，P为N4O8内一点，分别画出点尸关于。4,08的对称点

P2＞连接d交。4于点M,交03于点N.若H=5c加，则△/袖N的周长为.

与6关于04对称,

为线段的垂直平分线.

同理可得：NP=NP?.

,：PtP,=5cm,

"MN的周长=MP+MN+NP=RM+MN+NP,=RR=5cm.

故答案为5c/w.

【变式5-3］（2017秋•房山区期末）如图，点P是ZAO8外的一点，点。是点P关于OA的对称点，点A

是点P关于。5的对称点，直线。R分别交ZAO8两边04,03于点M,N,连结,PN,如果

ZPA/O=33°.N?NO=70。，求NQPN的度数.

A

［解答］解：点Q和点P关于OA的对称，

点R和点P关于08的对称

・・・直线。4、08分别是P。、网的中垂线，

:.MP=MQ,NP=NR,

ZPM0=Z.QM0,ZPNO=ARNO,

■.■ZPMO=33°,Z7WO=70°

Z.PM0=Z.QM0=33°,ZPNO=ZRNO=70°

:.ZPMQ=66°,ZPAK=140°

.•.NM0P=57。，

:"PQN=123。,ZPNQ=40。，

:"QPN=17。.

考点6：轴对称图形

【例题6】（2019秋•番禺区期末）下列说法正确的是（）

A.若两个三角形全等，则它们必关于某条直线成轴对称

B.直角三角形是关于斜边上的中线成轴对称

C.如果两个三角形关于某条直线成轴对称的图形，那么它们是全等三角形

D.线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形

【解答】解：A、若两个三角形全等，则它们必关于某条直线成轴对称，错误.本选项不符合题意.

3、直角三角形是关于斜边上的中线成轴对称，错误，本选项不符合题意.

。、如果两个三角形关于某条直线成轴对称的图形，那么它们是全等三角形，正确，本选项符合题意.

。、线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形，错误，本选项不符合题意.

故选：c.

【变式6-1］（2017秋•襄城区期末）如图，在AABC中，4c8=90。，A4BD是A43c的轴对称图形，点

E在4）上，点尸在AC的延长线上.若点3恰好在EF的垂直平分线上，并且A£=5,AF=13,则

DE=

AABD是A4BC的轴对称图形，

AABDsAACB,

..DB=CB,AD=AC,ZD=ZBC4=90°，

.\ZBCF=90°.

；点B恰好在EF的垂直平分线上，

:.BE=BF,

(BD=BC

在RtADBE和RlACBF中彳广八一。，

[EB=

/.RtADBE=RtACBF(HL),

..DE=CF,

设。E=x,则b=

・.・AE=5，Ab=13,

一.5+2x=13>

x=4，

・・.DE=4,

故答案为：4.

【变式6-2］（2016春•贵阳期末）如图，是4x4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在从

剩余的13个白色小正方形中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的四个小正方形所构成的图形是轴对称图

形，则这样的白色小正方形有一个.

有4个位置使之成为轴对称图形.

【变式6-3］（2010春•滕州市期末）如图，在A4BC中，高线8将ZAC8分成20。和50。的两个小角.请你

判断一下AA3C是轴对称图形吗？并说明你的理由.

•.•ZBCD=20°,

ZB=90°-ZBCD=70°，

ZACB=ZB=7O°,

.•.A43C是等腰三角形，

.•.AABC是轴对称图形.

考点7:轴对称-最短路线问题

【例题7】（2020春•莒县期末）如图，周长为20的菱形43co中，点E、尸分别在边他、上，AE=2,

AF=3,P为BD上一动点、,则线段EP+EP长度的最小值为（）

C

A.3B.4C.5D.（5

【解答】解：♦,•四边形是菱形，周长为20,

.-.AD=20,

在ZX:上截取ZX7=FD=AD-A尸=5-3=2,连接EG，EG与BD交于点、P,连接尸止匕时产E+PF

的值最小，最小值=EG的长，

■,AE=DG=2,且AE//DG,

四边形AOGE是平行四边形，

:.EG=AD=5.

故选：C.

C

【变式7-1］（2020春•碑林区校级期末）如图，在锐角A48C中，ZACB=50°;边45上有一定点P,“、

N分别是AC和5c边上的动点，当步团义的周长最小时，NMPN的度数是（）

A

A

CB

A.50°B.60°C.70°D.80°

【解答】解：•.•尸D_LAC,PG±BC,

NPEC=ZPFC=90°,

.­,ZC+ZEPF=180°.

vZC=50°，

NO+NG+NEPF=180°，

.•.ZD+NG=50。，

由对称可知：NG=NGPN,ZD=ZDPM,

Z.GPN+ZDPM=50°,

ZMPN=130°-50°=80°,

【变式7-2］（2020春•市北区期末）如图，P为NMON内部的已知点，连接OP,A为OA/上的点，B为

QN上的点，当加%8周长的最小值与。尸的长度相等，NMON的度数为°.

【解答】解：如图，分别作尸关于OM、ON的对称点耳、8,然后连接两个对称点即可得到A、B两点,

即为所求的三角形，此时周长=6鸟，

根据对称性知道：

ZAPO=ZAf^O,NBPO=NBP。

NP&P]=2NMON,OR=OP1=OP,

・••AMB周长的最小值与OP的长度相等,

P]P2=OP,

:.OR=OP,=P\