专题19 解题技巧专题：确定一次函数的表达式之六大类型（解析版）2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略苏科版

第第页专题19解题技巧专题：确定一次函数的表达式之六大类型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一已知一点求正比例函数的表达式】 1【类型二已知一点求一次函数中K值或b值】 3【类型三已知两点求一次函数的表达式】 5【类型四已知两直线平行，求直线的表达式】 8【类型五两直线平移，求直线的表达式】 11【类型六已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式】 12【过关检测】 15【典型例题】【类型一已知一点求正比例函数的表达式】例题：（2023春·八年级课时练习）已知正比例函数图像经过点，求：(1)这个函数的解析式；(2)判断点是否在这个函数图像上；(3)图像上两点，，如果，比较，的大小．【答案】(1)(2)不在(3)【分析】（1）将代入，利用待定系数法求解；（2）将代入（1）中所求解析式，看y值是否为即可；（3）根据k值判断正比例函数图象的增减性，即可求解．【详解】（1）解：正比例函数的图象经过点，时，解得这个函数的解析式为；（2）解：将代入中得：，点不在这个函数图象上；（3）解：，随x的增大而减小，又．【点睛】本题考查正比例函数的图象及性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式，根据比例系数判断函数图象的增减性．【变式训练】1．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）已知正比例函数的图像过点．(1)求这个正比例函数的表达式；(2)已知点在这个正比例函数的图像上，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法，即可求出解析式；（2）把点A代入解析式，即可求出a的值．【详解】（1）把点代入，解得，∴正比例函数的解析式为：；（2）把点代入，则．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握正比例函数的定义，熟练运用待定系数法求解析式．2．（2023·上海·八年级假期作业）已知与成正比例，且当时，．(1)求y与x之间的函数解析式．(2)已知点在该函数的图像上，且，求点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可得：，再将代入求解即可；（2）将点代入解析式，联立，求解二元一次方程组即可．【详解】（1）解：由题意可得：将代入得，，解得即，化简得：即（2）将点代入得，则，解得即【点睛】此题考查了一次函数，掌握正比例函数的定义是解题的关键，形如的函数为正比例函数．【类型二已知一点求一次函数中K值或b值】例题：（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）若点在一次函数（）的图象上，则的值是______．【答案】1【分析】把代入求解即可．【详解】把代入，得，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，熟知一次函数图象上点的坐标一定适应此函数的解析式是解答此题的关键．【变式训练】1．（2022秋·广西百色·八年级统考期中）已知一次函数，当时，．求该函数的表达式，并判断点是否在该函数的图象上．【答案】，不在【分析】只需要将x、y的值代入函数解析式即可求出k的值，得到表达式，再将代入表达式中，求出y值，即可判断点是否在函数图像上．【详解】解：将，代入一次函数解析式，得，解得，所以一次函数的解析式为，将代入，可得，所以点不在该函数的图像上．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．2．（2022春·北京昌平·八年级校联考期中）已知关于x的一次函数表达式是y=(1-3k)x+2k-1．(1)当k为何值时，函数图象过原点？(2)若y随x的增大而增大，求k的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意知，函数y=(1-3k)x+2k-1的图象过原点，因此将原点坐标(0，0)代入，可得一元一次方程2k-1=0，解方程即可求出k的值；（2）由题意知，函数y=(1-3k)x+2k-1的图象中y随x的增大而增大，根据一次函数的性质及一次函数的定义，可列出关于k的不等式1-3k>0，求出k的取值范围即可．(1)解：由题意知，函数y=(1-3k)x+2k-1的图象过原点，∴将点(0，0)代入函数解析式得2k-1=0，解得；(2)解：由题意知，函数y=(1-3k)x+2k-1的图象中y随x的增大而增大，∴1-3k>0，解得．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义和性质及不等式的性质，掌握一次函数的定义和性质是解题的关键．【类型三已知两点求一次函数的表达式】例题：（2023秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）已知一次函数的图像经过点和，求该一次凾数的表达式．【答案】一次凾数的表达式为【分析】将点和代入一次函数中，得，进行计算即可得．【详解】解：将点和代入一次函数中，得解方程组得，∴一次凾数的表达式为：．【点睛】本题考查了求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．【变式训练】1．（2023秋·安徽池州·八年级统考期末）已知一次函数的图象经过点和．(1)求k，b的值；(2)若，求函数y的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）得一次函数表达式为，求出时y的值，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和，∴，解得；（2）由（1）得一次函数表达式为，当时，，∵，∴y随x增大而减小，∴当时，．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的增减性，正确掌握一次函数的基础知识是解题的关键．2．（2023秋·山东淄博·七年级校考期末）在直角坐标系内，一次函数的图象经过三点．(1)求这个一次函数解析式；(2)求m的值；(3)求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积．【答案】(1)(2)(3)4【分析】（1）把A、B的坐标代入函数解析式，求出k、b即可；（2）把代入函数解析式可得m的值；（3）求出与两坐标轴的交点，根据面积公式求得即可．【详解】（1）解：把代入中得：，解得：，∴这个一次函数解析式为：；（2）解：把代入：中得：，∴；（3）解：当时，，∴与y轴的交点坐标，当时，，∴与x轴的交点坐标，∴两坐标轴所围成的三角形的面积．【点睛】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．3．（2023春·海南海口·八年级海口市第十四中学校考阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点，且点B在正比例函数的图象上．(1)求a的值；(2)求一次函数的表达式(3)若，是此一次函数图象上两点，试比较与的大小．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把B点坐标代入正比例函数解析式即可求出a的值；（2）把点A和B点坐标分别代入得到关于k和b的方程组，然后解方程组求出k和b，从而得到一次函数解析式；（3）根据一次函数的性质求解．【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上，∴，∴；（2）解：由(1)可得点B的坐标为，将和代入中，得，解得，∴一次函数的解析式为；（3）解：∵，∴y随x的增大而减小．又∵，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．【类型四已知两直线平行，求直线的表达式】例题：（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）若一次函数图象与直线平行，且过点，则此一次函数的解析式是______．【答案】##【分析】设一次函数的解析式是，根据两直线平行求出，把点的坐标代入函数解析式，求出b即可．【详解】解：设一次函数的解析式是，∵一次函数图象与直线平行，∴，即，∵一次函数的图象过点，∴代入得：，解得：，即，故答案为：．【点睛】本题考查了两直线平行和用待定系数法求一次函数的解析式，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．【变式训练】1．（2023春·八年级单元测试）已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么一次函数的表达式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两直线平行，结合题意即可设一次函数解析式为，再利用待定系数法求解即可．【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行，∴可设一次函数解析式为：．将点代入，得：，解得：，∴一次函数的表达式为：．故选B．【点睛】考查了一次函数图象平行的问题．解题关键是明确一次函数图象平行时k的值不变，再利用待定系数法求解析式．2．（2023·天津和平·统考一模）已知直线（，为常数，）与直线平行，且与直线交于轴的同一点，则此一次函数的表达式为_____________．【答案】【分析】根据直线与直线平行得到的值；再根据与直线交于轴的同一点得到的值，进而得出函数的表达式．【详解】解：∵直线（，为常数，）与直线平行，∴，∵直线与轴的交点坐标为，且直线与直线交于轴的同一点，∴直线（，为常数，）与轴的交点坐标为，∴，∴直线的解析式为：，故答案为：．【点睛】本题考查了平面直角坐标系内两条平行直线的函数解析式的性质，平面直角坐标系内直线与轴的交点问题，熟知两直线平行则相等是解题的关键．3．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点(－2，4)，且与正比例函数y＝2x的图像平行．(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式；(2)求一次函数y＝kx＋b的图像与坐标轴所围成的三角形的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据两个函数的图像平行可得，再将点代入即可得；（2）先分别求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可得．【详解】（1）解：一次函数的图像与正比例函数的图像平行，，一次函数的解析式为，将点代入得：，解得，则一次函数的解析式为．（2）解：画出一次函数的图像如下：当时，，解得，即，当时，，即，则一次函数的图像与坐标轴所围成的三角形的面积为．【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质、一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．【类型五两直线平移，求直线的表达式】例题：（2023秋·江苏徐州·八年级统考期末）将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度，所得直线对应的函数表达式为______．【答案】【分析】根据函数图象的平移法则求解即可．【详解】解：∵把一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，∴平移后所得图象对应的函数关系式为：，即．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数图象的平移，熟记法则是解题关键．【变式训练】1．（2022春·广东江门·八年级校考期中）一次函数的图象向上平移7个单位后所得直线的解析式为______．【答案】【分析】根据一次函数的平移规律：上加下减可得出平移后的直线解析式．【详解】解；一次函数的图象向上平移7个单位后所得直线的解析式为，故答案为；．【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．2．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）将正比例函数的图象平移后经过点．(1)求平移后的函数表达式；(2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一次函数平移规律，设平移后的解析式为，将点，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据解析式求得与坐标轴的交点坐标，即可求解．【详解】（1）解：依题意，设平移后的解析式为，将点，代入得，，解得：，∴平移后的函数表达式为：；（2）解：由，令，解得，令，解得：，如图，设一次函数，分别与坐标轴交于点，则∴平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为．【点睛】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，根据平移求得解析式是解题的关键．【类型六已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式】例题：（2023春·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校考阶段练习）已知与成正比例，且当时，，(1)求与的函数关系式；(2)求当时的函数值：(3)如果的取值范围是，求的取值范围；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设，把，，代入可得关于的方程，解方程即可；（2）把代入函数解析式即可求解；（3）根据的取值范围，结合一次函数解析式，利用等量代换可得关于的不等式，解不等式即可．【详解】（1）解：设，时，，，解得，与的函数关系式；（2）解：将代入，得；（3）解：的取值范围是，，解得．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数的函数值，求一次函数自变量的取值范围，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·江西景德镇·八年级统考期末）已知与成正比例，且当时，．(1)求与之间的函数表达式；(2)当时，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，把时，代入解析式确定k值即可．（2）根据解析式，代入计算即可．【详解】（1）解：设，将，代入得：，解得：，∴，即；（2）解：把代入得：．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，求函数值，熟练掌握待定系数法和准确进行计算是解题的关键．2．（2023秋·安徽六安·八年级校考期末）已知与成正比例，且当时(1)求与之间的函数解析式；(2)当该直线向左平移个单位，则平移后直线的解析式为______【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，设，将，代入即可求解；（2）根据一次函数平移的规律即可求解．【详解】（1）解：依题意，设，将，代入得解得：，∴解析式为（2）将向左平移个单位，则平移后直线的解析式为：，即，故答案为：．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．3．（2023·全国·八年级专题练习）已知与成正比例，且当时，．(1)写出y与x之间的函数表达式；（化成的形式）(2)当时，求y的值；(3)若时，求x的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据成正比例的定义，设，把时，代入求出k的值即可；（2）把代入（1）中的表达式即可；（3）把代入（1）中的表达式即可．【详解】（1）解：根据题意可得，设，把时，代入得：，解得：，则，整理得；（2）把代入中，得；（3）把代入中，得，解得：．【点睛】本题主要考查了成正比例的定义，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．【过关检测】一、单选题1．（2023春·四川眉山·八年级统考期末）直线与直线平行，且与y轴交于点，则其函数表达式是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两直线平行一次项系数相同可得，根据与y轴的交点坐标可得，由此即可得到答案．【详解】解：∵直线与直线平行，∴，∵直线与与y轴交于点，∴，∴该直线的表达式为，故选B．【点睛】本题考查的是两个一次函数的图象平行的特点，一次函数与坐标轴的交点坐标含义，求解一次函数的解析式，理解题意，掌握求解解析式的方法是解本题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知变量y与x的关系满足下表，那么反映y与x之间函数关系表达式是（

）x…012…y…43210…A． B． C． D．【答案】B【分析】设y与x之间的函数关系的解析式是，然后将表格中两组数据代入求解即可．【详解】解：由表格中的数据可知，y是x的一次函数，设y与x之间的函数关系的解析式是，则解得所以，y与x之间的函数关系的解析式是．故选；B．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，需要熟练掌握．3．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）已知直线的解析式是，直线的解析式是，两直线交于点A，直线交x轴于点B，若的面积为2，则k的值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】根据可确定交点的坐标，进一步即可求解．【详解】解：∵，∴直线经过点，且点也在直线:上，故点，，∴；当点时，则，解得：；当点时，则，解得：．故选：D【点睛】本题考查一次函数的交点问题．将适当变形是解题关键．二、填空题4．（2023春·湖南衡阳·八年级统考期末）写一个y关于x的一次函数，同时满足以下两个条件：（1）图象经过点；（2）y随x增大而减小，这个函数的表达式可以是．【答案】【分析】一次函数，若y随x的增大而减小，则；若图象经过，将其代入求得b的值．【详解】解：根据题意可知，所求函数为一次函数，设该一次函数的解析式为，∵y随x的增大而减小，∴，则k可取，∴，∵图象经过，∴，∴，∴这个一次函数的解析式可以是．故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的相关性质是解题的关键．5．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和B，M是OB上的一点，若将沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则直线AM的解析式为．

【答案】【分析】由解析，可得，，根据勾股定理，，中，构建方程求解得，于是，运用待定系数法建立方程组求解．【详解】解：，时，；时，，；∴，，∴．由折叠知，．∴．中，，∴，解得，．∴设直线的解析式为，得，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查待定系数法确定一次函数解析式，勾股定理，轴对称折叠的性质；根据勾股定理构建方程求解线段长是解题的关键．6．（2023秋·安徽六安·八年级六安市第九中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12，则直线的解析式为．【答案】或【分析】由点，的坐标可得出，的长，结合的面积为12，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出a值，再用待定系数法求函数解析式即可．【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，，．又，，解得：或．∴或，设直线解析式为，把，代入得：，解得：，∴把，代入得：，解得，∴∴直线的解析式为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质、三角形的面积以及解含绝对值符号的一元一次方程，利用三角形的面积公式，求出值是解题的关键．三、解答题7．（2023春·广西南宁·八年级校考期中）已知正比例函数的图像经过点．(1)求这个函数的表达式；(2)判断点、是否在这个函数的图像上．【答案】(1)(2)点不在这个函数上，点在这个函数上【分析】（1）将代入正比例函数解析式求出的值即可；（2）把点、的横坐标代入正比例的函数表达式，求出的值，进一步比较得出答案即可．【详解】（1）解：正比例函数的图像经过点，，解得：，这个函数的表达式为：；（2）解：当时，，当时，，点不在这个函数上，点在这个函数上．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．8．（2023春·广西桂林·八年级统考期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当时，求y的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设这个一次函数的表达式为，利用待定系数法求解；（2）将代入计算即可．【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为，∵时，；时，．∴，解得，∴这个一次函数的表达式是；（2）当时，．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求函数值，正确掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．9．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知，其中与成正比例，与成正比例，当时，，当时，．(1)求y与x的函数表达式；(2)当x取何值时，y的值为30？【答案】(1)(2)当时，y的值为30【分析】（1）根据正比例函数的定义得到，，则，然后利用待定系数法求与的函数关系式．（2）把代入（1）中函数解析式，即可求得相应的的值．【详解】（1）解：设，，则，根据题意，得，解得．所以与的函数关系式为，即．（2）把代入，得．解得所以，当时，的值为30．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．10．（2023春·湖南常德·八年级统考期末）已知一次函数的图象经过点．(1)若点在该函数的图象上，求的值；(2)将该一次函数的图象向下平移个单位长度后，求所得图象对应的函数表达式．【答案】(1)(2)平移后所得函数图象的解析式为【分析】（1）将点代入，先求解k，再把代入解析式求解m即可；（2）根据一次函数图象的平移规律可直接得到答案．【详解】（1）解：将点代入，得：，解得：，即一次函数的表达式为：．又点在该函数的图象上，即．（2）由题意知一次函数的表达式为：，将该一次函数的图象向下平移个单位长度，，即平移后所得函数图象的解析式为：．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的图象的平移，掌握待定系数法求解一次函数的解析式是解本题的关键．11．（2023秋·广东深圳·八年级红岭中学校考期中）一次函数的图象经过点和两点．(1)求出该一次函数的表达式；(2)判断点是否在这个函数的图象上？(3)求出该函数图象与坐标轴围成的三角形面积．【答案】(1)(2)在(3)【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）将代入一次函数表达式中求出y和对比即可得出结论；（3）先确定出直线与x，y轴的交点，最后用三角形的面积公式即可得出结论；【详解】（1）设一次函数的解析式为，一次函数的图象经过点和两点．，，一次函数的表达式为；（2）由（1）知，一次函数