专题07 解题技巧专题：构造等腰三角形的技巧压轴题三种模型全攻略（解析版）2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略苏科版

第第页专题07解题技巧专题：构造等腰三角形的技巧压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 1【类型二过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 12【类型三利用倍角关系构造新等腰三角形】 21【典型例题】【类型一利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】例题：（2022秋·广东潮州·八年级统考期末）已知，如图中，、的平分线相交于点，过点作交、于、．

(1)如图1若，图中有________个等腰三角形，且与、的数量关系是________．(2)如图2若，其他条件不变，（1）问中与、间的关系还成立吗？请说明理由．(3)如图3在中，若，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．请直接写出与、间的数量关系是．【答案】(1)；(2)成立；理由见解析(3)【分析】（1）根据，、的平分线相交于点，可得，，，，再加上题目中给出的，可得出等腰三角形的个数；根据等腰三角形的性质，即可得出与、之间的关系；（2）证明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得出与、的关系；（3）证明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得出与、的关系．【详解】（1）解：∵，∴，，∵、的平分线相交于点，∴，，∴，，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，，∴等腰三角形有：，，，，，共个，与、的数量关系是：，故答案为：；．（2）与、的数量关系是：．理由如下：∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴．（3）与、间的数量关系是：．理由如下：∵，∴，，又∵，分别是与的角平分线，∴，，∴，，∴，，∴．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质．线段间的等量代换是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·重庆合川·八年级期末）如图，在中，，是的角平分线，交AB于点F．的一个外角的平分线与的延长线交于点G．(1)求证：；(2)若，求的大小．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的概念得到，根据平行线的性质得到，进而得到，最后根据等角对等边即可证明出；（2）首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，然后根据角平分线的概念得到，，最后根据三角形外角的性质求解即可．【详解】（1）∵是的角平分线，∴∵∴∴∴；（2）∵，∴∴∵是的角平分线，是的角平分线，∴，∴．【点睛】此题考查了角平分线的概念，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识解题的关键是熟练掌握以上知识点．2．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，在中，，平分交于点，过点作交的延长线于点．

(1)若，求的度数；(2)若是上的一点，且，判断与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，见解析【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等，已知顶角，可以求出底角，再根据角平分线的定义求出，最后根据两直线平行，内错角相等求出；（2）先证明，再得出，，根据证明，根据全等三角形的对应边相等得出结论．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵∴；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形全等，考核学生的推理能力，证明三角形全等是解题的关键．3．（2023春·江苏南通·七年级统考期末）如图，已知平分且点M是射线上一动点，交射线于点N．

(1)当时，求的度数；(2)当时，求证：；(3)试探究线段之间的数量关系．【答案】(1)；(2)见解析；(3)．【分析】（1）根据平行线的性质求出角度之间的关系，利用角平分线求出相等的角，最后推出答案.（2）延长交于E，根据平行线的性质和角平分线的定义可得是等腰三角形，由“等腰三角形三线合一”的性质可得，再根据ASA证明，由此可证.（3）延长交于F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得是等腰三角形，由“等腰三角形三线合一”的性质可得，再根据ASA证明由此可证最后可证得.【详解】（1）∵平分，．（2）如图，延长交于E，

∵平分为等腰三角形，

在和中，，（3）如图，延长交于点F，

∵平分为等腰三角形，，

在和中，，

【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，综合性较强，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.4．（2023春·江西吉安·八年级统考期末）类比、转化等数学思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．已知△ABC．(1)观察发现如图①，若点D是和的角平分线的交点，过点D作分别交，于E，F．填空：与的数量关系是______．请说明理由(2)猜想论证如图②，若点D是外角和的角平分线的交点，其他条件不变，填：与的数量关系是______．请说明理由(3)类比探究如图③，若点D是和外角的角平分线的交点．其他条件不变，则（1）中的关系成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出关系式，再证明．【答案】(1)(2)，理由见详解(3)不成立，理由见详解【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，同理得到，结合图形证明即可；（2）仿照（1）的证明方法，先利用平行线的性质和角平分线的性质，得到角的关系，再利用等角对等边，得到边与边的关系，解答即可；（3）根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，结合图形解答即可．【详解】（1）解：平分，，，，，，同理，，故答案为：；（2）解：平分，，，同理，，故答案为：；（3）解：不成立．．理由如下：，．平分，，，，同理：，．【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定，掌握平行线的性质定理、等腰三角形的判定定理是解题的关键．5．（2022春·黑龙江牡丹江·八年级统考期中）在中，点，点在直线上，，过点作，交射线于点，过点作，交直线于点．(1)当是的角平分线，点在边延长线上时，如图①，求证：；（提示：延长，相交于点．）(2)当是的角平分线，点在边上时，如图②；当是外角的角平分线，点在边延长线上时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；(3)在（1）、（2）的条件下，若，则_____________．【答案】(1)见解析(2)图②，；图③，；(3)2或14【分析】（1）延长、相交与点G，先证明，再证明，得到，即可得到结论；（2）如图②，设与相交于于点P，先证，再证，得到，即可得到结论；如图③，延长交于点H，先证明，再证，，即可得到结论；（3）根据（1）（2）中的结论，结合图形，分三种情况讨论求解即可．【详解】（1）证明：如图①，延长、相交与点G，∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；（2）如图②，设与相交于于点P，∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；如图③，延长交于点H，∵是外角的角平分线，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；（3）如图①，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴,∴，∴；如图2，∵不成立，此种情况不存在；如图③，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：2或14【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型二过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】例题：（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知：等边中．(1)如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足，求的值；(2)如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A，B重合），点N在CB的延长线上且，求证：．(3)如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足，求的值．【答案】(1)3(2)见解析(3)【分析】（1）由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出，设,则,可求出答案；（2）如图2，过点M作交AC于点G，根据可证明，得出，则结论得证；（3）如图3，过点P作交于点M，根据可证明，得出，得出，则答案可求出．【详解】（1）∵为等边三角形，∴，，∵点M是BC的中点，∴，，∵，∴，∴，，设，则，，∴，∴．（2）如图2，过点M作交AC于点G，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵为等边三角形，∴，∴．（3）如图3，过点P作交AB于点M，∴为等边三角形，∴，，∵P为AC的中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵P为AC的中点，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质与判定、含30度角直角三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形．【变式训练】1．（2023春·广东·八年级统考期末）已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：（填“＞”、“＜”或“＝”）．(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由．（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）．(3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）．【答案】(1)(2)，见解析(3)3【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，再由等边三角形的性质得到，然后证，得出即可得出结论；（2）过点E作，交于点F，证出为等边三角形，得出，再证，得出，即可得出结论；（3）点E在延长线上时，作，同（2）得出为等边三角形，，则，，即可得出答案．【详解】（1），理由如下：，，三角形为等边三角形，，点E为的中点，，，，，，，，；（2），理由如下：过点E作，交于点F，则，，，为等边三角形，，，，为等边三角形，，，，，，在和中，，，，；（3）点E在延长线上时，作，同（2）可得则为等边三角形，如图所示，同理可得，∵，，∴，，∵，则．【点睛】本题是三角形综合题目，考查等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．2．（2022春·辽宁大连·八年级期末）是等边三角形，点是上一点，点在的延长线上，且．(1)如图1，当点是的中点时，求证：；(2)如图2，当点是上任意一点时，取的中点，连接．求的度数【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，再由“三线合一”的性质及角平分线得出，再由等角对等边即可证明；（2）延长至，使，连，根据全等三角形的判定得出，，再由其性质结合图形找出各角之间的关系即可得出结果．【详解】（1）证明：在等边中，，∴，∵是的中点，∴，平分，∵，∴，∴，，∴，∴．（2）如图所示，延长至，使，连，∵为的中点，∴，在和中，，∴，∴，，∴．∴，，，∴又∵，∴在和中，，∴，∴，∴．【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键．3．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）在等边中，是的中点，，的两边分别交直线、于、．(1)问题：如图1，当、分别在边、上，，时，直接写出线段与的数量关系；(2)探究：如图2，当落在边上，落在射线上时，（1）中的结论是否仍然成立？写出理由；(3)应用：如图3，当落在射线上，F落在射线上时，，，则___________．【答案】(1)；理由见解析(2)；理由见解析(3)【分析】（1）根据证明，可得结论；（2）如图1，分别过点作于点，于点，由（1）同理得出．证明，则可得出结论；（3）如图2，过点作，由等边三角形的性质和判定证明，从而得的长．【详解】（1）解：，理由如下：是等边三角形，，是的中点，，，，，，；故答案为：；（2）解：结论成立．．理由：如图1，过点分别作于点，于点，由（1）可得：，，，，，．在和中，，，；（3）解：如图2中，过作交于点，，同理可证，，．，，，，，，，，，．故答案为：6【点睛】本题是三角形综合题，考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确作辅助线，熟练掌握全等三角形的判定与性质．【类型三利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：（2022秋·黑龙江大庆·八年级大庆市第六十九中学校考期中）如图，在中，，的平分线交于点D．求证：．

【答案】证明见解析【分析】方法一：（截长）在上截取，连接．结合角平分线的定义，证明，得到，，再利用三角形外角的性质，得到，进而得到，即可证明结论；方法二：（补短）延长到点使得，连接．结合角平分线的定义，证明，得到，再利用三角形外角的性质，得到，进而得到，即可证明结论；方法三：（补短）延长到点使得，连接．根据等腰三角形的性质，得到，，再结合三角形角平分线的定义和外角的性质，得到，即可证明结论．【详解】证明：方法一：（截长）在上截取，连接．

在和中，，，，，，，，；方法二：（补短）延长到点使得，连接．

在和中，，，，，，，；方法三：（补短）延长到点使得，连接，

，，，，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形角平分线的定义，外角的性质，利用“截长补短”模型添加辅助线构造全等三角形是解题关键．【变式训练】1．（2022春·浙江·八年级专题练习）在中，，(1)如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，易证．请证明；(2)①如图②，当，为的角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当，为的外角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】(1)证明见解析(2)①；②，证明见解析【分析】（1）先证明，然后证明，进而推导可得结论；（2）①首先在上截取，连接，易证，则可得，又由，，所以，即，易证，则可求得；②首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，又由，易证，则可求得．【详解】（1）∵为的角平分线，∴，在和中，∵∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①猜想：．证明：如图，在上截取，连接，∵为的角平分线时，∴，∵，∴，∴，，∵，∴．∵，∴，∴，∴．②猜想：．证明：在的延长线上截取，连接．∵平分，∴．在与中，，，，∴．∴，．∴．又，，．∴．∴．∴．【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）【问题背景】小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，试判断和之间的数量关系．【初步探索】小明发现，将沿